1、1一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点第八节函数的连续性与间断点第八节函数的连续性与间断点21.1.函数的增量函数的增量0000()(,)(,),f xU xxU xxxxxx，自变量 在点设在内有定义，称为的增量.0()()(.)yf xf xf xx，称相应于的增量为xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y)(xfy 一、函数的连续性一、函数的连续性32.2.连续的定义连续的定义0,xxx 设),()(0 xfxfy ,00 xxx就是就是).()(00 xfxfy 就是就是xy0)(xfy 0 xxx 0 x y 0000000(
2、)(,)limlim()()0,()(xxf xU xyf xxf xf xxf xx 设在内有定义，若，称为则定义 1：在点连续称的连续点.4000,0,()().xxf xf x使当时 “恒有”语言：2)(xxf如如)2(4lim)(lim222fxxfxx点连续。点连续。在在2)(2xxxfxy0)(xfy 0 x0000()(,)lim()(),()xxf xU xf xf xf xx设在内有定义，若在定义 2：则称点连续.5说明：0()f xxx在点连续下列三条件同时成立：0()(,)f xU x(1在)内有定义；0lim()xxf x(2)存在；00lim()().xxf xf x
3、（3）61sin,0,()0.0,0,xxf xxxx例1 试证在处连续证证,01sinlim0 xxx,0)0(f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 73.3.左右连续左右连续0000()()(,()()ff xa xxxfxf x，若在内有定义且在则称处左连续;00000()()()()().f xxf xxf xf xf x在处连续在处既左连续又右连续，即，定理：0000(),)()().()f xxf xxbf xf x若在内有定义，且，则称在处右连续82,0,()0.2,0,xxf xxxx例2 讨论在处的连续性解解)2(lim
4、)(lim00 xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf93,0()03,0 xxf xxxx例3 讨论在处的连续性。解：解：)0(3)3(lim)(lim00fxxfxx)0(3)3(lim)(lim00fxxfxx右连续且左连续右连续且左连续,.)(处连续处连续在点在点故函数故函数0 xxf10,cos,0,()0.,0,axxf xxaxx例4 当 取何值时在处连续解解xxfxxcoslim)(lim00 ,1)(lim)(lim00 xaxfxx ,a,)0(af)
5、,0()0()0(fff要使1()0.af xx故，当且仅当时，在处连续,1 a114.4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续.()(,)()f xa bf xxxbbaa若在开区间内连续,且在左端点处右连续,在在闭区间右端,点处左连续,则称上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.1200()().f xxxf x则称在点处,并不连续(或间断)不连续点(或为的间断点)称1.间断点（不连续的点）二、函数的间断点二、函数的间断点0(1)xx；在无定义0()(,)()
6、f xU xf x设.若具有下列三种情在内有定义形之一：00lim()xxxxf x，不(2)在有定义但存在；0000lim()lim()().xxxxxxf xf xf x，（3）在有定义且存在但132.间断点的分类0()f xx第一类间断点：在间断点的左右极限都存在。可去间断点第一类间断点间断点跳跃间断点第二类间断点如无穷和震荡间断点0().f xx第二类间断点:在处的左、右极限至少有一个不存在14(1)(1)跳跃间断点跳跃间断点0000()()()().f xxf xf xxf x若在点处左，右极限都存在，但，则称为函数的跳跃间断点,0,6()0.1,0,xxf xxxx例讨论在处的连续
7、性解解:,0)0(f,1)0(f),0()0(ff.0为跳跃间断点 xoxy15(2)(2)可去间断点可去间断点00()().f xxxf x若在间断点处的左右极限存在相等，则称为的可去间断点01,2,7()11,1,1,1.xxf xxxxx例讨论在处的连续性oxy112xy 1xy2 解解,1)1(f,2)1(f,2)1(f2)(lim1xfx),1(f 0.x 故，为可去间断点注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.16第二类间断点第二类间断点00()()f xxxf x若在点处的左、右极限至少
8、有一个不存在，则称点为的第二类间断点.1,0()0.,0 xf xxxxx例8 讨论，在处的连续性解解oxy,0)0(f,)0(f0()xf x 为的第二类间断点.这种情况称为.无无穷穷间间断断点点171()sin0.f xxx例9 讨论在处的连续性解解xy1sin()0f xx 在处没有定义,01limsin.xx且不存在0.x 为第二类间断点这种情况称为的.振振荡荡间间断断点点可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x181932,0sin10()1ln(1)sin,01.xxxxf xxxx例
9、求的间断点，并指出类型,3,2,1 x,0时当x,012x由1 x,3,2,1,1)(处间断在xxf.0处可能间断在分段点x解解：,0时当 x0sinx由2001,x 在处不存在，由于)(lim1xfx.)(10的第二类间断点是所以，xfx）存在，矛盾存在，故，由于存在，存在，即，假设.11sinlim)1ln(lim11sin)1ln(lim)(lim(211211xxxxxfxxxx01,x 在处xxxxfxxsinlim)(lim311ttttttxsin)2)(1(lim01 2的第一类可去间断点；是)(10 xfx2102,3,x 在处xxxxfxxxxsinlim)(lim3000
10、2,3,(),xf x 是的无穷间断点，即 第二类间断点；00,x 在处xxxxfxxsinlim)(lim300 xxxx30lim 111sin)1ln(lim)(lim200 xxxfxx1sin的第一类跳跃间断点。是)(00 xfx 三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)22可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x23
