1、 【类型综述】 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的 观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过 程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数 问题。 在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化 相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点 产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类. 【方法揭秘】 我们先回顾两个
2、画图问题： 1已知线段 AB5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类 如果ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB 三种情况 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快 几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些
3、题目适合用几何法呢？ 如果ABC 的A（的余弦值）是确定的，夹A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就 用几何法 如图 1，如果 ABAC，直接列方程；如图 2，如果 BABC，那么 1 cos 2 ACABA；如图 3， 如果 CACB，那么 1 cos 2 ABACA 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间 的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 图 1 图 2 图 3 【典例分析】 例 1如图，抛物线 y=ax2-2ax+b 经过点 C（0，- ）
4、，且与 x 轴交于点 A、点 B，若 tanACO= （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为 M，点 P 是线段 OB 上一动点（不与点 B 重合） ，MPQ=45，射线 PQ 与线段 BM 交于点 Q，当MPQ 为等腰三角形时，求点 P 的坐标 例 2 如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M
5、的坐 标；若不存在，请说明理由 图 1 例 3 如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存 在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1来源:Z|xx|k.Com 例 4 如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 4 3 yx 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B来源:163文库 ZXXK （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 ACy
6、轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速 度，沿 OCA 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直 线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运 动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ 是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由 例 5 如图 1，在ABC 中，ACB90 ，BAC60 ，点 E 是B
7、AC 的平分线上一点，过点 E 作 AE 的垂线，过点 A 作 AB 的垂线，两垂线交于点 D，连接 DB，点 F 是 BD 的中点，DHAC，垂足为 H，连 接 EF，HF （1）如图 1，若点 H 是 AC 的中点，AC2 3，求 AB、BD 的长； （2）如图 1，求证：HFEF 来源:163文库 （3）如图 2，连接 CF、CE，猜想：CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由 图 1 图 2 例 6 如图 1，已知 RtABC 中，C90 ，AC8，BC6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A 向 C 运动， 同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 ABC 方向运动
8、，它们到 C 点后都停止运动，设点 P、Q 运动的时间 为 t 秒 （1）在运动过程中，求 P、Q 两点间距离的最大值； （2）经过 t 秒的运动，求ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式； （3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得PQC 为等腰三角形若存在，求出此时的 t 值， 若不存在，请说明理由 （24. 25 ，结果保留一位小数） 图 1 【变式训练】 1如图，坐标平面内一点 A(2，1)，O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P、O、A 为顶点的三 角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为( ) (A)2 (B)3 (C)4
9、 (D)5 2在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A（0，3） ，点 B（5，0） ，有一动点 P 在直线 AB 上，APO 是等腰三 第 9 题图 A P y o x 角形，则满足条件的点 P共有（ ） A2 个 B3个 C4 个 D5 个 3如图，点 A、B、P 在O 上，且APB=50 。若点 M 是O 上的动点，要使ABM 为等腰三角形，则 所有符合条件的点 M 有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4如图，等腰三角形的面积是 16，且底边长为 4，腰的垂直平分线分别交边于点.若 点 为边的中点，点 为线段上一动点，则周长的最小值是( )来源:Z#xx#k.Com A6
10、B8 C10 D12 5如图， AB是O的直径， BC是弦， 10cmAB， 6cmBC 若点P是直径AB上一动点， 当PBC 是等腰三角形时， AP _ cm 6 如图， 已知点P是射线ON上一动点 （即P可在射线ON上运动） ， AON30 ， 当A_ 时， AOP 为等腰三角形 7如图，抛物线 yx2+2x+4 与 y 轴交于点 C，点 D（0，2） ，点 M 是抛物线上的动点若MCD 是以 CD 为底的等腰三角形，则点 M 的坐标为_ 8如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE=3，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个 动点，把EBF 沿 EF
11、折叠，点 B 落在 B处，若CDB恰为等腰三角形，则 DB的长为 . 9如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（5，4） ，点 P 为线 段 BC 上动点，当POA 为等腰三角形时，点 p 坐标为_ 三、解答题三、解答题 10如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 在 轴正半轴上，边，（）的长分别是方 程的两个根， 是边上的一动点（不与 A、B 重合）. （1）填空：AB= ，OA= （2）若动点 D 满足BOC 与AOD 相似，求直线的解析式. （3）若动点 D 满足，且点 为射线上的一个动点，当PAD 是等腰三角形时，直接写出点 的坐 标 11如
12、图，直线 ：交 、 轴分别为 、 两点， 点与 点关于 轴对称动点 、 分别在线段、 上（点 不与点 、 重合） ，满足. （1）点 坐标是 ， （2）当点 在什么位置时，说明理由 （3）当为等腰三角形时，求点 的坐标 12如图，已知抛物线（a0）经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 是 抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当点 P 到点 A、点 B 的距离之和最短时，求点 P 的坐标； （3）点 M 也是直线 l 上的动点，且MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标 13在中，的半径长为 1，
13、交边于点， 点是边上的动点 （1）如图 1，将绕点旋转得到，请判断与直线的位置关系； （4 分） （2）如图 2，在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的长； （5 分） （3）如图 3，点是边上的动点，如果以为半径的和以为半径的外切，设， ，求关于的函数关系式及定义域 （5 分） 14如图，已知一次函数的图像与 x 轴交于 A（-6,0）与 y 轴相交于点 B，动点 P 从 A 出发，沿 x 轴向 x 轴的正方向运动. （1）求 b 的值，并求出PAB 为等腰三角形时点 P 的坐标； （2）在点 P 出发的同时，动点 Q 也从点 A 出发，以每秒个单位的速度，沿射线 AB 运动，运动时间为
14、t（s） ； 点 Q 的坐标（用含 t 的表达式表示） ； 若点 P 的运动速度为每秒 k 个单位，请直接写出当APQ 为等腰三角形时 k 的值. 15如图，抛物线 2 2yaxaxb经过点 3 0, 2 C ，且与x轴交于点A、点B，若 2 3 tan ACO （1）求此抛物线的解析式； （2） 若抛物线的顶点为M， 点P是线段OB上一动点 （不与点B重合） ，45MPQ， 射线PQ与线段BM 交于点Q，当MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标 16如图，已知：二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x轴交于 A，B 两点，其中 A点坐标为（3，0） ，与 y轴 交于点 C，点 D（2，3）在抛物
15、线上来源:163文库 （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出 PA+PD 的最小值； （3）若抛物线上有一动点 M，使ABM 的面积等于ABC 的面积，求 M 点坐标 （4）抛物线的对称轴上是否存在动点 Q，使得BCQ为等腰三角形？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在， 说明理由 17如图，抛物线与 轴交于点，与 轴交于点 、 ，点 坐标为 求该抛物线的解析式； 抛物线的顶点为 ，在 轴上找一点 ，使最小，并求出点 的坐标； 点 是线段上的动点，过点 作，交于点 ，连接当的面积最大时，求点 的坐 标； 若平行于 轴的动直线 与该抛物线交于点 ，与直线交于点 ，点 的坐
16、标为问：是否存在这样 的直线 ，使得是等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 18如图 1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,. 该抛物线与 轴交于点 ,与 轴交于另一点 . (1)求的值及该抛物线的解析式; (2)如图 2.若点 为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角 和等腰直角,连接,试确定面积最大时 点的坐标. (3)如图 3.连接、,在线段上是否存在点 ,使得以为顶点的三角形与相似,若存在,请直 接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由. 19如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（0，3)、B（1，0）
17、，其对称轴为直线 l：x=2，过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C，AOB的平分线交线段 AC于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐 标为 m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点 P 在直线 OE下方的抛物线上，连结 PE、PO，当 m为何值时，四边形 AOPE面积最大，并求 出其最大值； （3）如图，F是抛物线的对称轴 l上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使POF成为以点 P 为直角顶点的 等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 20如图，直线 y=x4 与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A，B 两点，其中 A，B 两点的横坐标分别为1 和 4，且抛物线过原点 （1）求抛物线的解析式； （2）在坐标轴上是否存在点 C，使ABC 为等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不存在，请说明理 由； （3）若点 P 是线段 AB 上不与 A，B 重合的动点，过点 P 作 PEOA，与抛物线第三象限的部分交于一点 E，过点 E 作 EGx 轴于点 G，交 AB 于点 F，若 S BGF =3S EFP ，求 EF GF 的值
