1、第二十六章第二十六章反比例函数的几何性质反比例函数的几何性质人教版数学九年级下册11.1.理解反比例函数的概念及几种等价形理解反比例函数的概念及几种等价形式式.2.2.能够快速绘出给定反比例函数的图像能够快速绘出给定反比例函数的图像.3.3.掌握反比例函数的性质掌握反比例函数的性质，并应用解决并应用解决数学问题数学问题.学习目标学习目标2反比例函数解析反比例函数解析式式图象图象位置位置增减性增减性 (k0)第一、三象第一、三象限限在每个象限内，在每个象限内，y随随x的的增大而减小增大而减小 (k0)第二、四象第二、四象限限在每个象限内，在每个象限内，y随随x的的增大而增大增大而增大kyx ky
2、x 导入新知导入新知3例例1【中考中考株洲株洲】已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点（2,3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（的是（）A.（6，1）B.（1，6）C.（2，3）D.（3，2）1知识点知识点反比例函数中反比例函数中k的几何性质的几何性质kyx B合作探究合作探究4导引：导引：根据图象上点的坐标与解析式之间的关系，先求根据图象上点的坐标与解析式之间的关系，先求解析式，再确定点的坐标。将（解析式，再确定点的坐标。将（2,3）带入解析式，）带入解析式，的的k6.分别将分别将A,B,C,D中点的坐标带入解析式，中点的坐
3、标带入解析式，发现发现B中的点再图象上中的点再图象上.52知识点知识点反比例函数中反比例函数中k的几何性质的几何性质双曲线的几何特性：双曲线的几何特性：过双曲线过双曲线 上的任意一点上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于标轴围成的矩形面积等于|k|，连接该点与原点，还，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积这两个直角三角形的面积都等于都等于 .kyx 2k合作探究合作探究6C当x0时，y随x的增大而增大(1)求m，n的值；直平分线与y轴交于点C，与函数 (x0)的图C(1，0)B点横坐标为1.在每个象限内
4、，y随x的增大而增大C4个 D无数个B点横坐标为1.理解反比例函数的概念及几种等价形式.掌握反比例函数的性质，并应用解决数学问题.当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的(2)求直线AC对应的函数解析式A3 B3(k0)可得m2，n2.比例函数 (x0)图象上的一点，分别过点P在每个象限内，y随x的增大而减小(2)求直线AC对应的函数解析式C D都不是这两个直角三角形的面积反比例函数中k的几何性质若动点P在x轴上，则PMPN的最小值标轴围成的矩形面积等于(k0)已知P为函数 的图象上一点，且点P到原点例例1永州永州如图，两个反比例函数如图，两个反比例函数 和和 在第一象限内的图象分别是在第一象
5、限内的图象分别是C1和和C2，设点，设点P在在C1 上，上，PAx轴于点轴于点A，交，交C2于点于点B，则，则POB的面的面 积为积为_导引：导引：根据反比例函数中根据反比例函数中k的几何意义，得的几何意义，得POA和和BOA的面积分别为的面积分别为2和和1，于是阴影部分的面，于是阴影部分的面积为积为1.4yx=2yx=17求阴影部分面积的方法：求阴影部分面积的方法：当它无法直接求出时，一般都采用当它无法直接求出时，一般都采用“转化转化”的的方法，将它转化为易求图形面积的和或差来进行计方法，将它转化为易求图形面积的和或差来进行计算如本例就是将阴影部分面积转化为两个与比例算如本例就是将阴影部分面
6、积转化为两个与比例系数相关的特殊三角形的面积的差来求，要注意转系数相关的特殊三角形的面积的差来求，要注意转化思想的运用化思想的运用新知小结新知小结81【中考中考毕节毕节】如图，点如图，点A为反比例函数为反比例函数 图象上一点，过图象上一点，过A作作ABx轴于点轴于点B，连接，连接OA，则，则 ABO的面积为的面积为()A4 B4 C2 D24yx D巩固新知巩固新知92 (中考中考沈阳沈阳)如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点P是反是反 比例函数比例函数 (x0)图象上的一点，分别过点图象上的一点，分别过点P 作作PAx轴于点轴于点A，PBy轴于点轴于点B.若四边形若四边形
7、OAPB 的面积为的面积为3，则，则k的值为的值为()A3 B3 C.D kyx 3232 A103【中考中考青岛青岛】一次函数一次函数ykxb(k0)的图象经的图象经 过过A(1，4)，B(2，2)两点，两点，P为反比例函数为反比例函数 图象上一动点，图象上一动点，O为坐标原点，过点为坐标原点，过点P 作作y轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为C，则，则PCO的面积为的面积为 ()A2 B4 C8 D不确定不确定kbyx A114【中考中考衢州衢州】如图，在直角坐标系中，点如图，在直角坐标系中，点A在函数在函数 (x0)的图象上，的图象上，ABx轴于点轴于点B，AB的垂的垂 直平分线与直平分线与
8、y轴交于点轴交于点C，与函数，与函数 (x0)的图的图 象交于点象交于点D，连接，连接AC，CB，BD，DA，则四边形，则四边形 ACBD的面积等于的面积等于()A2 B2 C4 D44yx 4yx 33C125【中考中考临沂临沂】如图，在平面直角坐标系中，反比例如图，在平面直角坐标系中，反比例 函数函数 (x0)的图象与边长是的图象与边长是6的正方形的正方形OABC 的两边的两边AB，BC分别相交于分别相交于M，N两点，两点，OMN的的 面积为面积为10.若动点若动点P在在x轴上，则轴上，则PMPN的最小值的最小值 是是()A6 B10 C2 D2kyx 26292C133知识点知识点反比例
9、函数图象的对称性反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象关于原点成中心对称，也就反比例函数的图象关于原点成中心对称，也就是把它的图象旋转是把它的图象旋转180与原图形重合，这是反比例与原图形重合，这是反比例函数的一个重要性质，就常用来求点的坐标和图形函数的一个重要性质，就常用来求点的坐标和图形的面积等的面积等合作探究合作探究14例例2白银白银如图，在直角坐标系如图，在直角坐标系xOy中，直线中，直线ymx与与 双曲线双曲线 相交于相交于A(1，a)，B两点，两点，BCx 轴，垂足为轴，垂足为C，AOC的面积是的面积是1.(1)求求m，n的值；的值；(2)求直线求直线AC对应的函数解析式对应的函
10、数解析式nyx 15导引：导引：(1)由题意，根据对称性得到点由题意，根据对称性得到点B的横坐标为的横坐标为1，确定，确定 出点出点C的坐标，根据的坐标，根据AOC的面积求出点的面积求出点A的纵坐标，的纵坐标，确定出点确定出点A的坐标，将点的坐标，将点A的坐标代入正比例函数与的坐标代入正比例函数与 反比例函数解析式，即可求出反比例函数解析式，即可求出m与与n的值；的值；(2)设直线设直线AC对应的函数解析式为对应的函数解析式为ykxb，将，将A，C 两点坐标分别代入求出两点坐标分别代入求出k与与b的值，即可确定出直线的值，即可确定出直线 AC对应的函数解析式对应的函数解析式16解：解：(1)直
11、线直线ymx与双曲线与双曲线 相交于相交于A(1，a)，B两点，两点，B点横坐标为点横坐标为1.C(1，0)AOC的面积为的面积为1，a11，a2，A(1，2)将将A(1，2)的坐标代入的坐标代入ymx，可得可得m2，n2.nyx 12nyx 17(2)设直线设直线AC对应的函数解析式为对应的函数解析式为ykxb，直线直线ykxb经过点经过点A(1，2)，C(1，0)，解得解得 直线直线AC对应的函数解析式为对应的函数解析式为yx1.2,0,kbkb 1,1,kb 18 反比例函数与正比例函数的图象都是中心对称反比例函数与正比例函数的图象都是中心对称图形，所以在同一坐标系中，两个函数图象的两个
12、交图形，所以在同一坐标系中，两个函数图象的两个交点关于原点对称点关于原点对称新知小结新知小结191【中考中考天水天水】下列给出的函数中，其图象是中心对】下列给出的函数中，其图象是中心对 称图形的是称图形的是()函数函数yx；函数函数yx2；函数函数 A B C D都不是都不是1.yx C巩固新知巩固新知202 对于函数对于函数 ，下列说法错误的是，下列说法错误的是 ()A这个函数的图象位于第一、第三象限这个函数的图象位于第一、第三象限 B这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称 图形图形 C当当x0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 D当当x0时，
13、时，y随随x的增大而减小的增大而减小 4yx C213已知已知P为函数为函数 的图象上一点，且点的图象上一点，且点P到原点到原点 的距离为的距离为2，则符合条件的点，则符合条件的点P有有()A0个个 B2个个 C4个个 D无数个无数个2yx B224如图，边长为如图，边长为4的正方形的正方形ABCD的对称中心是坐的对称中心是坐 标原点标原点O，ABx轴，轴，BCy轴，反比例函数轴，反比例函数 与与 的图象均与正方形的图象均与正方形ABCD的的 边相交，则图中阴影部边相交，则图中阴影部 分的面积之和是分的面积之和是_2yx 2yx 8231.反比例函数中反比例函数中k的几何性质：的几何性质：过双
14、曲线过双曲线 (k0)上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k|；向一坐标轴作垂线且与原点连线所得的三角形面积等向一坐标轴作垂线且与原点连线所得的三角形面积等 于于|k|.2.双曲线关于直线双曲线关于直线yx和直线和直线yx成轴对称成轴对称 kyx 121知识小结知识小结归纳新知归纳新知24如图，面积为如图，面积为5的矩形的矩形OABC的一个顶点的一个顶点B在反比例函数在反比例函数y 的图象上，另三点在坐标轴上，则的图象上，另三点在坐标轴上，则k_易错点：易错点：已知图形面积求反比例函数已知图形面积求反比例函数比例系数比例系数k k的值时，易忽视
15、图象的位置的值时，易忽视图象的位置.52易错小结易错小结kx25|k|课后练习课后练习C【答案答案】C【答案答案】B【答案答案】B中心中心坐标原点坐标原点(a，b)轴轴xx(a，b)(b，a)【答案答案】DC【答案答案】C当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的向两坐标轴作垂线，与两坐【中考临沂】如图，在平面直角坐标系中，反比例边相交，则图中阴影部上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k|；于|k|.例2白银如图，在直角坐标系xOy中，直线ymx与2 (中考沈阳)如图，在平面直角坐标系中，点P是反的距离为2，则符合条件的点P有()双曲线关于直线yx和直线yx成轴对称掌握反比例函数的性质，并应用解决数学问题.【中考毕节】如图，点A为反比例函数上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面函数 (x0)的图象与边长是6的正方形OABC这两个直角三角形的面积C4 D4A0个 B2个【中考衢州】如图，在直角坐标系中，点A在函数确定出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数与在每个象限内，y随x的增大而增大例1永州如图，两个反比例函数 和将A(1，2)的坐标代入ymx，(x0)的图象上，ABx轴于点B，AB的垂当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的例2白银如图，在直角坐标系xOy中，直线ymx与再见再见
