1、 烟台市烟台市 2019 届高三届高三 3 月份第一次模拟考试月份第一次模拟考试 理科数学 2019.3 注意事项： 1本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟 2答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上 3使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答题区 书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求 1已知复数 z 满足12i zi(i 为虚数单位)，则z A1 i B1 i C1+i D1i 2若集合1 ,04 R Mx xNxZx
2、C MN，则 A 0 B0,1 C0,1,2 D2,3,4 3已知甲袋中有 1 个红球 1 个黄球，乙袋中有 2 个红球 1 个黄球，现从两袋中各随机取 一个球，则取出的两球中至少有 1 个红球的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 5 6 4 “0ba”是“ 11 ab ”的 A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3， 1)，则cos2 A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 6执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A8 B16 C32 D64 7在2=
3、3 3 ABCABACBAC 中，BD 若 2 3 BC，则AD BD A 22 9 B 22 9 C16 9 D 8 9 8我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理： “缘幂势既同， 则积不容异也” “幂”是截面积， “势”是几何体的高，意思是两等高几 何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等已知某不 规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同” ，其中俯视图 中的圆弧为 1 4 圆周，则该不规则几何体的体积为 A1 2 B 1 36 C1 2 D 12 33 9将函数 sin0, 2 f xx 的图象向右平移 6 个单位长度后，所得图象关于 y 轴对称，且 1
4、2 f ，则当取最小值时，函数 f x的解析式为 A sin 2 6 fxx B sin 2 6 fxx C sin 4 6 fxx D sin 4 6 fxx 10设 A，B，C，D 是同一个球面上四点，ABC是斜边长为 6 的等腰直角三角形，若三棱锥 D ABC 体积的最大值为 27，则该球的表面积为 A36 B64 C100 D144 11若函数 sin2 xx f xeex ，则满足 2 210fxf xx 的的取值范围为 A 1 1 2 ， B 1 1 2 ， C 1 1 2 ， D 1 2 ，1， 12已知 12 FF、分别为双曲线 22 1 46 xy 的左、右焦点，M 为双曲线
5、右支上一点且满足 12 0MF MF，若直线 2 MF与双曲线的另一个交点为 N，则 1 MFN的面积为 A12 B12 2 C24 D24 2 二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 5 2axx的展开式中 3 x的系数为 40，则实数 a 的值为 14己知, x y满足约束条件 330 02 40 xy xyzxy xy ，则的最小值是 15在, ,ABCa b c中，分别为内角 A，B，C 的对边，若2, sin3 cosaaBbA，则ABC周 长的最大值为 16已知 ln ,02 4,24 xxe f x fexexe ，若方程 0f xmx有 2
6、个不同的实根，则实数 m 的 取值范围是(结果用区间表示) 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 (一)必考题：60 分 17(12 分) 已知数列 n a中， 11 1,212, nn aaannN (1)记 2 log1 nnn baa，判断是否为等差数列，并说明理由： (2)在(1)的条件下，设 1 n n n b c a ，求数列 n c的前n项和 n T 18(12 分) 如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC 等边三角形，ACDC，以 AC 为折痕将ABC 折起
7、，使 得平面ABC 平面 ACD (1)设 E 为 BC 的中点，求证：AE 平面 BCD： (2)若 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 3 2 ，求二面角A BD C的余弦值 19(12 分) 已知 F 为抛物线 2 :20C ypx p的焦点，过 F 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点 当直线与 x 轴垂直时，4AB (1)求抛物线 C 的方程； (2)若直线 AB 与抛物线的准线 l 相交于点 M，在抛物线 C 上是否存在点 P，使得直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 20(12 分) 2019 年 2 月 13 日烟台市全
8、民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习 惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建 设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情 况，随机调查了 200 名学生每周阅读时间 X(单位： 小时)并绘制如图所示的频率分布直方图 (1)求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数x和 样本方差 2 s(同一组中的数据用该组区间的中间值代 表)； (2)由直方图可以认为， 目前该校学生每周的阅读时间 X 服从正态分布 2 N，其中近似为样本平 均数x， 2 近似为样本方差 2 s (i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 2 ,0,1 Xa X NYY
9、 NP XaP Y 令，则，且 利用直方图得到的正态分布，求10P X 。 (ii)从该高校的学生中随机抽取 20 名，记 Z 表示这 20 名学生中每周阅读时间超过 10 小时的人数，求 2P Z (结果精确到 0.0001)以及 Z 的数学期望 参考数据： 19 40 178,0.77340.0076.0,10.750.7734 3 Y NP Y若，则 21(12 分) 已知函数 2 232.71828 xx f xeaxa eaRe ，其中为自然对数的底数 (1)讨论 f x的单调性； (2)当0,x时， 222 310 xx exaa exaf x 恒成立，求 a 的取值范围 (二)选
10、考题：共 10 分请在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题 计分 22选修 44：坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 1 2 1 3 2 xt yt (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos . (1)求直线l的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； (2)设点 1,3P，直线l与曲线 C 相交于两点 A，B，求 11 PAPB 的值. 23选修 45：不等式选讲(10 分) 已知函数 212f xxm x 。 (1)当 m=1 时，求不等式 2f x
11、的解集； (2)若实数 m 使得不等式21,1f xmx 在恒成立，求 m 的取值范围 理科数学参考答案及评分标准理科数学参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 A B D A D C C B C C B C 二、填空题二、填空题 13 14 15 16 三、解答题三、解答题 17. 解： （1）. 1 分 当时， . 3 分 所以数列是以 为首项、公差为 的等差数列. 4 分 （2）由（1）得，于是. 5 分 6 分 两式相减得 9 分 11 分 所以. 12 分 18. 解： （1）证明：因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面. 1 分 又平面，所以. 2 分 在 等 边中 ， 因
12、为为的 中 点 ， 所 以 . 3 分 因为， 所以平面. 4 分 （2）由（1）知平面，所以即为与平面所成角， 于是在直角中，. 5 分 以为坐标原点，分别以所在的方向作为轴、轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系. 设等边的边长为， 则， ， . 7 分 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，于是. 9 分 设平面的一个法向量为， 则 ，即， 解得，令，则，于是. 11 分 所以. 由题意知二面角为锐角，所以其余弦值为. 12 分 19. 解： （1）因为，在抛物线方程中，令，可得,2 分 所以当直线与轴垂直时，解得, 3 分 抛物线的方程为. 4 分 （2） 不妨设直线的方程为，
13、 因为抛物线的准线方程为，所以.5 分 联立消去，得, 6 分 设，则，, 7 分 若存在定点满足条件，则， 即， 8 分 因为点均在抛物线上，所以. 代入化简可得， 9 分 将，代入整理可得 ，即, 10 分 因为上式对恒成立，所以，解得,11 分 将代入抛物线方程，可得， 于是点即为满足题意的定点. 12 分 20. 解：（1） 2 分 4 分 （2）(i)由题知，. . 5 分 . 7 分 （）由(i)知， 8 分 可得, 10 分 的数学期望. 12 分 21. 解：（1）由题意可知， ， 1 分 当时，此时在上单调递增； 2 分 当时，令，解得， 当时，单调递减； 当时，单调递增；
14、3 分 当时，令，解得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 4 分 综上，当时，在上单调递增；当时，时，单调递减， 时单调递增；当时，时，单调递减， 时单调递增. 5 分 （2）由可得， ，令 只需在使即可， ， 6 分 当时，当时，当时， 所以在上是减函数，在上是增函数， 只需， 解得，所以； 8 分 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增 函数，则，解得， 9 分 当时，在上是增函数， 而成立， 10 分 当时，在在上是增函数，在上是减函数，在上 是增函数，则，解得.11 分 综上，的取值范围为. 12 分 22. 解： （1）因为，所以， 1 分 将，代入上式，可得. 3 分 直线 的普通方程为； 5 分 （2）将直线 的参数方程代入曲线的普通方程，可得， 6 分 设两点所对应的参数分别为，则，.7 分 于是 8 分 . 10 分 23. 解： （1）， 当时，原不等式转化为，解得；1 分 当时，原不等式转化为， 解得；2 分 当时，原不等式转化为，解得； 3 分 综上，不等式的解集为. 4 分 （2）由已知得：，即. ，由题意. 5 分 当时，为减函数， 此时最小值为； 7 分 当时，为增函数， 此时最小值为. 9 分 又，所以 所以的取值范围为. 10 分
