1、 北京市东城区北京市东城区 20182018- -20192019 学年度第二学期高三综合练习（一）学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4 数学数学 （理（理科）科） 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 （1）已知集合 2 20Axxx ， 210Bxx ， 则A B I （A） 1 2 x x （B） 1 2 x x （C） 0x x （D）R （
2、2）在复平面内，若复数 (2) i z 对应的点在第二象限，则z 可以为 （A） 2 （B） 1 （C） i （D）2+i （3）在平面直角坐标系 XOY 中，角 以 OX 为始边，终边经过点 ( 1,)(0)Pm m ，则下列各式 的值一定为负的是 (A) sincos (B) sincos (C) sincos (D) sin tan （4） 正方体被一个平面截去一部分后， 所得几何体的三视图如图所示， 则该截面图形的形状为 （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）平行四边形 （D）梯 形 （5）若 , x y满足 0 10 26 xy y yx ，则 xy 的最大值为 （A）0 （B）
3、1 （C）2 （D）4 （6） 已知直线l过抛物线 2 8yx 的焦点 F， 与抛物线交于 A， B 两点， 与其准线交于点 C.若点 F 是 的 AC 中点，则线段 BC 的长为 (A) 8 3 (B)3 (C) 16 3 (D)6 （7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理： “幂势既 同，则 积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任 意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平 行平面之间的两个几何体的体积分别为 12 ,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的
4、两个截面的 面积分别为 12 ,S S ，则“ 12 ,V V 相等”是“ 12 ,S S 总相等”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （8）已知数列 n a 满足： 1 aa ， +1 1 =(*) 2 n n n a anN a ，则下列关于 n a 的判断正确的是 （A） 0,2,an 使得 2 n a （B） 0,2,an 使得 1nn aa （C） 0,*,amN 总有 mn aa （D） 0,*,amN 总有 m nn aa 第第二部分（非选择题二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题共 6 小题，
5、每小题 5 分，共 30 分。 （ 9）在 6 ( 2) x 的展开式中， 2 x 的系数是 .（用数字作答） （ 10 ）在 ABC 中，若 cossin0bCcB ，则 =C . （ 11）若曲线 cos : 2sin xa C y （为参数）关于直线 1 : 22 xt l yt (t为参数)对称，则a ； 此时原点 O 到曲线 C 上点的距离的最大值为 . （ 12）已知向量 a=(1, 3)，向量 b 为单位向量，且 ab=1，则 2 b- a 与 2 b 夹角为 . （13）已知函数 3 ( )4f xxx ，若 1212 , , ,x xa b xx 都有 1212 2 ()(2
6、 )(2)f xxfxfx 成立，则 满足条件的一个区间是 . （14）设 A,B 是 R 中两个子集，对于x R ，定义： 0, 1, xA m xA ， ， 0, 1, xB n xB 若A B .则对任意x R ， (1)mn ； 若对任意x R ， 1mn ，则 A,B 的关系为 . 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题 13 分） 已知函数 ( )4 cos sin() 6 f xaxx ，且 ( )1 3 f . ( ) 求a的值及 ( )f x 的最小正周
7、期； ( ) 若 ( )f x 在区间0, m 上单调递增，求 ( )f x 的最大值. （16） （本小题 13 分） 改革开放 40 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国 2006 年至 2016 年体 育产业年增加值及年增速图其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元） ，折线图为 体育产业年增长率（） （ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增 加值多 亿 元以上的概率； （ ）从 2007 年至 2016 年随机选择 3 年，设 X 是选出的三年中体育产业年增长率超过 20%的 年数，求 X 的分布列与数
8、学期望； （ ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育 产业年 增加值方差最大？（结论不要求证明） （17） （本小题 14 分） 如图， 在棱长均为 2 的三棱柱 111 ABCABC 中， 点 C 在平面 11 A ABB 内的射影 O 为 1 AB 与 1 AB 的 交 点， E,F 分别为 11 ,BC AC 的中点 （ ）求证：四边形 11 A ABB 为正方形； （ ）求直线 EF 与平面 11 A ACC 所成角的正弦值； （ ）在线段 1 AB 上存在一点 D，使得直线 EF 与平面 1 ACD 没有 公共点，求 1 AD DB 的值.
9、 （18） （本小题 13 分） 设函数 2 ( )(2)lnf xaxaxx 的极小值点为 0 x . （I）若 0 1x ，求 a 的值 ( )f x 的单调区间； （II）若 0 01x ，在曲线 ( )yf x 上是否存在点 P，使得点 P 位于 X 轴的下方？若存在，求出一 个 点 P 坐标，若不存在，说明理由. （19） （本小题 13 分） 已知椭圆 22 :1(0) 4 xy Cm mm 与 x 轴交于两点 12 ,A A ，与 y 轴的一个交点为 B， 12 BA A 的 面积 为 2. （ ）求椭圆C的方程及离心率； （ ）在 y 轴右侧且平行于 y 轴的直线l与椭圆 交于
10、不同的两点 12 ,P P ，直线 1 1 AP 与直线 22 A P 交 于点 P.以原点 O 为圆心，以 1 AB 为半径的圆与 x 轴交于 两点 M,N（点 M 在点 N 的左侧） ，求 PMPN 的值. （20） （本小题 14 分） 已知L N，数列 12 : n A aaaL， ， ，中的项均为不大于L的正整数. k c表示 12 , n a aaL中k的个数 (1)kLL，2， ，. 定 义 变 换T，T将 数 列A变 成 数 列( )T A 12 : (), (), () n t at at a其 中 12 ( ) k ccc t kL n L . （）若4L ，对数列A：1，
11、1，2，3，3，4，写出 i c4)i (1的值； （）已知对任意的(1,2, )k kn，存在A中的项 m a，使得 m ak. 求证： ii t aa（ ）(1,2, )inL的充分必要条件为(12) ij cc ijL， ， ，；L （）若ln，对于数列 12 :, n A a aaL，令 12 ( ( ):, n T T Ab bbL ，求证： () ii bt a(1,2, ).in 北京市东城区北京市东城区 20182018- -20192019 学年度第二学期高三综合练习（一）学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4 2019.4 数学（理科）参考答案及评分标准数学（理科）
12、参考答案及评分标准 一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） （1）C （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） （9）60 （10） 3 4 （11）3 13+1 （12） 60 （13）(0,1) (答案不唯一) （14）0 AB R 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分）分） （15） （共 13 分） 解： （）由已知 ( )1 3 f ，得 11 41 22
13、 a ，解得 1a . ( ) 4cos sin() 6 f xxx 2 31 4cos (sincos ) 22 2 3sin cos2cos 3sin2cos21 xxx xxx xx 2sin(2) 1 6 x 所以 ()2sin(2)1 6 fxx 的最小正周期为 . 7 分 （）由（）知 ( )2sin(2) 1. 6 f xx 当 0,xm 时， 2,2, 666 xm 若 ( )f x 在区间0, m 上单调递增， 则有 2 62 m ，即 3 m . 所以 m 的最大值为 3 . 13 分 （16） （共 13 分） 解:（）设A表示事件“从 2007 年至 2016 年随机选
14、出 1 年，该年体育产业年增加值比前一年的 体育产业年增 加值多500亿元以上” 由题意可知，2009 年，2011 年，2015 年，2016 年满足要求， 故 42 ( ) 10 5 P A 4 分 （）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，3，且 3 6 3 10 C1 (0)= C6 P X ； 12 46 3 10 C C1 (1)= C2 P X ； 21 46 3 10 C C3 (2)= C10 P X ； 3 4 3 10 C1 (3)= C30 P X . 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 故 X 的期望 11316 ()0
15、123 6210305 E X 10 分 （）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大 从 2014 年 开 始 连 续 三 年 的 体 育 产 业 年 增 加 值 方 差 最 大 13 分 （17） （共 14 分） F E C1 O B B1 A1 A x y z C F E C1 O B B1 A1A C 解： （）连结CO 因为C在平面 11 A ABB 内的射影O为 1 AB 与 1 AB 的交点， 所以CO 平面 11 A ABB 由已知三棱柱 111 ABCABC 各棱长均相等， 所以AC BC ，且 11 A ABB 为菱形. 由勾股定理得OA OB ，即
16、 11 ABAB . 所以四边形 11 A ABB 为正方形. .5 分 （）由（）知CO 平面 11, A ABB 1 ,.COOA COOA 在正方形 11 A ABB 中， 1 OAOA 如图建立空间直角坐标系O xyz 由题意得 11 (0,0,0),( 2,0,0), (0, 2,0), (2,0,0), (0,0, 2),( 2,2, 2)OAABCC ， 2222 (,0,),( 2,) 2222 EF 所以 1 (2, 2,0),(0,2, 2).AAAC 设平面 11 A ACC 的法向量为 ( , , ),x y zm 则 1 0, 0. AA AC m m 即 220,
17、220. xy yz 令 1,x 则 1,1.yz 于是 (1,1,1)m 又因为 3 22 (,0) 22 EF ， 设直线EF与平面 11 A ACC 所成角为，则 30 sin|cos| 15 EF ,EF EF m m m 所以直线EF与平面 1 A AC 所成角的正弦值为 30 15 . 10 分 （）直线EF与平面 1 ACD 没有公共点，即EF平面 1 ACD F E C1 O B B1 A1 A x y z C D 设D点坐标为 0 (0,0)y ，D与O重合时不合题意，所以 0 0y 因为 10 (2,0)ADy ， 1 (2,0, 2)AC 设 111 (,)x y zn
18、为平面 1 ACD 的法向量， 则 1 1 0, 0. AD AC n n 即 101 11 20, 220. xy y xz 令 1 1x ，则 1 0 2 y y ， 1 1z . 于是 0 2 (1,1) y n . 若EF平面 1 ACD ， 0EFn . 又 3 22 (,0) 22 EF ， 所以 0 3 222 0 22y ，解得 0 2 3 y 此时EF 平面 1 ACD ， 所以 2 2 3 AD ， 1 4 2 3 DB . 所以 1 1 2 AD DB 14 分 （18） （共 13 分） 解： （） ( )f x 定义域为(0, ) . 2 12(2)1(21)(1)
19、( )2(2) axaxxax fxaxa xxx . 由已知，得 (1)0 f ，解得 1a= . 当 1a= 时， (21)(1) ( ), xx fx x 当0 1x 时， ( )0fx ；当 1x 时， ( )0fx . 所以 ( )f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1, ).+ ? 所以 1a 时函数 ( )f x 在 1x 处取得极小值. 即 ( )fx 的极小值点为 1 时 a 的值为 1. 6 分 （II） 当 0 01x 时，曲线 ( )yf x 上不存在点P位于x轴的下方，理由如下： 由（I）知 (21)(1) ( ), xax fx x 当 0a 时， (
20、)0fx ，所以 ( )f x 在(0, ) 单调递减， ( )f x 不存在极小值点； 当 0a 时，令 (2 1)( 1) ( )0 xax f x x ，得 1 x a = . 当 1 (0,)x a 时， ( )0fx ，( )f x 在区间 1 (0,) a 上单调递减； 当 1 (,)x a 时， ( )0fx ， ( )f x 在区间 1 (,) a 上单调递增. 所以 11 ( )ln1fa aa =+ - 是 ( )f x 在(0, ) 上的最小值. 由已知，若 0 01x ，则有 1 01 a ，即 1a . 当 1a 时，ln 0a ，且 1 01 a ， 1 10 a
21、. 所以 1 ( )0.f a 当 0 01x 时，曲线 ( )yf x 上所有的点均位于x轴的上方. 故当 0 01x 时，曲线 ( )yf x 上不存在点P位于x轴的下方. 13 分 （19） （共 13 分） 解： （）因为 0,m 由椭圆方程知： 22 4 ,2,am bm am bm ， 12 1 2222 2 BA A Sabmmm ，所以 1.m 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y . 由 2,1ab ， 222 abc ，得 3c ， 所以椭圆C的离心率为 3 2 . 5 分 （）设点 (,) PP P xy , 1002000 (,),(,)(0),P xyP xyx
22、 不妨设 12 ( 2,0),(2,0),AA 设 0 11 0 :2 2 y PAyx x ， 0 22 0 :2 2 y P Ayx x ， 由 0 0 0 0 2 2 2 2 y yx x y yx x ， 得 0 0 0 4 , 2 . P P x x y y x 即 0 0 0 4 , 4 2 =. 22 P P p PP P x x y x x yy y x 又 2 2 0 0 1 4 x y ，得 2 2 2 4 () 4 1 4 PP P xy x ， 化简得 2 2 1(0). 4 P PP x yx 因为 1( 2,0), (0,1) AB ，所以 1 5AB ，即 (5,
23、0),( 5,0).MN 所以点P的轨迹为双曲线 2 2 1 4 x y 的右支， ,M N 两点恰为其焦点， 12 ,A A 为双曲线的顶点， 且 12 4A A ，所以 4PMPN . 13 分 （20） （共 14 分） 解：（） 1=2 c 2=1 c 3=2 c 4=1. c 3 分 （）由于对任意的正整数 (1)kkL ，存在A中的项 m a ，使得 m ak . 所以 12L cccL， ， ， 均不为 零. 必要性：若 () ii t aa(1)in ，由于 12 ( ) k ccc t kL n L ， 所以有 1 (1)1 c tL n ； 12 (2)2 cc tL n
24、； 123 (3)3 ccc tL n ； ； 12 ( ) L ccc t LL n L . 通过解此方程组，可得 (12) ij cc ijLL， ， ， 成立. 充分性：若 (12) ij cc ijLL， ， ， 成立，不妨设 (12) ij hcc ijLL， ， ， ，可以得到h L n . 所以有： (1)1 h tL n ； 2 (2)2 h tL n ； 3 (3)3 h tL n ； ； ( ) Lh t LLL n . 所以 () ii t aa(1)in 成立. 9 分 （）设 12 : n A aaaL， ， ， 的所有不同取值为 12m uuuL， ， ，且满足：
25、12m uuuL . 不妨设 12 111212122212 :, m rrmmmr A uuuuuuuuuLLLL， ， ， ， ， 其中 1 11121r uuuL= ； 2 21222r uuuL ； ； 12 m mmmr uuuL= . 又因为L n ，根据变换T有： 1 1 1112111 ()()()( ) u r c t ut ut ut uLr n L ； 12 2 21222212 ()()()() uu r cc t ut ut ut uLrr n L ； ;L 12 1212 ()()()() m m uuu mmmrmm ccc t ut ut ut uLrrrL n
26、 L LL ； 所以 12 111222 ( ): ( ), ( ), ( ) (), (), ()(), (), (). m mmm rrr T At ut ut ut ut ut ut ut ut u 个个个 ， 即 12 111121212 ( ): , , , . m r rr T Ar rr rr rrrrL LL 个 个个 ， ， 所以 12 111121212 ( ( ): ( ), ( ), ( ), (), (), ()( ), ( ), ( ). m rrr T T At rt rt rt rrt rrt rrt L t Lt L 个个个 ， ， 因为 11212 , m rrrrrr 所以有 1 1 1 2 1 21 2 () ,( ) , ,() m tr rtr r r r tr r r L . 因此， 11212 1211112 , rrrrr bbbr bbbrr 121121 1212 mm rrrrrrnm bbbrrrL 即 ( ( ):T T A 12 111121212 , , ,. m r rr r rr rr rrrrL LL 个 个个 ， ， 从而 ()(1,2, ) ii bt ain . 因此结论成立. .14 分
