1、 2019 届广东省揭阳市高三第一次模拟考试 数学（理科） 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚. 3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿 纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共12小题，
2、每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知集合 2 |60Ax xx，( 2, 2)B ，则 A C B A( 3,2) B( 3,2 C(2,3) D2,3) 2已知向量(1,2),(2, 1),(1, )abc，若()abc，则的值为 A3 B 1 3 C 1 3 D3 3已知z是复数 z 的共轭复数，(1)(1)zz是纯虚数，则|z A2 B 3 2 C1 D 1 2 4若 3 sin(2 ) 25 ，则 44 sincos的值为 A 4 5 B 3 5 C 4 5 D 3 5 5某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动， 提出了完成某项生产任务的两
3、种新的生产方 式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名 工人，将他们随机分成两组，每组 20 人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人 用第二种生产方式根据工人完成生产任务 的工作时间（单位：min）绘制了如右茎叶图： 则下列结论中表述不正确 的是 A. 第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高 C. 这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为 80 D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是 80 分钟. F E D CB A 6. 函数( )f x在0,)单调递减，且为偶函数若(1
4、2)f ，则满足3()1xf 的x的取值范围 是 A1,5 B1,3 C3,5 D 2,2 7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为 A 64 3 B52 C 1 53 3 D56 8某班星期一上午安排 5 节课，若数学 2 节，语文、物理、化学各 1 节， 且物理、化学不相邻，2 节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为 A6 B12 C24 D48 9. 过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形， 则该双曲线的离心率为 A51 B 51 2 C 3 2 D2 10
5、. 右图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形， 图中ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，记正方 形为区域，图中阴影部分为区域，在ABC 上任取一点，此点取 自区域、的概率分别记为 1 p、 2 p，则 A 12 pp B 12 pp C 12 pp D 12 pp 11已知ABC 中，AB=AC=3，sin2sinABCA ，延长 AB 到 D 使得 BD=AB，连结 CD，则 CD 的长为 A 3 3 2 B 3 10 2 C 3 6 2 D3 6 12已知函数( )cosf xx， 1 ( )(0) 2 ax g xeaa，若 12 0,1xx、，使
6、得 12 ()()f xg x， 则实数a的取值范围是 A 1 ,0) 2 B 1 ,) 2 C 1 ,0) ,) 2 D 11 ,0)(0, 22 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13命题“对 2 1,1,310xxx ”的否定是 _； 14在曲线( ) sincosf xxx，(,) 2 2 x 的所有切线中，斜率为 1 的切线方程为 . 15已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足SAB为等边三角形，且面积为4 3，又 知圆锥轴截面的面积为 8，则圆锥的表面积为 . 16. 已知点 P 在直线210xy 上，点 Q 在直线230xy上，M 00 (,)x
7、y为 PQ 的中点，且 00 21yx，则 0 0 y x 的取值范围是 . 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题 为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共 60 分 17.（12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且23n n Spm， （其中pm、为常数） ，又 12 3aa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 3 log nn ba，求数列 nn ab的前n项和 n T 18.（12 分） 如图，在四边形 ABED 中，AB/DE，ABBE，点 C 在 A
8、B 上，且 ABCD，AC=BC=CD=2，现将ACD 沿 CD 折起， 使点 A 到达点 P 的位置， 且 PE 与平面 PBC 所成的角 为 45 . （1）求证：平面 PBC 平面 DEBC； （2）求二面角 D-PE-B 的余弦值. 19.（12 分） 某地种植常规稻 A 和杂交稻 B，常规稻 A 的亩产稳定为 500 公斤，今年单价为 3.50 元公斤， 估计明年单价不变的可能性为 10%，变为 3.60 元公斤的可能性为 60%，变为 3.70 元公斤的可能 性为 30%统计杂交稻 B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近 10 年来杂交稻 B 的 单价（单位：元/公斤
9、）与种植亩数（单位：万亩）的 关系，得到的 10 组数据记为( ,)(1,2,10) ii x yi ， 并得到散点图如下，参考数据见下 （1）估计明年常规稻 A 的单价平均值； （2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 B 的亩产平均值；以频率作 为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 B 的亩产超过 765 公斤的概率； （3）判断杂交稻 B 的单价 y（单位：元/公斤）与种植亩数 x（单位：万亩）是否线性相关？若相 关，试根据以下的参考数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻 B 的种植亩数 预计为 2 万亩若在常规稻 A 和杂交稻 B 中选择
10、，明年种植哪种水稻收入更高？ 统计参考数据：1.60x ，2.82y ， 10 1 ()()0.52 ii i xxyy ， 10 2 1 ()0.65 i i xx ， 附：线性回归方程 y bxa， 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx 20.（12 分） 已知点 6 (,1) 2 P在椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 上，椭圆C的焦距为 2. （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为定值 k 的直线l与椭圆C交于 A、B 两点，且满足 22 |OAOB的值为常数，（其 中 O 为坐标原点） （i）求 k 的值以及这个常数； （ii）写出一般
11、性结论（不用证明）：斜率为定值 k 的直线l与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 交于 A、B 两点，且满足 22 |OAOB的值为常数，则 k 的值以及这个常数是多少？ 21.（12 分） 设函数 1 ( )lnf xaxxb x ()abR、， （1）讨论( )f x的单调性； （2）若函数( )f x有两个零点 1 x、 2 x，求证： 1212 22xxax x （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分） 以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已
12、知曲线 C 的极坐标方程为 22 cos2a（aR,a 为常数） ， 过点(2,1)P、 倾斜角为30的直线 l 的参数方程满足 3 2 2 xt， （t为参数） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程； （2） 若直线l与曲线C相交于A、 B两点 （点P在A、 B之间） ， 且| | 2PAPB， 求a和|PAPB 的值 23. 选修 45：不等式选讲 (10 分） 已知函数( ) |1|1|f xxx， （1）求函数( )f x的值域； （2）若 2,1x 时，( )3f xxa，求实数 a 的取值范围 揭阳市揭阳市 2019 高考一模数学高考一模数学 （理科）参考答案及评分说
13、明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答 有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数 一、选择题一、选择题 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D D A D B B C C B 解析: 6. 法一：因函数( )f x在0,)单调递减，且
14、为偶函数，则函数( )f x在(,0)单调递增，由 ( )( 22)1ff ，则23215xx .故选 D. 法 二 ： 由3()1xf 得()2)3(f xf或3()( 2)xff， 即 30 35 32 x x x 或 30 13 32 x x x ，综合得15x. 7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为 2 1 434 1 456 2 . 8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有 2 2 A种排法，第二步：将物理、化学在第一步排 后的 3 个空隙中选两个插进去有 2 3 A种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为 22 23 12A A. 9. 将xc
15、代入双曲线的方程得 42 2 2 bb yy aa ，则 2 22 b cacca a 1 1e e ，解得 51 2 e . 10. 法一： 设ABC 两直角边的长分别为, a b， 其内接正方形的边长为x， 由 xbx ab 得 ab x ab ， 则 1 2 2 () ab p ab ， 22 21 22 2 11 ()() abab pp abab 2 2 () ab ab （当且仅当ab时取等号） 法二（特殊法） ：设1,2,BCACCDx，则 2 3 x ，故 12 445 ,1 999 pp ，从而排除 A、 D，当ABC 为等腰直角三角形时 12 pp，排除 B，故选 C 11
16、. 由sin2sinABCA结合正弦定理得 13 22 BCAC，在等腰三角形 ABC 中 311 cos 434 ABC，从而 1 cos 4 DBC ，由余弦定理得： 222 2cosCDBDBCBD BCDBC 27 2 ，故 3 6 2 CD . 12. 设 F、G 分别为函数( )f x与( )g x定义在区间上0,1上的值域，则 1,1F ,当 a0 时，1 a e ， 1 ( )() 2 ax g xea单调递增，当 a1875，所以明年选择种植杂交稻 B 收入更高 -12 分 20.解：（1）由点 P 在椭圆上得 22 31 1 2ab ，2c=2， -1 分 2222 322
17、baa b，c=1，又 222 abc， 2222 32(1)2(1)bbbb， 42 2320bb，解得 2 2b ，得 2 3a ， 椭圆C的方程为 22 1 32 xy ；-4 分 （2）（i）设直线l的方程为ykxt，联立 22 1 32 xy ，得 222 (32)6360kxktxt， 2 1212 22 636 (1)(2) 3232 ktt xxx x kk -5 分 又 2 2 1 1 2(1) 3 x y， 2 2 2 2 2(1) 3 x y， 222222 1122 |()()OAOBxyxy 22 12 1 ()4 3 xx 2 1212 1( )24 3 xxx x
18、 2 2 22 1636 ()24 33232 ktt kk 222 22 1(1812)3624 4 3(32) ktk k -8 分 要使 22 |OAOB为常数，只需 2 18120k ，得 2 2 3 k ，-9 分 22 |OAOB 2 12424 45 3(22) ， 26 33 k ，这个常数为 5； -10 分 （ii） b k a ，这个常数为 22 ab-12 分 21.解： （1） 2 22 111 ( )(0) axx fxax xxx ，-1 分 设 2 ( )1(0)g xaxxx， 当0a 时，( )0g x ，( )0fx ；-2 分 当0a 时，由( )0g
19、x 得 114 2 a x a 或 114 0 2 a x a ， 记 114 2 a x a 0 x 则 2 0 114 ( )1()(),(0) 2 a g xaxxa xxxx a ， 114 0 2 a x a 当 0 (0,)xx时，( )0g x ，( )0fx ， 当 0 (,)xx时，( )0g x ，( )0fx ，-4 分 当0a 时，( )f x在(0,)上单调递减； 当0a 时，( )f x在 114 (0,) 2 a a 上单调递减，在 114 (,) 2 a a 上单调递增-5 分 （2）不妨设 12 xx，由已知得 1 ()0f x， 2 ()0f x， 即 11
20、 1 1 lnaxxb x ， 22 2 1 lnaxxb x ，-6 分 两式相减得 2121 21 11 ()lnln()a xxxx xx ， 21 2121 lnln1xx a xxx x ，-7 分 要证 1212 22xxax x， 即要证 21 1212 2121 lnln1 22() xx xxx x xxx x ， 只需证 21 1212 21 lnln 2 xx xxx x xx ， 只需证 22 212 121 2ln xxx x xx ，即要证 212 121 2ln xxx xxx ，-9 分 设 2 1 x t x ，则1t ，只需证 1 2lntt t ，-10
21、分 设 1 ( )2ln (1)h ttt t t ，只需证( )0h t ， 22 222 1221(1) ( )10 ttt h t tttt ， ( )h t在(1,)上单调递增， ( )(1)0h th，得证-12 分 22.解： （1）由 22 cos2a得 2222 (cossin)a， -1 分 又cosx，siny，得 222 xya， C 的普通方程为 222 xya，-2 分 过点(2,1)P、倾斜角为30的直线 l 的普通方程为 3 (2)1 3 yx，-3 分 由 3 2 2 xt得 1 1 2 yt 直线 l 的参数方程为 3 2 2 1 2 xt t y （t 为参
22、数） ；-5 分 （2）将 3 2 2 1 2 xt t y 代入 222 xya， 得 22 2(2 31)2(3)0tta，-6 分 依题意知 22 2(2 31)8(3)0a 则上方程的根 1 t、 2 t就是交点 A、B 对应的参数， 2 12 2(3)t ta， 由参数 t 的几何意义知 1212 | | | | |PAPBttt t，得 12 | 2t t ， 点 P 在 A、B 之间， 12 0t t ， 12 2t t ，即 2 2(3)2a ，解得 2 4a （满足0 ） ，2a ，-8 分 1212 | | |PAPBtttt，又 12 2(2 31)tt ， | 4 32
23、PAPB-10 分 23.解： （1）法一：|( )| | 1|1| |(1)(1)| 2f xxxxx ， 2( )2f x ， ( )f x的值域为-2, 2；-4 分 法二： 2,1 ( )2 ,11 2,1 x f xxx x ，得2( )2f x ， ( )f x的值域为-2, 2；-4 分 （2）由( )3f xxa得|1|1| 3axxx， 由 2,1x 得10x ， |1| 1 3|1| 21axxxxx ，-5 分 设( ) |1| 21g xxx ( 21)x ， 当21x 时， 10x ，( )(1)2132g xxxx ， max ( )( 2)4g xg；-7 分 当11x 时， 10x ，( )121g xxxx ， ( )( 1) 1g xg；-9 分 综上知， max ( )4g x， 由( )ag x恒成立，得4a ，即 a 的取值范围是4,)-10 分
