1、6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积1.1.向量的夹角向量的夹角定义：已知两个定义：已知两个非零向量非零向量a和和b，O O是平面上的任意一是平面上的任意一点，点，作作 =a，=b，则，则AOB=(0)AOB=(0)叫做叫做向量向量a与与b的夹角的夹角(如图所示如图所示).).OAOB()-得23b2-46ab=0，所以a与a+b的夹角为30.|b|2=100-2104 +42=100+40+16=156.【典例】(2019四平高一检测)已知a，b均为非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a与a+b的夹角为_.=|cos 120=58(3)模长公式：aa=|a|2或|a|=已知两
2、个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a|b|cos.=|a|b|cos.|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)类型一向量数量积的计算及其几何意义=a2-ab-2b2=|a|2-|a|b|cos 120-2|b|2已知|a|=10，|b|=4，a与b的夹角=120.若|a|=2，|b|=3，a，b的夹角为120，则a(4b)向量a与b的夹角(如图所示).又因为M，N分别为BC的三等分点，故有cos=-和为零向量，可以建立向量模型解决.根据模长公式，求向量的模的问题应首先做怎样的转化？(1)对于任意向量a与b，“abab=
3、0”总成立吗？【解析】设a与b的夹角为，所以|a+b|=|a|，(3)(ab)2=a22ab+b2.求解时要注意灵活使用数量积的运算律.E，F分别为BC，CD的中点，则 =()在四边形ABCD中，且 =0，则四边(2)当a与b同向时，ab=|a|b|；(3)(a-2b)(a+b).类型一向量数量积的计算及其几何意义(1)等边ABC中，向量 所成的角是60吗？所以a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.所以a与a+b的夹角为30.(2)若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算.【解析】设a与a+b的夹角为，设三个力F1，F2，F3分别为向量F
4、1，F2，F3.【典例】(2019四平高一检测)已知a，b均为非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a与a+b的夹角为_.(3)(a-2b)(a+b)=a2+ab-2ab-2b2即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos，若|a|=2，|b|=3，a，b的夹角为120，则a(4b)求平面向量数量积的方法|b|2=100-2104 +42=100+40+16=156.=22+222 +22=4+4+4=12，分别是0，和|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(1)(1)范围：向量范围：向量a与与b的
5、夹角的范围是的夹角的范围是0.0.(2)(2)当当=0=0时，时，a与与b同向；当同向；当=时，时，a与与b反向反向.(3)(3)如果如果a与与b的夹角是的夹角是 我们说我们说a与与b垂直，记作垂直，记作ab.2，【思考思考】(1)(1)等边等边ABCABC中，向量中，向量 所成的角是所成的角是6060吗？吗？提示：提示：向量向量 所成的角是所成的角是120120.AB,BC AB,BC (2)(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗？吗？提示：提示：向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是分别是
6、00，和和 0.2，2.2.向量的数量积的定义向量的数量积的定义已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把数，我们把数量量|a|b|cos|cos 叫做叫做a a与与b b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作ab，即，即ab=|=|a|b|cos|cos.规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为0.0.【思考思考】(1)(1)把把“ab”写成写成“ab”或或“ab”可以吗，为什么可以吗，为什么？提示：提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成写时，一定要严格，
7、必须写成“ab”的形式的形式.(2)(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗？向量的数量积运算的结果仍是向量吗？提示：提示：向量的数量积运算结果不是向量，是一个实数向量的数量积运算结果不是向量，是一个实数.3.3.投影向量的概念投影向量的概念如图所示：如图所示：=a，=b，过，过B B作作BBBB1 1垂直于直线垂直于直线OAOA，垂足为垂足为B B1 1，则，则 叫做叫做b在向量在向量a上的投影向量，得上的投影向量，得|=|=|b|cos|.|cos|.OAOB 1OB 1OB 4.4.向量的数量积的性质向量的数量积的性质设设a与与b都是非零向量，都是非零向量，为为a与与b的夹角的夹角.(1)
8、(1)垂直的条件：垂直的条件：abab=0.=0.(2)(2)当当a与与b同向时，同向时，ab=|=|a|b|；当当a与与b反向时，反向时，ab=-|=-|a|b|.|.(3)(3)模长公式：模长公式：aa=|=|a|2 2或或|a|=|=(4)(4)夹角公式：夹角公式：cos=cos=_._.(5)|(5)|ab|a|b|.|.2.a aaa ba b【思考思考】(1)(1)对于任意向量对于任意向量a与与b，“abab=0”=0”总成立吗？总成立吗？提示：提示：当向量当向量a与与b中存在零向量时，总有中存在零向量时，总有ab=0=0，但，但是向量是向量a与与b不垂直不垂直.(2)(2)当当“
9、cos=”cos=”为负值时，说明向量为负值时，说明向量a与与b的夹的夹角为钝角，对吗？角为钝角，对吗？提示：提示：不对，不对，cos=-1cos=-1时，向量时，向量a与与b的夹角为的夹角为180180.a ba ba ba b5.5.向量数量积的运算律向量数量积的运算律(1)(1)ab=ba(交换律交换律).).(2)(2)(a)b=(=(ab)=)=a(b)()(结合律结合律).).(3)(3)(a+b)c=ac+bc(分配律分配律).).【思考思考】“若若ab=ac，则，则b=c”成立吗？成立吗？提示：提示：不成立不成立.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“
10、”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)两个向量的数量积是向量两个向量的数量积是向量.()(2)(2)对于向量对于向量a，b，若，若ab=0=0，则，则a=0=0或或b=0.=0.()(3)(3)(ab)2 2=a2 22 2ab+b2 2.()提示：提示：(1)(1).两个向量的数量积没有方向，是实数，两个向量的数量积没有方向，是实数，不是向量不是向量.(2)(2).ab=0=0，还可能有，还可能有ab.(3).(3).2.2.在在ABCABC中，中，BC=5BC=5，AC=8AC=8，C=60C=60，则，则 =()A.20A.20B.-20B.-20C.20 C.20 D.-20 D.-
11、20 BC CA 33【解析解析】选选B.=|cos 120B.=|cos 120=5=58 8 =-20.=-20.BC CA BC CA 1()23.3.若若|a|=2|=2，|b|=3|=3，a，b的夹角的夹角为为120120，则，则a(4(4b)的值为的值为()A.12A.12B.-12B.-12C.12 C.12 D.-12 D.-12 33【解析解析】选选B.B.由题意，得由题意，得a(4(4b)=4()=4(ab)=)=4|4|a|b|cos=4|cos=42 23 3cos 120cos 120=-12.=-12.类型一向量数量积的计算及其几何意义类型一向量数量积的计算及其几何
12、意义【典例典例】1.(20181.(2018全国卷全国卷)已知向量已知向量a，b满足满足|a|=|=1 1，ab=-1=-1，则，则a(2(2a-b)=)=()A.4A.4B.3B.3C.2C.2D.0D.02.2.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是边长为是边长为2 2的菱形，的菱形，BAD=60BAD=60，E E，F F分别为分别为BCBC，CDCD的中点，则的中点，则 =()AE EF 1331A.B.C.D.22223.3.已知已知|a|=3|=3，|b|=5|=5，且，且ab=-12=-12，则，则a在在b方向上的方向上的投影为投影为_，b b在在a a方向上的投影为方向上的
13、投影为_._.【思维思维引引】1.1.利用向量数量积的定义与运算律计算利用向量数量积的定义与运算律计算.2.2.先分别用基向量先分别用基向量 表示表示 再利用向量数再利用向量数量积的定义与运算律计算量积的定义与运算律计算.3.3.向量向量a a在向量在向量b b方向上的投影为方向上的投影为|a|cos=|a|cos=向量向量b b在向量在向量a a方向上的投影为方向上的投影为|b|cos=|b|cos=AB,AD AE,EF ，,|a bb.|a bb【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为|a|=1|a|=1，a ab=-1b=-1，所以所以a a(2a-b)=2a(2a-b)=2a2 2-
14、a-ab=2b=21-(-1)=3.1-(-1)=3.2.2.选选D.D.在菱形在菱形ABCDABCD中，边长为中，边长为2 2，BAD=60BAD=60，所以，所以 =2=22 2cos 60cos 60=2=2，又因为又因为 所以所以 AB AD 111AEABBEABAD,EFBDADAB,222 （）11AE EFABADADAB22 （）（）221111111ADAB ADAB424.2222222 （）（）3.3.设设a a与与b b的夹角为的夹角为，则有，则有ab=|=|a|b|cos=-12|cos=-12，所以向量所以向量a在向量在向量b方向上的投影为方向上的投影为|a|co
15、s=cos=向量向量b在向量在向量a方向上的投影为方向上的投影为|b|cos=-4.cos=-4.|a bb121255；|a bb123答案：答案：-4-4125【内化内化悟悟】如何解决几何图形中向量数量积的计算？如何解决几何图形中向量数量积的计算？提示：提示：一般选择已知长度与夹角的向量作基底，用基一般选择已知长度与夹角的向量作基底，用基底表示要求数量积的向量，再计算底表示要求数量积的向量，再计算.【类题类题通通】求平面向量数量积的方法求平面向量数量积的方法(1)(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab=|=|a|b|cos.|cos.求解时要
16、注意灵活使用数量积的运算求解时要注意灵活使用数量积的运算律律.(2)(2)若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算.【习练习练破破】1.1.已知等腰已知等腰ABCABC的底边的底边BCBC长为长为4 4，则，则 =_._.BA BC 【解析解析】如图，过如图，过A A作作ADBCADBC，垂足为，垂足为D.D.因为因为AB=ACAB=AC，所以，所以BD=BC=2BD=BC=2，于是于是|cos ABC=|=|=|cos ABC=|=|=4=2.4=2.所以所以 =|
17、cosABC=2=|cosABC=24=8.4=8.答案：答案：8 812BA BD 12BC 12BA BC BA BC 2.2.已知已知|a|=10|=10，|b|=4|=4，a与与b的夹角的夹角=120=120.求求：(1)(1)ab.(2)(2)a在在b方向上的射影方向上的射影.(3)(3)(a-2-2b)()(a+b).).(4)(4)(a-b)2 2.【解析解析】(1)(1)ab=|=|a|b|cos 120|cos 120=10=104 4 =-20.-20.(2)(2)a在在b方向上的射影为方向上的射影为|a|cos 120|cos 120=10=10 =-5.=-5.(3)(
18、3)(a-2-2b)(a+b)=)=a2 2+ab-2-2ab-2-2b2 2=a2 2-ab-2-2b2 2=|=|a|2 2-|-|a|b|cos 120|cos 120-2|-2|b|2 2=100-10=100-104 4 -2-24 42 2=88.=88.12（）12（）12（）(4)(4)(a-b)2 2=a2 2-2-2ab+b2 2=|=|a|2 2-2|-2|a|b|cos 120|cos 120+|b|2 2=100-2=100-210104 4 +4+42 2=100+40+16=156.=100+40+16=156.12（）【加练加练固固】(2019(2019烟台高一
19、检测烟台高一检测)在在ABCABC中，已知中，已知|=|=|，AB=1AB=1，AC=3AC=3，M M，N N分别为分别为BCBC的三等分点，的三等分点，则则 =()ABAC ABAC AM AN 102088A.B.C.D.9993【解析解析】选选B.B.因为因为|=|=|，所以，所以BACBAC=90=90.又因为又因为M M，N N分别为分别为BCBC的三等分点，的三等分点，ABAC ABAC 11AM ANABBCACCB331111ABACABACABAC3333 （）（）（）（）2112ABACABAC3333 （）（）2222220ABAC2.9999 类型二与向量模有关的问题
20、类型二与向量模有关的问题【典例典例】1.(20171.(2017全国卷全国卷)已知向量已知向量a，b的夹角为的夹角为6060，|a|=2|=2，|b|=1|=1，则，则|a+2+2b|=_.|=_.2.(20192.(2019沂南一中高一检测沂南一中高一检测)已知向量已知向量a，b满足满足|b|=|=5 5，|2|2a+b|=5|=5|a-b|=5|=5 则则|a|=_.|=_.3,2,【思维思维引引】利用模长公式：利用模长公式：aa=|=|a|2 2或或|a|=|=解决解决.a a2a【解析解析】1.1.=(=(a+2+2b)2 2=|a|2 2+2+2|a|2 2b|cos 60cos 6
21、0+=2=22 2+2+22 22 2 +2+22 2=4+4+4=12=4+4+4=12，所以所以 答案：答案：2 2 2|2|ab22|（）b12|2|122 3.ab32.2.由已知有由已知有 将将b2 2=|=|b|2 2=25=25代入方程组，解得代入方程组，解得|a|=|=答案：答案：22224475,250,aa bbaa bb5 6.35 63【内化内化悟悟】根据模长公式，求向量的模的问题应首先做怎样的转根据模长公式，求向量的模的问题应首先做怎样的转化？化？提示：提示：求模问题一般转化为求模的平方求模问题一般转化为求模的平方.【类题类题通通】关于向量模的计算关于向量模的计算(1
22、)(1)利用数量积求模问题，是数量积的重要应用，解决利用数量积求模问题，是数量积的重要应用，解决此类问题的方法是对向量进行平方，将向量运算转化此类问题的方法是对向量进行平方，将向量运算转化为实数运算为实数运算.(2)(2)拓展公式：拓展公式：(ab)2 2=|=|a|2 22 2ab+|+|b|2 2，(a+b)()(a-b)=|)=|a|2 2-|-|b|2 2.【习练习练破破】已知已知a，b满足满足|a|=4|=4，|b|=3|=3，夹角为，夹角为6060，则，则|a+b|=|=()A.37A.37B.13B.13C.C.D.D.3713类型二与向量模有关的问题(3)模长公式：aa=|a|
23、2或|a|=又因为M，N分别为BC的三等分点，【典例】(2019四平高一检测)已知a，b均为非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a与a+b的夹角为_.=22+222 +22=4+4+4=12，已知|a|=3，|b|=5，且ab=-12，则a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影为_.(1)ab=ba(交换律).由题意，得a(4b)=4(ab)=又因为|a|=|a+2b|，如图所示：=a，=b，过B作BB1垂直于直线OA，类型一向量数量积的计算及其几何意义求平面向量数量积的方法(1)ab=ba(交换律).则 =()(1)对于任意向量a与b，“abab=0”总成立吗？提示：不可以，数量
24、积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“ab”的形式.4tk2+16k2=0.量积的定义与运算律计算.(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|=所以a与a+b的夹角为30.已知|a|=3，|b|=5，且ab=-12，则a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影为_.因为|a|=1，ab=-1，由4|m|=3|n|，【解析解析】选选C.|C.|a+b|2222（）abaa bb224243cos 60337.【加练加练固固】已知向量已知向量a，b满足满足|a|=|=|b|=5|=5，且，且a与与b的夹角为的夹角为6060，求求|a+b|，|a-b|，|2|2a+b|.|.【解析
25、解析】因为因为|a+b|2 2=(=(a+b)2 2=(=(a+b)(a+b)=|=|a|2 2+|+|b|2 2+2+2ab=25+25+2|=25+25+2|a|b|cos 60|cos 60=50+2=50+25 55 5 =75.=75.所以所以|a+b|=5|=5|a-b|2 2=(=(a-b)2 2=(=(a-b)(a-b)=|)=|a|2 2+|+|b|2 2-2-2ab=|=|a|2 2+|+|b|2 2-2|-2|a|b|cos 60|cos 60=25=25，123.所以所以|a-b|=5.|=5.|2|2a+b|2 2=(2=(2a+b)(2(2a+b)=4|=4|a|2
26、 2+|+|b|2 2+4+4ab=4|=4|a|2 2+|+|b|2 2+4|+4|a|b|cos 60|cos 60=175.=175.所以所以|2|2a+b|=5|=5 7.类型三向量的夹角与垂直问题类型三向量的夹角与垂直问题角度角度1 1求向量的夹角求向量的夹角【典例典例】(2019(2019四平高一检测四平高一检测)已知已知a，b均为非零向均为非零向量，且量，且|a|=|=|b|=|=|a-b|，则向量，则向量a与与a+b的夹角为的夹角为_._.【思维思维引引】利用夹角公式：利用夹角公式：cos=cos=计算计算.a ba b【解析解析】设设a a与与a+ba+b的夹角为的夹角为，因
27、为因为|a|=|=|b|=|=|a-b|，所以所以a2 2=b2 2=(=(a-b)2 2=a2 2+b2 2-2-2ab，故故ab=|=|a|2 2，所以所以|a+b|=|a|=|a|，1222223（）ababa bcos=cos=所以所以a与与a+b的夹角为的夹角为3030.答案：答案：3030222132,233（）aaaabaa ba abaaa【素养素养探探】解决向量的夹角与垂直问题时，常常需要结合图形分解决向量的夹角与垂直问题时，常常需要结合图形分析问题，突出体现了数学抽象和直观想象的核心素养析问题，突出体现了数学抽象和直观想象的核心素养.若将本例条件改为若将本例条件改为“|a|
28、=3|=3|b|=|=|a+2+2b|”|”，试求，试求a与与b夹夹角的余弦值角的余弦值.【解析解析】设设a与与b夹角为夹角为，因为，因为|a|=3|=3|b|，所以所以|a|2 2=9|=9|b|2 2.又因为又因为|a|=|=|a+2+2b|，所以所以|a|2 2=|=|a|2 2+4|+4|b|2 2+4+4ab=|=|a|2 2+4|+4|b|2 2+4|4|a|b|cos=13|cos=13|b|2 2+12|+12|b|2 2cos cos，即即9|9|b|2 2=13|=13|b|2 2+12|+12|b|2 2cos cos，故有故有cos=-cos=-1.3角度角度2 2向量
29、垂直的应用向量垂直的应用【典例典例】已知非零向量已知非零向量m，n满足满足4|4|m|=3|=3|n|，m，n的的夹角为夹角为，cos=.cos=.若若n(t(tm+n)，则实数，则实数t t的值的值为为 ()A.4A.4B.-4B.-4C.C.D.-D.-139494【思维思维引引】利用向量垂直的充要条件求参数利用向量垂直的充要条件求参数.【解析解析】选选B.B.由由4|4|m|=3|=3|n|，可设可设|m|=3k|=3k，|n|=4k(k0)|=4k(k0)，又因为又因为n(t(tm+n)，所以，所以n(t(tm+n)=)=nt tm+nn=t|t|m|n|cos+|cos+|n|2 2
30、=t=t3k3k4k4k +(4k)+(4k)2 2=4tk4tk2 2+16k+16k2 2=0.=0.所以所以t=-4.t=-4.13【类题类题通通】1.1.求向量夹角的基本步骤求向量夹角的基本步骤2.2.向量垂直问题的处理思路向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是解决与垂直相关题目的依据是abab=0=0，利用数，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题解题.【习练习练破破】1.1.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，且且 =0=0，则四边，则四边形形ABCDABCD是是()A.A.矩形矩形B.B.菱形菱形C.C
31、.直角梯形直角梯形D.D.等腰梯形等腰梯形ABDC ，AC BD 【解析解析】选选B.B.因为因为 即一组对边平行且相等，即一组对边平行且相等，=0=0，即对角线互相垂直，所以四边形，即对角线互相垂直，所以四边形ABCDABCD为菱为菱形形.ABDC ，AC BD 2.(20192.(2019全国卷全国卷)已知非零向量已知非零向量a，b满足满足|a|=|=2|2|b|，且，且(a-b)b，则，则a与与b的夹角为的夹角为()25A.B.C.D.6336【解析解析】选选B.B.设夹角为设夹角为，因为，因为(a-b)b，所以，所以(a-b)b=ab-b2 2=0=0，所以，所以ab=b2 2，所以，
32、所以cos=cos=又又00，所以，所以a与与b的夹角为的夹角为 ，故选故选B.B.|a ba b22122，bb3【加练加练固固】已知非零向量已知非零向量a，b满足满足a+3+3b与与7 7a-5-5b互相垂直，互相垂直，a-4-4b与与7 7a-2-2b互相垂直，求互相垂直，求a与与b的夹角的夹角.【解析解析】设设a与与b的夹角为的夹角为，由已知条件得由已知条件得 即即 -得得2323b2 2-46-46ab=0=0，37504720（）（），（）（），abababab2222716150,73080,aa bbaa bb所以所以2 2ab=b2 2，代入得，代入得a2 2=b2 2，所以
33、所以|a|=|=|b|，所以，所以cos=cos=因为因为00，所以，所以=.=.22112.2ba ba bb3类型四利用向量的模长公式求力的大小类型四利用向量的模长公式求力的大小【物理情境物理情境】一质点受到平面上的三个力一质点受到平面上的三个力F1 1，F2 2，F3 3(单位：牛顿单位：牛顿)的作用而处于平衡状态的作用而处于平衡状态.已知已知F1 1，F2 2成成6060角，且角，且F1 1，F2 2的大小分别为的大小分别为2 2和和3 3，求，求F3 3的大小的大小.【转化模板转化模板】1.1.因为物理学中力是一个向量，所以求力的大因为物理学中力是一个向量，所以求力的大小可以转化为求
34、向量的模的大小，力的平衡即向量的小可以转化为求向量的模的大小，力的平衡即向量的和为零向量，可以建立向量模型解决和为零向量，可以建立向量模型解决.2.2.设三个力设三个力F1 1，F2 2，F3 3分别为向量分别为向量F1 1，F2 2，F3 3.3.3.已知非零向量已知非零向量F1 1，F2 2，F3 3满足满足F1 1+F2 2+F3 3=0，|F1 1|=2|=2，|F2 2|=3|=3，且，且F1 1，F2 2夹角为夹角为6060，求，求|F3 3|.|.4.4.由由F1 1+F2 2+F3 3=0=0，得，得-F3 3=F1 1+F2 2，所以所以 cos 60cos 60=4+9+6=194+9+6=19，所以，所以 =22223121212|2|（）FFFFFFF3|F19.5.5.力力F F3 3的大小为的大小为 牛顿牛顿.19
