1、 安徽省宣城市八校安徽省宣城市八校 20182018- -20192019 学年高一数学上学期期末联考试题（含学年高一数学上学期期末联考试题（含 解析）解析） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求的）一个选项符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由三角函数的诱导公式可得，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式可得，故选 A. 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求值问题，其中解
2、答中熟记三角函数的诱 导公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2.设集合, , 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得集合，得到或，根据集合的交集 的运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，可得集合， 则或， 又由，所以，故选 C. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合 A，再根据集合的运算， 准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3.已知, , , 则三者的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据实数指数幂的运算与对数的运算性质，求得的取值范围，即可
3、求解. 【详解】由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得, 根据对数运算的性质，可得， 所以，故选 C. 【点睛】本题主要考查了三个数的大小比较问题，其中解答中合理利用指数幂的运算性质， 以及对数的运算性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于 基础题. 4.函数的零点所在区间为（ ） A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4) 【答案】B 【解析】 【分析】 判断函数在区间端点处的函数值的符号，利用零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意知，函数， 因为， 所以， 又根据基本初等函数的单调性，可得函数函数为定义域上的单调递增函 数，所
4、以函数在区间上存在零点，故选 B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的零点存在定理， 以及基本初等函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可 【详解】由为偶函数可排除 A，C； 当时，图象高于图象，即，排除 B； 故选：D 【点睛】识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这 一特征分析解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解
5、决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问 题 6.设函数, 则函数定义域为（ ） A. B. C. (0, 4 D. (0, 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的解析式，求得函数的定义域，再由 在的定义域内求解 得范围，即可得到 答案. 【详解】由题意，函数，则函数满足，解得， 所以函数满足，解得，即函数的定义域为. 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的定义及求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义， 合理利用定义域的定义列出相应的不等关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题 的能力，是基础题. 7.要得到函数的图象, 只需将
6、函数的图象（ ） A. 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移 个单位. B. 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移 个单位. C. 所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移 个单位. D. 所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移 个单位. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标 不变)，可得，再将函数图象的各点向左平移 个单位，可得 ， 所以要得到函数
7、的图象, 只需将函数的图象上所有点的横坐标缩 短到原来的 倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移 个单位，故选 D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数图象变换的原则， 合理准确地完成平移与伸缩是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8.已知向量, ,若, 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量, 求得，再利用三角函数的基本关系化简，即可求解. 【详解】由题意，向量, , 因为, 所以，即，即， 则，故选 B. 【点睛】本题主要考查了向量的共线定理的应用，以及三角函数的基本关系式的应用，其中 解答中根据向量的
8、共线定理得到的值， 再利用三角函数的基本关系式化简、 求值是解答的 关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 9.函数的递增区间是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换的公式，化简得由函数，再根据余弦型函数的性质，即可求 解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由函数， 令，整理得， 所以函数的单调递增区间为，故选 C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根 据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键， 着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9、 10.已知函数, 则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，化简函数，再利用倒序相加法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数 设， 则， 所以 ， 所以，故选 D. 【点睛】本题主要考查了函数的化简求值，以及利用倒序相加求和，其中解答中化简函数 ，再利用倒序相加法求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于 基础题. 11.如图,在梯形中, , 为线段上一点,且， 为的中点, 若 （ ， ）,则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用向量的线性运算，化简求得，求得的值，即可得到答案. 【详解】由题意，根据
10、向量的运算法则，可得： 又因为，所以， 所以，故选 B. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则， 合理应用向量的三角形法则化简向量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基 础题. 12.定义域为 的函数 ,若关于 的方程有 5 个不同 的实数解,，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 当时， 函数， 解得， 当时， 函数， 可解得 或，当时，函数，可解得或，进而可求 得，即可得到结论. 【详解】由题意得，当时，函数，由，即， 则，且. 当时，函数， 由，得， 解得或，解得或， 当时，函数， 由，得， 解得或，解得
11、或， 所以， 故选 D. 【点睛】本题主要考查了对数函数，及函数与方程的综合应用，试题有一定的难度，属于中 档试题， 其中解答中根据条件分别按三种情况分类讨论求得方程的 5 个不同的 解，进而根据对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题小题, ,每题每题 5 5 分分, ,共共 2020 分分) ) 13.=_. 【答案】12 【解析】 【分析】 根据指数幂与对数的运算性质，即可化简，得到答案. 【详解】由题意，根据指数幂与对数的运算性质，可得 . 【点睛】本题主要考查了根据指数幂与对数的运算性质的化简求值，
12、其中解答中熟记指数幂 与对数的运算性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14.若满足，且，则 与 的夹角为_ 【答案】 【解析】 试题分析:由题设可得,即,也即,所以,故应 填 考点：向量的数量积公式及运用 15.已知函数 ()的图象关于点( , 0)对称, 则 的值是 _. 【答案】 【解析】 【分析】 根据的对称点，得到，解得，进而求解答案. 【详解】由题意，函数()的图象关于点( , 0)对称, 所以，解得，即， 又因为，所以. 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的对称中心的性 质，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求
13、解能力，属于基础题. 16.关于函数,有下列结论: 的定义域为(-1, 1); 的值域为(, ); 的图象关于原点成中心对称; 在其定义域上是减函数; 对的定义城中任意 都有. 其中正确的结论序号为_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据对数函数的定义求得函数的定义域，得到正确，根据对数函数的奇偶性的定义，判定 正确，根据函数单调性的定义求得不正确，根据对数函数的性质求得不正确；根据对 数的运算性质可判定正确. 【详解】由题意，函数，所以，解得， 所以函数的定义域为，所以是正确的； 由，令，则， 令，解得，所以函数的值域为 R，所以是不正确； 因为，所以函数为奇函数，图 象关于原点对称，所以是
14、正确的； 设，且， 则 因为，所以，所以， 即，所以函数定义域上的单调递增函数，所以不正确； 由， 所以是正确的； 【点睛】本题主要考查了函数的定义域与值域，对数的运算性质，以及函数的的单调性与奇 偶性的定义的判定与应用，其中熟记函数的定义域，以及对数函数的性质，合理运算是解答 的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 三、解答题三、解答题: :本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 7070 分分, ,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. . 17.已知全集,集合 为函数的定义域, . (1)若, 求和; (2)若,求实数
15、的取值范围. 【答案】 （1） ， （2）或 【解析】 【分析】 （1）根据对数函数的性质，求得集合 ，当时，利 用集合的运算，即可求解. （2）由，得到或，即可求解实数 m 的取值范围. 【详解】 （1）由题意，函数，满足，解得， 即集合 当时， ， （2）因为，所以或，即或 【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域，以及集合的运算及应用，其中解答中熟记对数 函数的性质，以及熟练应用集合的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基 础题. 18.在平面直角坐标系中, 已知点, (1)求以线段,为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)在中,设是边上的高线, 求点 的坐标. 【答案】
16、（1）和（2） （一 1，2） 【解析】 【分析】 （1）由题意求得 ，利用向量的模的运算公式，即可求解. （2）设，根据共线向量，求得 ，进而利用，求得， 即可得出点 D 的坐标. 【详解】 （1）由题意，可得，则 ， 所以， 即两条对角线的长为和 . （2）设点 的坐标为，由点 在上，设， 则，即 ， ，即，解得， 即点 D 的坐标为（-1，2） 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及共线向量与向量模的应用，其中解答中 熟记向量的数量积的坐标运算公式，以及共线向量的表示是解答的关键，着重考查了运算与 求解能力，属于基础题. 19.已知向量, (其中),函数, 其最小正周期 为 .
17、(1)求函数的解析式. (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】 （1）（2）最大值为 3，最小值为 0 【解析】 【分析】 （I）由三角恒等变换的公式，化简得，再由函数的最小正周期，求 得，即可得到函数的解析式； （2）由，所以，所以，即可求解函数的最值. 【详解】 （I）由题意，函数 ， 因为最小正周期为 ，所以，解得，即 （2）由，所以，所以， 所以，即的最大值为 3，最小值为 0 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，以及三角函数的性质的应用，其中熟练 应用三角函数恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的性质及其应用是解答的关 键，着重考查了运算与求解能力，属于基
18、础题. 20.已知定义域为 ,对任意 ,都有,当时, ,. （1）求; （2）试判断在 上的单调性,并证明; （3）解不等式:. 【答案】 （1）（2）在 上单调递减，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】 （1）令，得，令，得，即可求解的 值； （2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数为 上单调递减函数，得到结论. （3）令，得，进而化简得，再根据函数的单调性，得 到不等式，即可求解. 【详解】 （1）由题意，令，得，解得 令，得，所以. （2）函数在 上单调递减，证明如下： 任取，且， 可得 ， 因为，所以，所以 即，所以在 上单调递减. （3）令，得， ，又在 上的单调且 ，. ，即
19、不等式解集为. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值问题，以及函数的单调性的判定与应用，其中解答 中熟练应用抽象函数的赋值法求值，以及熟记函数的单调性的定义证明及应用是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于 民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域 为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形 的半径为 200 米，圆心角，点 在上，点在上，点 在弧上，设 . （1）若矩形是正方形，求的值； （2）为方便
20、市民观赏绿地景观，从 点处向修建两条观赏通道和（宽度不计） ，使 ，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问： 此时点 应在何处？说明你的理由. 【答案】 （1）矩形是正方形时，（2）当 是的中点时，最大 【解析】 试 题 分 析 ：（ 1 ） 因 为 四 边 形是 扇 形 的 内 接 正 方 形 ， 所 以 ，注意到，代入前者就可以求出. （2）由题设可由，利用两角差的正弦和辅助 角公式把化成的形式，从而求出的最大值. 解析： （1）在中， ，在中， ， 所以 ，因为矩形是正方形，所以 ，所以，所以 （2）因为所以， ，所 以, 即时，最大，此时 是的中点 答： （1）矩形是正方形
21、时，； （2）当 是的中点时，最大 22.已知函数()为偶函数. （1）求 的值; （2）若函数,，是否存在实数 使得的最小值为 0, 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 （1）（2）存在使得最小值为 0. 【解析】 【分析】 （1） 根据函数是偶函数， 得， 代入整理得， 即 对一切恒成立，即可求解 的值； （2）由（1）知，令，则，分类求得函数的单调 性和最小值，即可得到结论. 【详解】 （1）由题意，函数是偶函数可得， 所以 ， 即，即对一切恒成立，解得 . （2）由（1）知，令，则， 当时，在单调递增，不符； 当时，图像对称轴，则在单调递增， ，（舍） ； 当时，图像对称轴， （i）当，即时，； （ii）当，即时，（舍） 综上，存在 使得最小值为 0. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性与最值的应用，其中解答中熟 记函数的奇偶性的应用，以及利用换元法，合理分类讨论得出函数的单调性和最值是解答本 题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
