1、 昌平区昌平区 2018201820192019 学年第一学期高一年级期末质量抽测学年第一学期高一年级期末质量抽测 数学试卷数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的项中，只有一项是符合要求的. . 1.已知集合，,那么 等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据并集的定义写出AB即可 【详解】集合A1，0，2，B0，2，3， 则AB1，0，2，3 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题 2.已知
2、角的终边经过点 ，那么的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三角函数的定义直接可求得 sina. 【详解】知角a的终边经过点P， sina， 故选：B 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 3.（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析： 考点：诱导公式 4.已知向量, 且，那么实数 的值为 A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值 【详解】， ； m2 故选：C 【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算 5.下列函数中，既是偶函数，又在区间
3、上为减函数的为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，y为反比例函数，为奇函数，不符合题意； 对于B，ycosx为余弦函数，在（，0）上不是单调函数，不符合题意； 对于C，y2x，不是偶函数，不符合题意； 对于D，y|x|+1，既是偶函数，又在区间（，0）上为减函数，符合 题意； 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础 题 6.已知 那么 a，b，c 的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 容
4、易看出 40.51，log0.540，00.541，从而可得出a，b，c的大小关系 【详解】40.5401，log0.54log0.510，00.540.501； bca 故选：A 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题 7.如果二次函数有两个不同的零点，那么 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件利用二次函数的性质可得44（）0，由此求得m的范围 【详解】二次函数yx2+2x+（m2）有两个不同的零点，44（）0， 求得m-1 或 m2， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查了二次函数的性质，
5、属于基础题 8.为了得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平行移动 个单位 B. 向左平行移动 个单位 C. 向右平行移动 个单位 D. 向右平行移动 个单位 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论 【详解】 将函数ysin （2x） 的图象向左平行移动 个单位得到 sin2 （x）=， 要得到函数ysin2x的图象，只需将函数ysin（2x）的图象向左平行移动 个单位 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数yAsin（x+）的图象变换规律的简单应用，属于基础题 9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：先将水加热到 100，水温与时间 近似满
6、足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间 近似满足函数的关系式为 （为常数） , 通常这种热饮在 40时， 口感最佳， 某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口 感最佳时饮用，最少需要的时间为 A. 35 B. 30 C. 25 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数图象可知这是一个分段函数， 第一段是正比例函数的一段， 第二段是指数型函数的一 段，即满足，且过点（5，100）和点（15，60） ，代入解析式即可得到函数 的解析式令 y=40，求出 x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间 【详解】由题意，当 0t5 时，函数图象
7、是一个线段，当t5 时，函数的解析式为 ， 点（5，100）和点（15，60） ，代入解析式， 有， 解得a5,b=20， 故函数的解析式为，t5令 y=40，解得 t=25, 最少需要的时间为 25min 故选 C. 【点睛】 本题考查了求解析式的问题， 将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式， 考查了指数的运算，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 3030 分分. . 10.已知集合，, 则 _. 【答案】 【解析】 【分析】 直接由交集的定义求得结果. 【详解】，, AB 故答案为 【点睛】考查描述法表示集
8、合的概念，以及交集的运算，属于基础题 11. _.（用数字作答） 【答案】5 【解析】 【分析】 根据对数与指数的运算性质直接得到结果. 【详解】. 故答案为 5. 【点睛】本题考查了指数运算法则及对数的运算性质，属于基础题， 12.已知向量 ，向量 与 的夹角为, 那么 _. 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量数量积的运算性质直接求解即可. 【详解】| |1，| |1，向量与 的夹角为， ， 故答案为 . 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题 13.已知函数 的图象如图所示，那么函数 _,_. 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 【分析】 根据周期求出 ，根据五点法作图
9、求出 ，从而求得函数的解析式 【详解】由题意可得T，解得 2 再由五点法作图可得 2 ，解得， 故答案为(1). 2 (2). 【点睛】本题主要考查利用yAsin（x+）的图象特征，由函数yAsin（x+）的 部分图象求解析式，属于中档题 14.已知函数在上存在零点，且满足 ,则函数的一个解析式为 _.（只需写出一个即可） 【答案】（不是唯一解） 【解析】 【分析】 根据f（2）f（2）0 便可想到f（x）可能为偶函数，从而想到f（x）x2，x0 是该 函数的零点，在（2，2）内，从而可写出f（x）的一个解析式为：f（x）x2 【详解】根据f（2）f（2）0 可考虑f（x）是偶函数； 想到f（
10、x）x2，并且该函数在（2，2）上存在零点； 写出f（x）的一个解析式为：f（x）x2 故答案为：f（x）x2 【点睛】考查函数零点的定义及求法，属于基础题 15.已知函数是定义在 上的奇函数，当时， ，其中 （1）当时，_； （2）若的值域是 ，则的取值范围为_. 【答案】 (1). (2). （，-22，+） 【解析】 【分析】 运用奇函数的定义，计算即可得到所求值； 由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值域，结合判别式与对称轴满足的条件 列出不等式，解不等式即可得到所求范围 【详解】当时，函数f（x）是定义在 R 上的奇函数， f（1）f（1）（12+3）2； 由f（x）的图象关
11、于原点对称，可得f（0）=0，又当x0 时，f（x）的对称轴为 x=a, 所以若f（x）的值域是 R， 则当x0 时，f（x）必须满足： ，或， 解得a2 或a-2， 即a的取值范围是（，-22，+） 故答案为： 【答题空 1】； 【答题空 2】 （，-22，+） 【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题 三、解答题（共三、解答题（共 5 5 个小题，共个小题，共 7070 分）分） 16.已知 是第二象限角，且 （1）求的值； （2）求的值 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）直接由. （2）由可得，再由二倍角公式计算即可. 【详解】 （1）由，解得. （2）由（
12、1）可得， 所以 . 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系、两角和的正切公式及二倍角公式，熟练掌 握基本关系是解决本题的关键，属于基础题 17.已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间 上的最小值 【答案】 （1） ； （2）； （3） 【解析】 【分析】 （1）化简，由周期公式计算周期即可. （2）由题意知解得 x 的范围即得单调递减区间. （3）由（2）知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，即可求f（x）在区间 0， 上的最小值 【详解】 （1） 所以函数的最小正周期是. （2）由题意知 故 所以函数单调递减区间为 . （3）由（2）
13、知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减， 故f（x）在时取得最小值为. 【点睛】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题 18.已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论； （3）若函数，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】 （1）由，求得x的范围，可得函数的定义域； （2）根据函数的定义域关于原点对称，且f（x）f（x） ，可得f（x）为奇函数； （3）由f（x）0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集 【详解】 （1）由 解得 所以 , 故函数的定义域是. （2）函数是奇函数.
14、由（1）知定义域关于原点对称. 因为 ， 所以函数是奇函数. (3) 由可得 . 得 解得. 【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化 思想，是一道中档题 19.为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗 词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下： 小明阅读“经典名著”的阅读量（单位：字）与时间 t（单位：分钟）满足二次函数关 系，部分数据如下表所示； t 0 10 20 30 0 2700 5200 7500 阅读“古诗词”的阅读量（单位：字）与时间 t（单位：分钟）满足如图 1 所示的关系.
15、（1）请分别写出函数和的解析式； （2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时 间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？ 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）设f（t）=代入 （10， 2700）与 （30，7500） ，解得 a 与 b. 令kt，, 代入（40，8000） ，解得 k,再令mt+b，,代入（40，8000） ， （60，11000） ， 解得m，b的值即可得到和的解析式； （2）由题意知每天的阅读量为=，分和两种 情况，分别求得最大值，比较可得结论. 【详解】 （1）因为f（0）=0，所以可设f（t）=代入（1
16、0，2700）与（30，7500） ， 解得 a=-1,b=280.所以 ,又令kt，,代入 （40， 8000） ， 解得 k=200, 令mt+b，,代入（40，8000） ， （60，11000） ，解得 m=150,b=2000，所以 . （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为，则对“古诗词”的阅读时间为， 当，即时， = =， 所以当时，有最大值 13600 当，即时， h =， 因为的对称轴方程为， 所以 当时，是增函数， 所以 当时，有最大值为 13200. 因为 1360013200， 所以阅读总字数的最大值为 13600，此时对“经典名著”的阅读时间为 40 分钟，对“古 诗
17、词”的阅读时间为 20 分钟 【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档 20.已知函数的定义域为 ，对于给定的 ，若存在，使得函数满足： 函数在上是单调函数； 函数在上的值域是，则称是函数的 级“理想区间”. (1)判断函数，是否存在 1 级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想 区间”； （只需直接写出结果） (2) 证明：函数存在 3 级“理想区间”； （ ） (3)设函数，若函数 存在 级“理想区间”，求 的值. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）或 【解析】 【分析】 (1)直接由“理想区间”的定义判断即可. (2)由题意结合函数的单
18、调性得，即方程有两个不等实根. 设，由零点存在定理知有零点，所以方程组有解，即函数存在 3 级“理想区间” (3)根据函数在上为单调递增得到 ，转化为方程在上 有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种 情况，分别求得满足条件的 k 即可. 【详解】(1) 函数存在 1 级“理想区间”，“理想区间”是0,1；不存 在 1 级“理想区间”. (2)设函数存在 3 级“理想区间”，则存在区间 ，使的值域是. 因为函数在 R 上单调递增， 所以，即方程有两个不等实根. 设， 可知， 由零点存在定理知，存在，使，. 设，所以方程组有解，即函数存在 3 级“理想区间”. (3)若函数存在 级“理想区间”，则存在区间 ，函数的值域是. 因为，任取 ，且， 有， 因为，所以， 所以 ，即， 所以 函数在上为单调递增函数. 所以 ，于是方程在上有两个不等实根. 即在上有两个不等实根. 显然 是方程的一个解，所以 在至少有一个实根. （1）当时，不合题意，舍； （2）当时，方程无实根，舍； （3）时，, 所以 ，解出. 所以 ，又因为，所以 或. 【点睛】 本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题， 解题时应理解新定义中的题意与要 求，转化为解题的条件与结论，属于难题
