1、 1 福建省福州市八县一中 2017-2018学年高一数学上学期期中试题 完卷时间： 120分钟 满分： 150分 第卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的） （ 1） 设全集 ? ?0,1, 2,3, 4U ? ，集合 ? ?1,2,3A? ， ? ?2,4B? ，则 ? ?UA C B ? （ ） （ A） ? ?01,3， （ B） ?13， （ C） ? ?12,3， （ D） ? ?0,1,2,3 （ 2）函数 ( ) ln (1 )f x x x? ? ?的定义域是（ ） （ A） )10(， （
2、 B） 1,0（ （ C） )1,0 （ D） 1,0 （ 3） 已知幂函数 ? ?y f x? 的图象过（ 4， 2）点，则 ? ?2f ? （ ） （ A）2（ B） 2 （ C） 4 （ D） 22 （ 4）设函数? ? 2lo g 22)(2 xxxaxf x ， )( Ra? ，若 ? ? 1)4( ?ff ， 则 a 的值为 （ ） （ A） 2 （ B） 1 （ C） 21 （ D） 41 （ 5）下列函数中，既是偶函数，又在 )(0,? 上单调递增的是（ ） （ A） xy? （ B） 3xy? （ C） 21 xy ? （ D） xy ln? （ 6）已知函数 2)1(log
3、 ? xy a )10( ? aa 且 的图 象 恒过定点 A， 若点 A 也在函数bxf x ? 2)( 的图 象 上 ，则 b =（ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ 7）利用二分法求方程 3log 3xx?的近似解，可以取的一个区间是（ ） （ A） ? ?0,1 （ B） ? ?1,2 （ C） ? ?2,3 （ D） ? ?3,4 （ 8） 已知1.2 0.8 612 , ( ) , 2 l og 22b c? ? ?，则,abc的大小关系为（ ） （ A） c b a?（ B）c a b（ C）b c a?（ D）bac（ 9）已知函数 )(xf 是定
4、义在 R 上的偶函数，且 在 0,(? 上 是 减 函数， 若? ? ? ?2 1 1f x f? ? ?， 则实数 x 的取值 范围是（ ） （ A） ),0( ? （ B） )1,0( （ C） )1,(? （ D） ),1()0,( ? ? （ 10）若函数 xay? )10( ? aa 且 的反函数在定义域内单调递增 ，则函数( ) log ( 1)af x x?的图象大致是 ( ) 2 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 11）已知 1log ?ba )10( ? aa 且 ， 则下列各式 一定 正确的是 （ ） （ A） ba 22 ? （ B） ba 22 loglog
5、? （ C） ba aa ? （ D） ba bb ? （ 12）已 知函数?3,lo g130,lo g)(33xxxxxf， 若 )()()( cfbfaf ? 且 cba ? ，则 cabcab ? 的取值范围为 （ ） （ A） )4,1( （ B） )5,1( （ C） )7,4( （ D） )7,5( 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分将答案填在答题卡的相应位置上） （ 13）已知集合 ? ?1lo g 2 ? xNxA ， 则集合 A 子集的个数为 _ （ 14）计算： 1lg55 )12(15l o g3l o g)278( ? =_ （ 15） 已知 )(
6、xf 是 定义在 R 上的奇函数 , 当 0x? 时 , ( ) 2 2xf x x m? ? ?,则2 1(log )4f的值为 _ （ 16）如果存在函数 baxxg ?)( （ ba、 为常数），使得对函数 ()fx定义域内任意 x 都有 ( ) ( )f x g x? 成立，那么称 ()gx 为函数 ()fx的一个“线性覆盖函数”给出如下四个结论： 函数 xxf 2)( ? 存在“线性覆盖函数”； 对于 给定的函数 ()fx，其“线性覆盖函数”可能不存 在，也可能有无数个； 2121)( ? xxg 为函数 ()f x x? 的一个“线性覆盖函数”； 若 bxxg ?2)( 为函数 2
7、()f x x? 的一个“线性覆盖函数”，则 1b? 其中所有正确结 论的序号是 _ 三、解答题：本大 题共 6小 题，共 70分解答 题题出文字 题明， 题明 题程或演算步 题. （ 17） (本题满分 10分 ) 已知全集 RU? ，集合 ? 42A ? xx , ? 41B ? xx 3 (1)求 )C(A UB? ； (2)若集合 4| axaxC ? ，且 BC? ，求实数 a 的取值范围 （ 18） （本题满分 12分） 已知函数 ()fx是定义在 R 上的奇函数，且当 0x? 时， 2( ) 2f x x x? ? ； （ 1）求函数 )(xf 在 R 上 的解析式并 画出函数
8、()fx的图象 （不要求列表描点，只要求画出草图） （ 2） （） 写出 函数 ()fx的 单调递增 区间； （）若方程 ( ) =0f x m? 在 ),0 ? 上 有 两 个 不同的实数根 ， 求实数 m 的取值范围 。 （ 19） （本题满分 12分） 已知函数 ? ?( ) 1+ 21xaf x a R?. （ 1）当 0?a 时 ，判断并证明函数 )(xf 在 R 上 单调性 。 （ 2）当 2?a 时 ，若关于 x 的 方程 0)1()2( ? mff x 在 R 上有解 ， 求实数 m 的取值范围 。 （ 20） （本题满分 12分） 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”
9、提供了极大的方便， 某共享单车 公司“ Mobike” 计划在甲 、 乙两座城市共投资 120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P 与投入 a（单位： 万元）满足 623 ? aP ，4 乙城市收益 Q 与投入 a （单位：万元）满足 241Q ? a ， 设甲城市的投入为 x （单位：万元），两个城市的总收益为 )(xf （单位：万元）。 （ 1）当甲城市投资 50万元时，求此时公司总收益； （ 2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ （ 21） （本题满分 12分） 已知函数 )10()2(l o g)( ? aaaxxf a
10、 且， （ 1）设 )22(lo g)()( 2 xxfxg ? ，当 ?a 时，求函数 )(xg 的 定义域，判断并证明函数 )(xg 的奇偶性； （ 2）是否存在实数 a ，使得函数 )(xf 在 2,4 ? 递减，并且最 小值为 1，若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由 . （ 22）（本题满分 12分） 已知函数 )2(log)( 2 kxf x ? )( Rk? 的图象过点 )1,0(P 。 （ 1）求 k 的值并求函数 )(xf 的值域 ； （ 2）若关于 x 的方程 mxxf ?)( 有 实 根， 求实数 m 的取值范围 ； （ 3）若函数 )12()( 22)( ? xx
11、f axh ， 4,0?x ， 则是否存在实数 a ， 使得函数 )(xh 的最大值为 0？若存在，求出 a 的值 ； 若不存在 ， 请说明理由 。 2017-2018学年度第一学期八县（市）一中期中联考 高中 一 年 数学 科试卷 参考答案 一、选择题 :（每题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 答案 B C A D D B C A B D C D 二、填空题 :（每小题 5 分，共 20分） 13 4 14 41 15 -7 16 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分） （ 17）（本小题共 10分） 解： (1) ? ? 242
12、A ? xxx x ? 2分 ? 41C U ? xxxB 或）（ ? 3分 ? ? 1)( ? xxBCA U? ? 5分 （ 2）当 ?C 时 ， 即 aa4 ? ，所以 2a? ，此时 BC? 满足题意 2?a ? 7分 当 ?C 时 ， aa4 ? ，即 2a? 时， 所以?4142aaa ，解得： 32 ?a ? 9分 综上， 实数 a的取值范围 是 ? 3?aa ? 10分 （ 18）（本小题共 12分） 解：（ 1）设 0?x 则 0?x 所以 xxxf 2)( 2 ? 又因为 )(xf 为奇函数 ， 所以 )()( xfxf ? 所以 xxxf 2)( 2 ? 即 xxxf 2
13、)( 2 ? )0( ?x ? 2分 所以?0,202)(22xxxxxxxf， ? 3分 图象略? 6分 （ 2）由图象得函数 )(xf 的单调递增区间为 1,( ? 和 ),1? ? 8分 方程 ( ) =0f x m? 在 ),0 ? 上 有 两个不同的实数根 ， 所以函数 )(xfy? 与 my ? 在 ),0 ? 上 有 两个不同的交点 ，? 10分 由图象得 01 ? m ， 所以 10 ?m 所以 实数 m 的取值范围为 )1,0 ? 12分 评分细则说明： 1.若单调增区间写成 ),1()1,( ? ? 扣 1分 。 （ 19） （本题满分 12分） 解：（ 1）当 0?a 时
14、 ，函数 )(xf 在 R 上 单调递增 ， 证 明如下 ：? 1分 设 2121 , xxRxx ? 且 ， 则 6 )121()121()()( 2121 ? xx aaxfxf ? 2分 )12)(12( )22(1212 21 1221 ? ? xxxxxx aaa? 3分 因为 21 xx? ， 所以 022 12 ? xx ， 0)12)(12( 21 ? xx ， 又 ?a 所以 0)()( 21 ? xfxf 即 )()( 21 xfxf ? ? 5分 所以，函数 )(xf 在 R 上 单调递增 ? 6分 （ 2）当 2?a 时 ，12 1212 21)( ? xxxxf，定义
15、域为 R )(12 1221 2112 12)( xfxf xxxxxx ? ? 所以，函数 )(xf 为 奇函数? 8分 因为 0)1()2( ? mff x 所以 )1()1()2( ? mfmff x ? 9分 由（ 1）知， 2?a 时 ，函数 )(xf 在 R 上单调递增 所以 12 ?mx 在 R 上 有解 ，? 10 分 所以 函数 xy 2? 与函数 1?my 有交点 所以 11?m ， 即 2?m 所以实数 m 的取值范围为 ),2 ? ? 12分 （ 20） （本题满分 12分） 解：（ 1）当 50?x 时 ，此时甲城市投资 50万元，乙城市投资 70万元 ? ? 1分
16、所以总收益 2704165023)50( ?f =43.5（万元） ? 4分 （ 2）由题知，甲城市投资 x 万元，乙城市投资 )120( x? 万元 所以 2)120(41623)( ? xxxf 262341 ? xx ? 7分 依题意得? ? 4012040xx， 解得 8040 ?x 7 故 262341)( ? xxxf )8040( ?x ? 8分 令 xt? ，则 54,102?t 所以 4426(41262341 22 ? ）ttty 当 26?t ， 即 72?x 万元时 ， y 的最大值为 44万元? 11分 所以当甲城市投资 72万元，乙城市投资 48万元时，总收 益最大，且最大收益为 44万元 ? 12分 评分细则说明： 1.函数 )(xf 定义域没写扣 1 分 （ 21） （本题满分 12分） （ 1）当 2?a 时 ， )22(log)( 2
