1、 珠海市珠海市 2017201720182018 学年度第一学期期末普通高中学生学年度第一学期期末普通高中学生 学业质量监测学业质量监测 高一数学试题高一数学试题 一、选择题：一、选择题：( (本大题共本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .给出的四个选项中，只有一项是符给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. .请将正确的选项填涂在答题卡上请将正确的选项填涂在答题卡上) ) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，故选 D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D
2、. 【答案】A 【解析】要使函数有意义，则有 ，可得函数的 定义域为，故选 A. 3. 已知函数，则，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】因为，所以， 故选 B. 4. 在长方体中，则异面直线与所成角的 大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接为异面直线与所成角，几何体是长方体， 是，异面直线与所成角 的大小是,故选 C. 5. 定义在上的连续函数有下列的对应值表： 0 1 2 3 4 5 6 0 -1.2 -0.2 2.1 -2 3.2 2.4 则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上有 4 个零点 B. 函数在上只有 3 个零点 C. 函数在上最
3、多有 4 个零点 D. 函数在上至少有 4 个零点 【答案】D 【解析】 由表格数据可知， 连续函数满足，根 据零点存在定理可得，在区间 上，至少各有一个零点，所以函数在 上至少有 个零点，故选 D. 6. 两圆和的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】B 【解析】依题意，圆的圆坐标为，半径为 ，圆 的标准方程为，其圆心坐标为 ，半径为 ，两圆心的距离，且 两圆相交，故选 B. 7. 对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（ ） A. 三角形的直观图仍然是一个三角形 B. 的角的直观图会变为的角 C. 与 轴平行的线段长度变为原来的
4、一半 D. 原来平行的线段仍然平行 【答案】B 【解析】根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形,故 正确；的角的直观图 不一定的角，例如也可以为，所以 不正确；由斜二测画法可知，与 轴平行的线段长 度变为原来的一半,故 正确； 根据斜二测画法的作法可得原来平行的线段仍然平行,故 正确, 故选 B. 8. 某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在 之间，他用二分法操作了 7 次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该 为（ ） A. 0.1 B. 0.01 C. 0.001 D. 0.0001 【答案】B 【解析】令，则用计算器作出的对应值表： 由表格数据知，用
5、二分法操作 次可将作为得到方程的近似解， ， ，近似解的精确度应该为 0.01，故选 B. 9. 对于空间两不同的直线，两不同的平面，有下列推理： （1）， （2）， （3） （4）， （5） 其中推理正确的序号为（ ） A. （1） （3） （4） B. （2） （3） （5） C. （4） （5） D. （2） （3） （4） （5） 【答案】C 【解析】因为时，可以在平面 内，所以（1）不正确；因为时，可以在 平面 内，所以（2）不正确；因为时可以在平面 内，所以（3）不正确；根据线面 垂直的性质定理可得， （4）正确；根据线面平行的性质及线面垂直的性质可 得（5）正确，推理正确的序号为
6、（4） （5） ，故选 C. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定与性 质，属于难题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其 是画长方体） 、现实实物判断法（如墙角、桌面等） 、排除筛选法等；另外，若原命题不太容 易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 10. 一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由三视图可画出该三棱锥的直观图，如图 ，图中正四棱住的底面边长为 ，高为 ， 棱锥的四个面有三个为直角三角形，一个为腰长为
7、 ，底长 的等腰三角形，其面积分别 为： ，所以三棱锥的表面积为，故选 B. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力， 属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将 其“翻译”成直观图是解题的关键， 不但要注意三视图的三要素“高平齐， 长对正， 宽相等”， 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 11. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由=0 得两个正根和一个负根，所以舍去 B,C；因为，所以舍 D,选 A 12. 设函数，对于满足的一切 值都有，则实
8、数 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】满足的一切 值，都有恒成立，可知 ，满足的一切 值恒成立， ，实数 的取值范围是，实数 的取值范围为，故选 D. 【方法点晴】本题主要考查二次函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成 立问题常见方法： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题就是利用方法 求得 的取值范围的. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） 13. 已知函数是定义在 上的奇函数，若时，则时， _
9、 【答案】 【解析】函数是定义在 上的奇函数，当时，当 时，则， ，故答案为. 14. 计算 _ 【答案】 【解析】化简 ，故答案为 . 故答案为 15. 已知直线与直线的倾斜角分别为和，则直线 与 的交 点坐标为_ 【答案】 【解析】因为直线与直线的倾斜角分别为和，所以 ，联立 与可得，, 直线 与 的交点坐标为 ,故答案为. 16. 计算_ 【答案】5 【解析】化简 ，故答案 为 . 17. 一个圆锥的侧面展开图是半径为 3， 圆心角为的扇形， 则该圆锥的体积为_ 【答案】 【解析】圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为 的扇形，圆锥的母线长为， 底面周长即扇形的弧长为底面圆的面积为，又圆锥
10、的高 ，故圆锥的体积为，故答案为. 18. 已知且，且，如果无论在给定的范围内取任何值时，函数 与函数总经过同一个定点，则实数_ 【答案】3 【解析】因为函数与函数总经过同一个定点，函数 的图象经过定点 ，所以函数总也经过，所以， 故答案为 . 19. 在空间直角坐标系中， 点在平面上的射影为点 ， 在平面上的射影为点 ， 则_ 【答案】 【解析】因为点在平面上的射影为点, 在平面上的射影为点 ， 所以由两点间距离公式可得 ， 故答案为. 20. 某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月 租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需
11、要维护费 150 元，未租 出的车每辆每月需要维护费 50 元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为 _ 【答案】4050 【解析】设每辆车的月租金定为 元，则租赁公司的月收益： 当时， 最大，最大值为 ，即当每车辆的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是 ，故答案为. 【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属 于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的 事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将 实际问题转化为数学模型进行解答. 解答本题的关键是：将租
12、赁公司的月收益表示为关于每 辆车的月租金 的函数，然后利用二次函数的性质解答. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 5 5 小题，共小题，共 5050 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 已知全集，. （1）求； （2）若，求实数 的取值范围； （3）若，求实数 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) ;(3) . 【解析】试题分析： （1）直接根据补集的定义求解即可； （2）由可得数轴上两集合有 公共部分，从而可得实数 的取值范围； （3）等价于，根据集合的包含关系结 合数轴可得实数 的取值范围. 试题解析： （1）因为
13、全集，所以 （2）因为，且.所以实数 的取值范围是 （3）因为，且，所以，所以可得 22. 在平面直角坐标系中，已知直线. （1）若直线 在 轴上的截距为-2，求实数 的值，并写出直线 的截距式方程； （2）若过点且平行于直线 的直线 的方程为：，求实数的值，并求出 两条平行直线之间的距离. 【答案】(1) 直线 的截距式方程为：;(2) . 【解析】试题分析： （1）直线 在 轴上的截距为，等价于直线经过点，代入直线方 程得，所以，从而可得直线的一般式方程，再化为截距式即可； （2）把点 代入直线 的方程为可求得，由两直线平行得：，所以 ，因为两条平行 直线之间的距离就是点到直线 的距离，所
14、以由点到直线距离公式可得结果. 试题解析： （1）因为直线 在 轴上的截距为-2，所以直线经过点，代入直线方程得 ，所以. 所以直线 的方程为，当时， 所以直线 的截距式方程为：. （2）把点代入直线 的方程为：，求得 由两直线平行得：，所以 因为两条平行直线之间的距离就是点到直线 的距离，所以. 23. 如图，是平面四边形的对角线，且.现 在沿所在的直线把折起来，使平面平面，如图. （1）求证：平面； （2）求点 到平面的距离. 【答案】(1)见解析； （2）. 【解析】试题分析： （1）由平面平面，平面 平面，且平 面,且，根据线面垂直的判定定理可得平面； （2）取的中点 ，连. 由，可得
15、，又平面，所以，又 ，所以 平面，因此就是点 到平面的距离，在中，所以 . 试题解析： （1）证明：因为平面 平面 平面平面 ， 平面,且， 所以平面. （2）取的中点 ，连.因为，所以， 又平面，所以， 又 ， 所以平面， 所以就是点 到平面的距离， 在中，所以. 所以是点 到平面的距离是 . 【方法点晴】本题主要考查、线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理，属于中档题. 解 答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关 系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂 直的常用方法有： （1）利用判定定理； （2）利用判定
16、定理的推论； （3）利用 面面平行的性质； （4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平 面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 24. 在平面直角坐标系中，已知圆心 在直线上的圆 经过点，但不经过坐标原 点，并且直线与圆 相交所得的弦长为 4. （1）求圆 的一般方程； （2）若从点发出的光线经过 轴反射，反射光线刚好通过圆 的圆心，求反射光线所 在的直线方程（用一般式表达）. 【答案】 （1）； （2） 反射光线所在的直线方程的一般式为：. 【解析】试题分析： （1）设圆，根据圆心 在直线上，圆 经过 点，并且直线与圆 相交所得的弦长为 ，列出关于的方程组，解出 的值，可得圆的标准
17、方程，再化为一般方程即可； （2）点关于 轴的对称点， 反射光线所在的直线即为，又因为， 利用两点式可得反射光线所在的直线方程，再化为一般式即可. 试题解析： （1）设圆， 因为圆心 在直线上，所以有： ， 又因为圆 经过点，所以有： ， 而圆心到直线的距离为 ， 由弦长为 4，我们有弦心距. 所以有 联立成方程组解得：或 ， 又因为通过了坐标原点，所以舍去. 所以所求圆的方程为： ， 化为一般方程为： . （2）点关于 轴的对称点， 反射光线所在的直线即为，又因为， 所以反射光线所在的直线方程为： ， 所以反射光线所在的直线方程的一般式为： . 25. 若函数是定义在实数集 上的奇函数，并且
18、在区间上是单调递增的函数. （1）研究并证明函数在区间上的单调性； （2）若实数 满足不等式，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】试题分析： （1）设，则，所 以，根据在区间上是单调递增，可得，从而 可得函数在区间上是单调递减函数； （2）先证明在区间上是 单调递增的函数，根据奇偶性可得在区间 上是单调递增的函数，再将 变形为，可得，进而可得实数 的取值范围. 试题解析： （1）设，显然恒成立. 设，则， ， 则， 所以， 又在区间上是单调递增，所以 ， 即， 所以函数在区间上是单调递减函数. （2）因为是定义在实数集 上的奇函数，所以， 又因为在区间上是单调递增的函数， 所以当时， ， 当时， ， 所以当，有. 设，则，所以， 即，所以， 所以在区间上是单调递增的函数. 综上所述，在区间 上是单调递增的函数. 所以由得， 即所以. 【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用以及抽象函数与复合函数的单调性，属于难 题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是： （1）在已知区间上任取； （2）作差 ； （3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号） ， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.
