1、 20172017- -20182018 学年河南省三门峡市高一（上）期末学年河南省三门峡市高一（上）期末 数学试卷数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.设全集U=R，集合A=x|0x4，集合B=x|3x5，则A（UB）=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求UB，然后求A（UB） 【详解】（UB）x|x3 或x5， A（UB）x|0x3 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2.若直线过点（1，2） ， （4，2+ ）则此直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答
2、案】A 【解析】 【分析】 设直线的倾斜角为 ，根据直线的斜率和倾斜角的关系，即可求解 【详解】设直线的倾斜角为 ，则， 又，所以，故选 A. 【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线 的斜率，求直线斜率的常见方法有一以下三种， （1）已知直线上两点的坐标求斜率：利用 ； （2）已知直线方程求斜率：化成点斜式即可； （2）利用导数的几何意义求曲线切 点处的切线斜率. 3.设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分 别为（1，2，2） ， （2，-2，1） ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【
3、分析】 由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求 【详解】由已知可得r， 而|AB|， |AB|r 故选：C 【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题 4.函数的图像的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得，又由可得函数图象选 B。 5.若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：，即； 故 B 正确 考点：指数函数，对数函数的单调性 【方法点睛】本题主要考查用指数函数，对数函数的单调性比较大小的问题，难度一般比 较大小常用的方法有：作差法，插入数法，单调性法，图像法等有时几种方法可能需同时
4、 使用 6.三条直线l1：ax+by-1=0，l2：2x+（a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直， 则a+b等于（ ） A. B. 6 C. 或 6 D. 0 或 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据相互垂直的两直线斜率之间的关系对b分类讨论即可得出 【详解】l1，l2都和l3垂直，若b0，则a+20，解得a2，a+b2 若b0，则1，1， 联立解得a2，b4，a+b6 综上可得：a+b的值为2 或 6 故选：C 【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 7.由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体
5、的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为有直观图可知，该几何体的正视图是有一条从左上角到右下角的对角线的正方形，俯视 图是有一条从左下角角到右上角角的对角线的正方形，侧视图是有一条从左上角到右下角的 对角线的正方形（对角线为虚线） ，所以只有选项 D 合题意，故选 D. 8.已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 试题分析：A 不正确，也有可能； B 不正确，也有可能； C 不正确，可能或或； D 正确， 考点：1 线面位置关系；2
6、线面垂直 9.已知函数是定义域为 上的偶函数，若在上是减函数，且，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为偶函数在上是减函数，所以在上是增函数， 由题意知:不等式等价于,即 ,即或,解得或 10.已知圆C：x 2+y2+2x=0 与过点 A（1，0）的直线l有公共点，则直线l斜率k的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系直接求解 【详解】根据题意得，圆心（1，0） ，r1， 设直线方程为y0k（x1） ，即kxyk0 圆心到直线的距离d1，解得k 故选：B 【点睛】本题考查直线和
7、圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题 11.在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时， ，已知函数，则满足的实数的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 当时，； 当时，； 所以， 易知，在单调递增，在单调递增， 且时，时， 则在上单调递增， 所以得：，解得，故选 C。 点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到，通过单调性分析， 得到在上单调递增，解不等式，要符合定义域和单调性的双重要求， 则，解得答案。 12.已知函数，对于任意且.均存在唯一实数 ，使得 ，且.若关于 的方程有 4 个不相等的实数根，则 的取值范围是 ( ) A.
8、B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得 ，作出函数图像，由图知 ，选 C. 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、 草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称 性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 二、二、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知函数f（x）=1g（2 x-1）的定义城为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据对数函数定义得 2 x10，求出解集即可. 【详解】f（x）lg（2 x1） ， 根据对
9、数函数定义得 2 x10， 解得：x0， 故答案为： （0，+）. 【点睛】考查具体函数的定义域的求解，考查了指数不等式的解法，属于基础题 14.在平面直角坐标系中，动点 P 到两条直线与的距离之和等于 2，则点 P 到坐标原点的距离的最小值为_. 【答案】 【解析】 3xy=0 与 x+3y=0 的互相垂直，且交点为原点， 设点 P 到两条直线的距离分别为 a，b，则 a0，b0， 则 a+b=2，即 b=2a0， 得 0a2， 由勾股定理可知=， 0a2， 当 a=1 时，的距离， 故答案为： 15.已知符号函数 sgn（x），则函数 f（x）=sgn（x）2x 的所有零点构成的 集合为_
10、 【答案】 【解析】 【分析】 根据 的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合 【详解】当 x0 时，函数 f（x）=sgn（x）2x =12x，令 12x=0，得 x= ， 即当 x0 时，函数 f（x）的零点是 ； 当 x=0 时，函数 f（x）=0，故函数 f（x）的零点是 0； 当 x0 时，函数 f（x）=12x，令12x=0，得 x=， 即当 x0 时，函数 f（x）的零点是 综上可得函数 f（x）=sgn（x）x 的零点的集合为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转 化思想、分类讨论思想，是基础题
11、 16.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA， PB的中点，有下列结论： PC平面OMN； 平面PCD平面OMN； OMPA； 直线PD与直线MN所成角的大小为 90 其中正确结论的序号是_ （写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】 连接AC，易得PCOM，可判结论 证得平面PCD平面OMN，可判结论正确 由勾股数可得PCPA，得到OMPA，可判结论正确 根据线线平行先找到直线PD与直线MN所成的角为PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以 PDC60，可判错误 【详解】如图，连接AC，易得PCOM，所以PC平面OMN，结论正确
12、 同理PDON，所以平面PCD平面OMN，结论正确 由于四棱锥的棱长均相等， 所以AB 2+BC2PA2+PC2AC2， 所以 PCPA， 又PCOM， 所以OMPA， 结论正确 由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MNAB，又四边形ABCD为正方形，所以ABCD， 所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为PDC，知三角形PDC为 等边三角形，所以PDC60，故错误 故答案为： 【点睛】本题考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于 中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 1
13、7.直线l经过两直线l1:2x-y+4=0 与l2:x-y+5=0 的交点,且与直线 x-2y-6=0 垂直. (1)求直线l的方程. (2)若点 P(a,1)到直线l的距离为,求实数 a 的值. 【答案】 （1）； （2）或 【解析】 试题分析： （1）解方程组可得直线的交点为(1,6)，然后根据垂直可得直线l的斜率，由点斜 式可得l的方程； （2） 有点到直线的距离公式可得， 解得 a=1 或 a=6， 即为所求。 试题解析： (1)由得 所以直线l1与l2的交点为(1,6), 又直线l垂直于直线 x-2y-6=0, 所以直线l的斜率为 k=-2， 故直线l的方程为 y-6=-2(x-1)
14、, 即 2x+y-8=0. (2)因为点 P(a,1)到直线l的距离等于, 所以=, 解得 a=1 或 a=6. 所以实数 a 的值为 1 或 6. 18.如图， 在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD是平行四边形， BCD=60，AB=2AD，PD平面ABCD， 点M为PC的中点 （1）求证：PA平面BMD； （2）求证：ADPB； （3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析； （3）. 【解析】 【分析】 （1）设AC和BD交于点O，MO为三角形PAC的中位线可得MOPA，再利用直线和平面平行的 判定定理，证得结论 （2）由PD平面ABCD
15、，可得PDAD，再由 cosBAD，证得 ADBD，可证AD平 面PBD，从而证得结论 （3）点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离h，求出MN、MO的值，利用等体积法 求得点C到平面MBD的距离h 【详解】 （1）证明：设AC和BD交于点O，则由底面ABCD是平行四边形可得O为AC的中点 由于点M为PC的中点，故MO为三角形PAC的中位线，故MOPA再由PA不在平面BMD内， 而MO在平面BMD内， 故有PA平面BMD （2）由PD平面ABCD，可得PDAD，平行四边形ABCD中，BCD60，AB2AD， cosBADcos60，ADBD 这样，AD垂直于平面PBD内的两条相交直线
16、，故AD平面PBD，ADPB （3）若ABPD2，则AD1，BDABsinBAD2， 由于平面BMD经过AC的中点，故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离 取CD得中点N，则MN平面ABCD，且MNPD1 设点C到平面MBD的距离为h，则h为所求 由ADPB 可得BCPB，故三角形PBC为直角三角形 由于点M为PC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MDMB，故三角形 MBD为等腰三角形， 故MOBD 由于PA，MO 由VMBCDVCMBD 可得， （）MN（BDMO ）h， 故有 （）1（）h， 解得h 【点睛】本题主要考查直线和平面平行的判定定理， 直线和平面垂
17、直的性质，用等体积法求点到平面的距离，体现了数形结合和等价转化的数学 思想，属于中档题 19.已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为. （）求 的值，并求出在上的解析式； （）求在上的最值 【答案】 （）在上的解析式为 f（x）2 x4x； （）函数在0,1上的最大与最小值 分别为 0，-2. 【解析】 试题分析： （）由于 f（x）为定义在1,1上的奇函数，故 f（0）0，即 f（0）1 0.从而 1. 设 x0,1，则x1,0由 f（x）f（x）即可得在上的解析式.（） 当 x0,1，f（x）2 x4x2x（2x）2，设 t2x（t0） ，则 f（t）tt2.这样转化为 求二次函数在给
18、定区间上的最大值，最大值. 试题解析：解： （）f（x）为定义在1,1上的奇函数，且 f（x）在 x0 处有意义， f（0）0，即 f（0）1 0. 1. 设 x0,1，则x1,0 f（x）4 x2x. 又f（x）f（x） f（x）4 x2x. f（x）2 x4x. 所以，在上的解析式为 f（x）2 x4x （）当 x0,1，f（x）2 x4x2x（2x）2， 设 t2 x（t0） ，则 f（t）tt2. x0,1，t1,2 当 t1 时，取最大值，最大值为 110. 当 t=0 时，取最小值为-2. 所以，函数在0,1上的最大与最小值分别为 0，-2. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析
19、式；3、函数的最值. 20.如图， 几何体EF-ABCD中， 四边形CDEF是正方形， 四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC， ACB是腰长为 2的等腰直角三角形，平面CDEF平面ABCD （1）求证：BCAF； （2）求几何体EF-ABCD的体积 【答案】 （1）详见解析； （2）. 【解析】 【分析】 （1）推导出FCCD，FCBC，ACBC，由此BC平面ACF，从而BCAF （2）推导出ACBC2，AB4，从而ADBCsinABC22，由V几 何体EFABCDV几何体ACDEF+V几何体FACB，能求出几何体EFABCD的体积 【详解】 （1）因为平面CDEF平面ABCD， 平面
20、CDEF平面ABCD=CD， 又四边形CDEF是正方形， 所以FCCD，FC 平面CDEF， 所以FC平面ABCD，所以FCBC 因为ACB是腰长为 2的等腰直角三角形， 所以ACBC 又ACCF=C，所以BC平面ACF 所以BCAF （2）因为ABC是腰长为 2的等腰直角三角形， 所以AC=BC=2，AB=4， 所以AD=BCsinABC=2=2， CD=AB=BCcosABC=4-2cos45=2， DE=EF=CF=2， 由勾股定理得AE=2， 因为DE平面ABCD，所以DEAD 又ADDC，DEDC=D，所以AD平面CDEF 所以V几何体EF-ABCD=V几何体A-CDEF+V几何体F
21、-ACB = =+ = = 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21.已知圆 M 的方程为 x 2+（y-2）2=1，直线 l 的方程为 x-2y=0，点 P 在直线 l 上，过 P 点作 圆 M 的切线 PA，PB，切点为 A，B （1）若APB=60，试求点 P 的坐标； （2）若 P 点的坐标为（2，1） ，过 P 作直线与圆 M 交于 C，D 两点，当时，求直线 CD 的方程； （3）求证：经过 A，P，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标 【答案】 （1）或（2）x+y-3=0
22、或 x+7y-9=0（3）详见解析 【解析】 试题分析： （1）设 P（2m，m） ，代入圆方程，解得 m，进而可知点 P 的坐标;（2）设直线 CD 的方程为：y-1=k（x-2） ，由圆心 M 到直线 CD 的距离求得 k，则直线方程可得;（3）设 P（2m， m） ，MP 的中点，因为 PA 是圆 M 的切线，进而可知经过 A，P，M 三点的圆是以 Q 为 圆心，以 MQ 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于 m 的恒等式，进而可求得 x 和 y，得到经过 A，P，M 三点的圆必过定点的坐标 试题解析： （1）设 P（2m，m） ，由题可知 MP=2，所以（2m） 2+（m-
23、2）2=4， 解之得：， 故所求点 P 的坐标为 P（0，0）或 （2）设直线 CD 的方程为：y-1=k（x-2） ，易知 k 存在， 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为，所以， 解得，k=-1 或，故所求直线 CD 的方程为：x+y-3=0 或 x+7y-9=0 （3）设 P（2m，m） ，MP 的中点， 因为 PA 是圆 M 的切线，所以经过 A，P，M 三点的圆是以 Q 为圆心，以 MQ 为半径的圆， 故其方程为： 化简得：x 2+y2-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于 m 的恒等式， 故 x 2+y2-2y=0 且（2x+y-2）=0， 解得或 所以经过 A，P，M 三点
24、的圆必过定点（0，2）或 考点：圆方程的综合运用 22.已知函数f（x）= （1）若f（2）=a，求a的值； （2）当a=2 时，若对任意互不相等的实数x1，x2（m，m+4） ，都有0 成立，求实 数m的取值范围； （3）判断函数g（x）=f（x）-x-2a（a0）在R上的零点的个数，并说明理由 【答案】 （1）； （2）； （3） 个零点，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）分类讨论求出f（2） ，代入 f（2）a，解方程可得； （2）a2 时，求出分段函数的增区间；“对任意互不相等的实数x1，x2（m，m+4） ，都有 0 成立”f（x）在（m，m+4）上是增函数，根据子集关系列式可
25、得m的范围； （3）按照xa和xa这 2 种情况分别讨论零点个数 【详解】解： （1）因为f（2）=a， 当a2 时，4-2（a+1）+a=a，解得a=1 符合； 当a2 时，-4+2（a+1）-a=a，此式无解； 综上可得：a=1 （2）当a=2 时，f（x）=， f（x）的单调增区间为（-， ）和（2，+） ， 又由已知可得f（x）在（m，m+4）上单调递增， 所以m+4 ，或m2， 解得m- 或m2， 实数m的取值范围是（-，- 2，+） ； （3）由题意得g（x）= 当xa时，对称轴为x=， 因为-， 所以f（a）=a 2-a2-2a-a=-3a0， -a=a， f（）=-=-0， 由二次函数可知，g（x）在区间（a，）和区间（，+）各有一个零点； 当xa时，对称轴为x= a， 函数g（x）在区间（-，a）上单调递增且f（）=0， 所以函数在区间（-，a）内有一个零点 综上函数g（x）=f（x）-x-2a（- a0）在R上有 3 个零点 【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用及函数零点问题，考查了分类讨论思想的运用， 属于难题
