1、 辽宁省沈阳市辽宁省沈阳市 20182018- -20192019 学年高一（上）期末数学试卷学年高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.在下列选项中，能正确表示集合0，和关系的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，求解一元二次方程，得：或，可得，即可作差判定， 得到答案。 【详解】由题意，解方程，得：或， 又0，所以， 故选：B 【点睛】本题考查了集合的包含关系判断及应用，其中解答中正确求解集合 B 是解答本题的 关键，着重考查了推理与运算能力，属于简单题。 2.若，则下列结论
2、不正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用作差法证明 A、B 正确，根据不等式证明 C 正确，D 错误 【详解】由题意，对于 A 中，因为，故 A 正确， 对于 B 中国，因为，故 B 正确， 对于 C 中，因为，两边同除以 ab，可得，故 C 正确， 对于 D 中，因为，故 D 错误， 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系，其中解答中熟记不等关 系与不等式，熟练应用作出比较法进行比较是解答的关键，属于基础题，着重考查推理与运 算能力。 3.设函数，则 A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，
3、求出，而将带入即可求出的值，即得出答案。 【详解】由题意，根据分段函数的解析式，可得 故选：A 【点睛】本题考查对数的运算，及函数求值问题，其中解答中熟记对数的运算，以及合理利 用分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。 4.若，则的最小值是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，化简可得，利用基本不等式，即可求解最值，得到答案 【详解】由题意，因为，所以， 则， 当且仅当即时，取得最小值 4， 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，其中解答中化简构造基本不等式 的使用条件，合理应用基本不等式求解
4、是解答本题的关键，属于基础试题，着重考查了分析 问题和解答问题的能力 5.函数的零点所在区间 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 通过计算，的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案。 【 详 解 】 由 题 意 ， 可 得 函 数 在 定 义 域 上 为 增 函 数 ， ， 所以，根据零点存在性定理，的零点所在区间为 故选：B 【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准去计算的值，合理利 用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。 6.条件 p：关于 x 的不等式的解集为 R；条件 q：， 则 p 是 q 的 A. 充分
5、不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 先由二次函数的性质求出条件 p 中 a 的范围，再根据充分必要条件的定义，即可判断 【详解】由题意，条件 p：关于 x 的不等式的解集为 R， 当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述 p 中 a 的取值范围为， 所以则 p 是 q 的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题考查了函数恒成立的问题，以及充分必要条件判定问题，其中解答中熟练应用 二次函数图象与性质求解得出命题 恒成立时， 实数 的取值范围是解答的关键， 着重考查了分 析问题和解答问题的能力，属于中档题。 7.函数且图象
6、恒过的定点是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数的图象恒过定点，即求得的图象所过的定点，得到答案 【详解】由题意，函数且， 令，解得， ， 的图象过定点 故选：B 【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，其中解答中熟记指数函数过定点问题的 求解方法是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 8.设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据线面位置关系的判定与性质，对选项逐一判定，即可得到答案。 【详解】由题意，对于 A
7、中，直线 m，n 也可能相交或异面，所以不正确； 对于 B 中，直线 m，n 也可能异面，所以不正确； 对于 C 中，根据同垂直与一个平面的两直线平行，所以 C 是正确的； 对于 D 中，直线 m，n 也可能异面，所以不正确 故选：C 【点睛】本题主要考查了线线，线面，面面之间的关系判定问题，其中解答中熟记线面位置 关系的判定定理和性质定理，以及两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证 能力，属于基础题 9.已知是定义在 R 上的偶函数，当时，则函数在 R 上的解析式是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先设，则，然后根据时函数的解析式及为偶函数即可求解 【详解
8、】由题意，设，则， 时， 是定义在 R 上的偶函数， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式问题，其中解答熟练应用函数 的奇偶性的应用，以及准确化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础试题 10.在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示，已知实心圆 柱底面直径为 2，高为 3，内接直三棱柱底面为斜边长是 2 的等腰直角三角形，则剩余部分几 何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 底面积由圆面积减三角形面积可得，侧面积由三角形周长和圆周长同乘以高可得，进而求解 生育几何体的表面积。 【详解
9、】由题意，棱柱和圆柱的侧面积公式，以及三角形和圆的面积公式， 可得剩余几何体的底面积为：， 剩余几何体的侧面积为：， 剩余几何体的表面积为：， 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆柱和棱柱的侧面积与表面积的计算问题，其中解答中熟记圆柱和 棱柱的侧面积公式，以及圆和三角形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理 与计算能力，难度不大，属于基础题 11.设，则 a，b，c 的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数、对数函数的性质，分别求解得取值范围，即可得到答案 【详解】由题意，根据指数函数和对数函数的性质， 可得， 故选：D 【点睛】本题主要考查了
10、指数式与对数式的大小比较问题，其中解答中熟记指数函数与对数 函数的性质， 准确求解得取值范围是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力， 属于基础题 12.对任意实数定义运算“”：，设， 若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由 题 意 可 得， 画 图f(0)=-1,f(-2)=2, 由 图 可 知 ， ，选 D. 【点睛】对于函数零点问题，对于能分离参数的题型，我们一般分离参数，如本题-k=f(x), 所以只需画出函数 y=f(x)与 y=-k 的图像，两图像有几个交点，就有几个零点。当然，要求两 个函数的图像非常好画。 二
11、、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13._ 【答案】19 【解析】 【分析】 利用有理指数幂及对数的运算性质，准确运算，即可求解 【详解】由题意，原式 【点睛】本题考查了实数指数幂与对数的运算性质的化简求值问题，其中解答中熟记实数指 数幂与对数的运算性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于 基础题 14.已知函数为幂函数，则_ 【答案】16 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义求出 m 的值，写出的解析式，即可计算的值 【详解】由题意，函数为幂函数，解得， ， 故答案为：16 【点睛】本题考查了幂函数的定义，及
12、幂函数的求值问题，其中解答中熟记幂函数的定义， 用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题 15.已知是定义在上的减函数，则实数 a 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由分段函数是 R 上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左段函数的右端点大于 右段函数的左端点，列出相应的不等式组，即可求解实数 的范围即可 【详解】由题意，函数是定义在 R 上的减函数，则，解得； 即实数 a 的取值范围是 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，以及一次函数和对数函数的单调性的应用，其中解 答中由分段函数是 R 上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左
13、段函数的右端点 大于右段函数的左端点，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问 题的能力，属于中档试题 16.若正四棱锥的底面边长及高均为 a，则此四棱锥内切球的表面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，作出图形，利用内切圆半径，边长，高为已知条件建立关于 r 的方程，求得球的半 径，利用表面积公式，即可求解 【详解】由题意，如图所示，M，N 为 AD，BC 的中点，E，F 为切点， 则， ， ， 在中，解得， 内切球表面积为， 故答案为： 【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的 体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用
14、方法 有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径， 求出球的半径； （2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.设全集 U 是实数集 R，集合，集合 求集合 A，集合 B； 求， 【答案】 （）； （）. 【解析】 【分析】 解不等式能求出集合 A 和集合 B 利用交集、并集、补集定义能求出，和 【详解】 由全集 U 是实数集 R， 集合， 集合 ， ， 或， 【点睛】本题考查集合、交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式
15、性 质等基础知识，其中解答中正确求解集合 A、B，合理运用集合的交集、并集和补集的运算是 解答的关键，注重考查了考查运算求解能力，属于基础题 18.已知定义域为 R 的函数是奇函数，且 a， 求 a，b 的值； 设函数，若将函数的图象作关于 y 轴的对称图形后得到函数的图象， 再将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，求函数的解析式 【答案】 （）； （）. 【解析】 【分析】 利用，列方程组解得； 先由求代入得，然后关于 y 轴对称，把 x 换成即可得，最 后按照左加右减平移可得 【详解】 定义域为 R 的函数是奇函数， ，即， 解得； 由 知 ， 函数的图象作关于 y 轴的对称图形，得
16、到的图象， 将的图象向右平移一个单位得到的图象， 【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与应用，以及函数的对称性的应用，其中熟练应用函 数的奇偶性，求得的值，以及合理利用函数的对称性求解是解答本题的关键，着重考查了 分析问题和解答问题的能力，属于属中档题 19.在 2018 年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼以其优秀的 机动能力， 强大的作战性能引起举世惊叹 假设一台歼战斗机的制造费用为 1250 百万元 已 知飞机的维修费用第一年为 1 百万元，之后每年比上一年增加 1 百万元，若用 x 表示飞机使 用年限 取整数 ，则在 x 年中 含第 x 年 飞机维修费用总和为百万元，
17、记飞机在 x 年中 维修和制造费用的年平均费用为 y 百万元，即飞机制造费用飞机维修费用飞机使用 年限 求 y 关于 x 的函数关系式； 求飞机的使用年限为多少时，年平均费用最低？最低的年平均费用为多少？ 【答案】 （）； （）使用年限为 50 年时，年平均费用最低，最低 的年平均费用为百万元 【解析】 【分析】 由飞机制造费用飞机维修费用飞机使用年限 可得 y 关于 x 的函数关系式； 由 可知，利用基本不等式，即可求解。 【详解】 由题意可得. 由 可知， 当且仅当，即时，等号成立 答：使用年限为 50 年时，年平均费用最低，最低的年平均费用为百万元 【点睛】本题主要考查函数模型的建立与应
18、用，以及利用基本不等式求函数最值问题，其中 解答中认真审题，合理构建函数的基本模型，求得函数的解析式是解答本题的关键，着重考 查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题 20.如图所示，在四棱锥中，平面 ABCD， ，设 E、F 分别为 PD、AD 的中点 求证：； 求证：平面 CEF； 【答案】 （）见解析； （）见解析. 【解析】 【分析】 推导出，从而平面 PAC，由此能证明 推导出，平面 PAB，平面 PAB，从而平面平面 PAB，由此能证 明平面 CEF 【详解】 平面 ABCD， ， ，平面 PAC， 平面 PAC， 由 得 在直角三角形 ACD 中， ， 平面 PAB，平面 PAB
19、，平面 、F 分别是 PD、AD 中点， 又平面 PAB，平面 PAB，平面 PAB ，平面平面 平面 PAB，平面 【点睛】本题考查了线线垂直、线面平行的证明，其中 解答中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平 行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线 平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂 直 21.已知二次函数b 是实数 ，若，且方程有两个 相等的实根 求函数的解析式； 求函数在区间上的最小值 【答案】 （）； （）当时，最小值为；当时， 最小值为 【解析】 【
20、分析】 根据题意，由可得，又由方程有两个相等的实根，即方程 有两个相等的实根，分析可得，解可得 a、b 的值，代入函数的解析式 中即可得答案； 由二次函数的解析式求出的对称轴，分情况讨论 t 的范围，结合二次函数的性质分析 函数的最小值，综合即可得答案 【详解】 根据题意，二次函数， 若，则，即， 又由方程有两个相等的实根，即方程有两个相等的实根， 则有， 解可得：， 则； 由 的结论，则对称轴为， 当时，在单调递减， 最小值为； 当时，在单调递减，在上单调递增， 最小值为 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及最值，其中解答中根据题意，求得实数的值， 得到函数的解析式，合理利用二次函数的图
21、象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题 和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于中档试题。 22.已知函数，对任意 a，恒有，且当时，有 求； 求证：在 R 上为增函数； 若关于 x 的不等式对于任意恒成立，求实数 t 的取 值范围 【答案】 （）； （）见解析； （）. 【解析】 【分析】 根据题意，由特殊值法分析：令，则，变形可得的值， 任取， 且设， 则， 结合， 分析可得， 结合函数的单调性分析可得答案； 根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得 ，令，则原问题转化为在上 恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案 【详解】 根据题意，在中， 令，则，则有； 证明：任取，且设，则， 又由， 则， 则有， 故在 R 上为增函数 根据题意， 即，则， 又由，则， 又由在 R 上为增函数，则， 令，则， 则原问题转化为在上恒成立， 即对任意恒成立， 令，只需， 而， 当时，则 故 t 的取值范围是 【点睛】本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，其中解答中合理利 用函数的单调性和合理完成恒成立问题的转化是解答的关键，同时注意特殊值法的应用，着 重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。
