1、 山东省德州市山东省德州市 20182018- -20192019 学年高一上学期期末考试数学试题学年高一上学期期末考试数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，共小题，共 40.040.0 分）分） 1.已知全集2，3，4，5，6，3，5，6，则 A. B. C. 3，5，6， D. 3，4， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据并集与补集的定义，写出运算结果 【详解】3，5，6， 则3，5，6， 又全集2，3，4，5，6， 则 故选：B 【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题 2.某高中学校共有学生 3000 名， 各年级人数如下表， 已知在全校学生中随
2、机抽取 1 名学生， 抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名学生，则应在高三 年级抽取的学生的人数为 年级 一年级 二年级 三年级 学生人数 1200 x y A. 25 B. 26 C. 30 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得高二年级学生数量为 1050， 高三年级学生数量为 750， 由此用分层抽样的方法能求 出应在高三年级抽取的学生的人数 【详解】由题意得高二年级学生数量为： ， 高三年级学生数量为， 现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名学生， 设应在高三年级抽取的学生的人数为n， 则，解得 故选：A 【点睛】 本题考查应应在高三年级抽取
3、的学生的人数的求法， 考查分层抽样的性质等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 3.函数的定义域是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式和对数函数的定义，求出使函数解析式有意义的自变量取值范围 【详解】函数， ， ， 解得， 函数y的定义域是 故选：C 【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题求函数定义域的注意点：(1)不 要对解析式进行化简变形，以免定义域变化；(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、 差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)定义域是一 个集合， 要用集合或区间表示， 若用区间表示， 不能用“或”连
4、接， 而应该用并集符号“” 连接。 4.已知点，则P在平面直角坐标系中位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象 限 【答案】B 【解析】 【分析】 利用特殊角的三角函数值的符号得到点的坐标，直接判断点所在象限即可 【详解】， 在平面直角坐标系中位于第二象限 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数值的符号，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题 5.如图，边长为 2 的正方形有一内切圆向正方形内随机投入 1000 粒芝麻，假定这些芝麻全 部落入该正方形中，发现有 795 粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率 的近似 值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解
5、析】 【分析】 由圆的面积公式得：，由正方形的面积公式得：，由几何概型中的面积型结 合随机模拟试验可得：，得解 【详解】由圆的面积公式得：， 由正方形的面积公式得：， 由几何概型中的面积型可得： ， 所以， 故选：B 【点睛】本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题 6.根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y关于x的线性回归方程是，则 表中m的值为 x 8 10 11 12 14 y 21 25 m 28 35 A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求得x的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m的值即可 【
6、详解】由题意可得：， 由线性回归方程的性质可知：， 故， 故选：A 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量 的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映 x 与 y 之间的关系，这 条直线过样本中心点 7.函数的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据分段函数的表达式，分别求出当和时的零点个数即可 【详解】当时，由得， 作出函数和在时的图象如图： 由图象知两个函数有两个交点，即此时函数在时有两个零点， 当时，由得，得，此时有一个零点， 综上函数共有 3 个零点， 故选：D 【点睛】本题主要
7、考查函数零点个数的判断，利用分段函数的解析式，分别进行求解是解决 本题的关键对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个 问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含参的函数，注意 让含参的函数式子尽量简单一些。 8.抛掷一枚质地均匀的骰子， 落地后记事件A为“奇数点向上”， 事件B为“偶数点向上”， 事件C为“2 点或 4 点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有 A. 3 对 B. 2 对 C. 1 对 D. 0 对 【答案】C 【解析】 【分析】 利用互斥事件、对立事件的定义直接求解 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点
8、向上”， 事件B为“偶数点向上”，事件C为“2 点或 4 点向上”， 事件A与事件B是对立事件； 事件A与事件C是互斥但不对立事件； 事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件 故互斥但不对立的共有 1 对 故选：C 【点睛】本题考查互斥但不对立的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 9.为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气 温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图考虑以下结论： 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地
9、该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； 甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题中茎叶图知， ； ， . 所以 【此处有视频，请去附件查看】 10.已知扇形的周长为C，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为 A. B. 1rad C. D. 2rad 【答案】D 【解析】 【分析】 根据扇形的面积和周长，写出面积公式，再利用基本不等式求出的最大值，以及对应圆 心角的值，即可得解 【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为r， 根据扇形的面积为，周长为，
10、 得到，且， ， 又，当且仅当，即时，“”成立， 此时取得最大值为，对应圆心角为 故选：D 【点睛】本题考查了扇形的面积与周长的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中 档题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等 式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等 号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 28.028.0 分）分） 11.下列函数中值域为R的有_ A. B C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 分别判断函数的单调性和取值
11、范围，结合函数的值域进行求解即可 【详解】为增函数，函数的值域为R，满足条件 B.由得或，能够取遍的每一个值，此时 的值域为R，满足条件 C.，当时，当时，即函数 的值域为，不满足条件 是增函数，x 能取遍 R 中的每一个值，故函数的值域为R，满足条件 故答案为：ABD 【点睛】本题主要考查函数值域的求解，结合函数单调性的性质是解决本题的关键求函数 值域的基本方法:(1)观察法： 一些简单函数， 通过观察法求值域;(2)配方法： “二次函数类” 用配方法求值域;(3)换元法：形如(a，b，c，d均为常数，且ac0) 的函数常用换元法求值域，形如的函数用三角函数代换求值域;(4)分离常 数法：
12、形如的函数可用此法求值域;(5)单调性法： 函数单调性的变化是求最 值和值域的依据， 根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域;(6)数形结合法： 画 出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围. 12.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率 分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有 60 人，则下列说法正确的是_ A.样本中支出在元的频率为 B.样本中支出不少于 40 元的人数有 132 C.n的值为 200 D.若该校有 2000 名学生，则定有 600 人支出在元 【答案】BC 【解析】 【分析】 在A中，样本中支出在
13、元的频率为；在B中，样本中支出不少于 40 元的人数有： ；在C中，；若该校有 2000 名学生，则可能有 600 人 支出在元 【详解】由频率分布直方图得： 在A中，样本中支出在元的频率为：，故A错 误； 在B中，样本中支出不少于 40 元的人数有：，故B正确； 在C中，故n的值为 200，故C正确； D.若该校有 2000 名学生，则可能有 600 人支出在元，故D错误 故答案为：BC 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解 能力，考查数形结合思想，是基础题 13.符号表示不超过x的最大整数， 如， 定义函数：， 则下列命题正确的是_ A. B.当
14、时， C.函数的定义域为R，值域为 D.函数是增函数、奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由题意可得表示数x的小数部分，可得，当时， 即可判断正确结论 【详解】表示数x的小数部分， 则，故A正确； 当时，故B正确； 函数的定义域为R，值域为，故C正确； 当时， 当时， 当时，当时， 则，即有不为增函数， 由，可得， 即有不为奇函数 故答案为：A，B，C 【点睛】本题考查函数新定义的理解和运用，考查函数的单调性和奇偶性的判断，以及函数 值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题 14.已知， 且， 则m的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的
15、范围 【详解】因为，所以， 由已知，得， 故m的取值范围是 故答案为： 【点睛】此题考查了集合的子集关系及其运算，属于简单题 15.已知且，函数的图象恒过定点P，若P在幂函数的图象上， 则_ 【答案】27 【解析】 【分析】 根据指数函数的图象恒过定点， 求出点P的坐标， 代入幂函数的解析式求出， 再计算 的值 【详解】令，解得，此时， 指数函数的图象恒过定点； 设幂函数， 为实数， 由点P在的图象上， ， 解得， ， 故答案为：27 【点睛】本题考查了指数函数与幂函数的应用问题，是基础题 16.已知，则_；_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 把已知等式两边平方，求出的值，再
16、利用完全平方公式求出的值，联立 求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得的值 【详解】， ，即 ； ， ， ，即， 联立，解得， 故答案为：； 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系，求得是关键，也是难点，常 用的还有三姐妹的应用， 一般， 这三者我们称为三姐妹， 结合，可以知一求三. 17.已知偶函数的图象过点，且在区间上单调递减，则不等式的 解集为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象，利用数形结合进行求解即可 【详解】偶函数的图象过点，且在区间上单调递减， 函数的图象过点，且在区间上单调递增， 作出函数的图象大致如图： 则不等式等价为或， 即或， 即不
17、等式的解集为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图 象是解决本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 82.82.0 0 分）分） 18.计算 (2) 已知：，求 【答案】 （1）4； （2）2； （3） 【解析】 【分析】 进行分数指数幂的运算即可；进行对数的运算即可；根据可求出 ，进而求出，带入即可 【详解】原式； 原式； ； ； ； ； ； 【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方式的运用题目比较基础. 19.从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第i个家庭的月收入单位：千元与月储蓄单 位：千
18、元的数据资料，算得，附： 线性回归方程中，其中 ， 为样本平均值 求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程； 判断变量x与y之间是正相关还是负相关； 若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄 【答案】 （1） ； （2）见解析； （3）千元 【解析】 【分析】 由题意求出 ， ，根据，代入公式求值，又由，得出从而 得到回归直线方程；变量y的值随x的值增加而增加，可知x与y之间是正相关还是负 相关;代入即可预测该家庭的月储蓄 【详解】由题意知， ， 那么：， ， 由 ， 故所求回归方程为 由于变量y的值随x的值增加而增加，即 故x与y之间是正相关 将代入回归方程可以预测该家庭的月储
19、蓄为千元 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量 的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映 x 与 y 之间的关系，这 条直线过样本中心点 线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量， 对于具有确定关系的 两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 20.已知角 的终边上有一点，其中 求的值； 求的值 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 【分析】 任意角的三角函数的定义， 求得和的值， 可得的值;先求得的 值,利用同角三角函数的基本关系中的平方关系，把式子变成齐次式，代入求值即可. 【 详
20、解 】角的 终 边 上 有 一 点， 其 中， ， 当时， 当时， 由题意可得， 【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义， 同角三角函数的基本关系， 属于基础题 常 见的变形式有：(1)弦切互化法:主要利用公式 tan=;形如,asin 2x+bsin xcos x+ccos 2x 等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换 法:1=sin 2+cos2=(sin+cos)2-2sincos=tan 等；(3)和积转换法:利用 (sincos) 2=12sincos,(sin+cos)2+(sin-cos)2=2 的关系进行变形、转 化. 21.现有 8 名马拉松比赛志愿者，其中志愿者，
21、通晓日语，通晓俄语， ，通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各 1 名，组成一个小组 列出基本事件； 求被选中的概率； 求和不全被选中的概率 【答案】 （1）见解析； （2） ； （3） 【解析】 【分析】 利用列举法能求出基本事件；用M表示“被选中”，利用列举法求出M中含有 6 个 基本事件， 由此能求出被选中的概率；用N表示“和不全被选中”， 则 表示“ 和全被选中”，利用对立事件概率计算公式能求出和不全被选中的概率 【详解】现有 8 名马拉松比赛志愿者，其中志愿者，通晓日语， ，通晓俄语，通晓英语， 从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各 1 名，组成一个小组 基本事件空间，
22、， ， ， ，共 18 个基本事件 由于每个基本事件被选中的机会相等， 这些基本事件是等可能发生的， 用M表示“被选中”， 则， ，含有 6 个基本事件， 被选中的概率 用N表示“和不全被选中”，则 表示“和全被选中”， ，含有 3 个基本事件， 和不全被选中的概率 【点睛】本题考查基本事件、古典概型概率的求法，考查列举法、对立事件概率计算公式等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条 件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 22.据调查，某地区有 300 万从事传统农业的农民，人均年收入 6000 元，为了增加农民的收 入，当地
23、政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当 地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有万人进企业工作，那么剩下从事传 统农业的农民的人均年收入有望提高，而进入企业工作的农民的人均年收入为 元 在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最 大，并求出最大值； 为了保证传统农业的顺利进行，限制农民加入加工企业的人数不能超过总人数的 ，当地 政府如何引导农民，即x取何值时，能使 300 万农民的年总收入最大 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 根据题意建立函数关系结合二次函数的单调性的性质进行求解即可；根据条件设
24、300 万农民的年总收入为，建立函数关系，利用一元二次函数的性质进行求解 【详解】由题意如果有万人进企业工作， 设从事传统农业的所有农民的总收入为 y， 则， 对称轴为，抛物线开口向下，即当时，y取得最大值为万元 即由 100 万人进企业工作，能够使剩下从事传统农业的所有农民的总收入最大，最大为 2400000 万元 设 300 万农民的总收入为， 则 ， 对称轴为， 当时，当时，取得最大值， 当时，当时，取得最大值 【点睛】 本题主要考查函数的应用问题， 利用条件建立函数关系利用一元二次函数的性质是 解决本题的关键 23.对于函数，若存在实数，使成立，则 称为关于参数m的不动点 当，时，求关
25、于参数 1 的不动点； 若对于任意实数b，函数恒有关于参数 1 两个不动点，求a的取值范围； 当，时，函数在上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的 取值范围 【答案】 （1）和 3； （2） 【解析】 【分析】 ，时，解方程即可；即恒有两个不 等实根，两次使用判别式即可得到；问题转化为在上有两个不 同解，再利用二次函数的图象列式可得 【详解】当，时， 由题意有，即， 解得：， 故当，时，的关于参数 1 的两个不动点为和 3； 恒有两个不动点， ，即恒有两个不等实根， 恒成立， 于是 ，解得， 故当且恒有关于参数 1 的两个相异的不动点时； 由已知得在上有两个不同解， 即在上有两个不同解， 令， 所以， 解得： 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，以及根据函数零点求参的问题；对于函数的零 点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转 化为两个函数交点时， 如果是一个常函数一个含自变量的函数， 注意变形时让含有自变量的 函数式子尽量简单一些。
