1、 太原市太原市 20182018- -20192019 学年高一上学期期末考试学年高一上学期期末考试 数学试卷数学试卷 一、选择题。一、选择题。 1.下列事件中，随机事件的个数为（ ） （1）明年 1 月 1 日太原市下雪； （2）明年 NBA 总决赛将在马刺队与湖人队之间展开； （3）在标准大气压下时，水达到 80 摄氏度沸腾. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 对选项逐个分析， （3）为不可能事件， （1） （2）为随机事件，满足题意。 【详解】 （1） （2）对应的事件可能发生，也可能不发生，为随机事件， （3）在标准大气压下 时，水达到 100 摄
2、氏度沸腾，达到 80 摄氏度不可能沸腾，故为不可能事件，故答案为 C. 【点睛】本题考查了随机事件的判断，考查了学生对概念的掌握情况，属于基础题。 2.某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据 绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是， 样本数据分组为， ， ，则这组数据中众数的估计值是： （ ） A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 【答案】B 【解析】 【分析】 由众数是最高的小矩形的底面中点横坐标，即可得到答案。 【详解】由图可知，对应的长方形最高，故众数为它所对应矩形底面中点的横坐标， 即为 101，故答案为 B. 【点睛】本题
3、考查了频率分布直方图，考查了众数，考查了学生对基础知识的掌握。 3.某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三 个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） A. 随机数法 B. 分层抽样法 C. 抽签法 D. 系统抽样 法 【答案】B 【解析】 【分析】 结合分层抽样、随机数法、抽签法、系统抽样的定义和性质，可选出答案。 【详解】由于为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，从这 三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，这种抽样方法属于分层抽样，故选 B. 【点睛】本题考查了抽样方法的判断，考查了学生对分层抽样
4、、随机数法、抽签法、系统抽 样的定义和性质的掌握，属于基础题。 4.已知随机事件 和 互斥，且，则（ ） A. 0.5 B. 0.1 C. 0.7 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】 由，可求出，进而可求出. 【详解】因为事件 和 互斥，所以, 则，故. 故答案为 A. 【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解 能力，属于基础题。 5.下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的 5 组 100 次投篮的命中数，若这两组 数据的中位数相等，平均数也相等，则 ， 的值为（ ） A. 8，2 B. 3，6 C. 5，5 D. 3，5 【答案】D
5、【解析】 【分析】 由茎叶图可得，甲的中位数是 65，从而可知乙的中位数也是 65，可得到，再利用二者平 均数也相等，可求出 的值，即可得到答案。 【详解】由题意可知，甲的中位数为 65，则乙的中位数也是 65，故， 因为甲乙的平均数相等，所以， 解得. 故答案为 D. 【点睛】本题考查了茎叶图的知识，考查了中位数与平均数的求法，考查了学生对基础知识 的掌握。 6.已知函数，则其零点在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先 判 断 函 数 是 定 义 域 上 的 增 函 数 ， 然 后 由， ，可判断出零点所在区间。 【详解】由题意可知，函数为单调递增函
6、数， ， 故函数的零点的大致区间为. 【点睛】本题考查了函数的零点，考查了函数的单调性，属于基础题。 7.下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线， 若， 则函数在 区间内无零点 B. 函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线， 若， 则函数在 区间内可能有零点，且零点个数为偶数 C. 函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线， 若， 则函数在 区间内必有零点，且零点个数为奇数 D. 函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线， 若， 则函数在 区间内必有零点，但是零点个数不确定 【答案】D 【解析】 【分析】 结合函数零点存在定理，对选项逐个分析，排除错误选项，可得到正确
7、答案。 【详解】 对于选项 A， 取函数， 在区间上满足， 而函数 在区间上有两个零点 2 和-2，故选项 A 错误； 对于选项 B， 取函数， 在区间上满足， 而函数在区间 上有 1 个零点 0，不是偶数，故选项 B 错误； 对于选项 C，取函数，在区间上满足，而函数在 区间上有 2 个零点，分别为 0 和 2，不是奇数，故选项 C 错误； 对于选项 D，函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函 数在区间内必有零点，但是零点个数不确定，符合零点存在定理，故正确。 故答案为 D. 【点睛】本题考查了函数零点存在定理，考查了学生对函数零点问题的掌握情况，属于中档 题。 8.经统计某射击运
8、动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的 概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生 0 到 9 之间取整数的随机数，用 0，1，2 没 有击中，用 3，4，5，6，7，8，9 表示击中，以 4 个随机数为一组， 代表射击 4 次的结果， 经随机模拟产生了 20 组随机数： 7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550 0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281 根据以上数据，则可估计该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的概率为（ ） A. B. C. D
9、. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 20 组随机数可知该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的随机数共 8 组，据此可求出对应的概 率。 【详解】由题意，该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的随机数为：7525，0347，7815，5550， 6233，8045，3661，7424，共 8 组，则该运动员射击 4 次恰好命中 3 次的概率为. 故答案为 A. 【点睛】本题考查了利用随机模拟数表法求概率，考查了学生对 基础知识的掌握。 9.已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近 似值的精确度达到 0.1，则需对区间至多等分的次数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.
10、5 【答案】C 【解析】 【分析】 区间的长度为 1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过 次后，区间长度变 成，据此可列出不等式。 【详解】区间的长度为 1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过 次后，区 间长度变成，则，即，故对区间只需要分 4 次即可。 【点睛】本题考查了利用二分法求函数的零点，考查了精确度与区间长度和计算次数之间的 关系，属于基础题。 10.在边长分别为 3，3，的三角形区域内随机确定一个点 ，则该点离三个顶点的距离都不 小于 1 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 作出满足题意的图形，分别求出三角形的面积和阴影部分的
11、面积，利用几何概型的概率公式 即可求出答案。 【详解】如下图，中,，过点 作边的垂线，垂足为 ，则, ，则, 作出如下图的三个半径为 1 的扇形，则图中阴影部分的点到三个顶点的距离都不小于 1，设扇 形的面积为，则， 设阴影部分面积为，则， 故该点离三个顶点的距离都不小于 1 的概率是, 故答案为 B. 【点睛】本题考查了利用几何概型的概率公式求概率，考查了三角形面积与扇形面积的计算， 属于中档题。 11.下列说法正确的是（ ） A. 对任意的，必有 B. 若，对任意的，必有 C. 若，对任意的，必有 D. 若，总存在，当时，总有 【答案】D 【解析】 【分析】 结合指数函数，对数函数，幂函数
12、的性质，对选项逐个分析，利用特殊值法可排除错误选项。 【详解】对于选项 A，取，则，不满足，故 A 错误； 对于选项 B，取，则， ，故选项 B 错误； 对于选项 C，取，则，故选项 C 错误； 故选项 D 一定正确。 （选项 D 中，可知和都是增函数，同时二者图象关 于直线对称，而函数，也是增函数，当 足够大时，指数函数的增长速度最大， 对数函数的增长速度最慢，故存在，当时，总有.） 【点睛】本题考查了指数函数，对数函数及幂函数的性质，考查了学生对函数知识的掌握， 属于中档题。 12.已知函数， 若存在实数 ， 使得关于 的方程有两个不同的根， ， 则的值为（ ） A. 1 B. 2 C.
13、4 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 有两个不同的根， ， 设， 可得到， 计算可得 的值。 【详解】由题意，有两个不同的根， 设，则， 则， 故， 故选 C. 【点睛】本题考查了函数的零点，考查了对数函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题 的能力，属于中档题。 二、填空题。二、填空题。 13.若，则这三个数字中最大的是_ 【答案】 【解析】 【分析】 将三个数都转化为 10 进制的数，然后比较大小即可。 【 详 解 】， ， 故 最大。 【点睛】本题考查了不同进制间的转化，考查了学生的计算能力，属于基础题。 14.执行下图所示的程序框图，则输出的结果是_ 【答案】16 【解析】
14、 【分析】 运行程序，当时，不成立，输出. 【详解】程序开始运行， 判断成立，则， 判断成立，则， 判断成立，则， 判断成立，则， 判断不成立，则输出. 【点睛】本题考查了程序框图，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题。 15.下表记录了某公司投入广告费 与销售额 的统计结果，由表可得线性回归方程为 ，据此方程预报当时，_. 4 2 3 5 49 26 39 54 附：参考公式：， 【答案】65.5 【解析】 【分析】 根据表中数据，先求出回归方程，然后将代入，可得到答案。 【详解】由题意， ， ， 故回归方程为， 当时，. 【点睛】本题考查了回归方程的求法，考查了学生的计算求解
15、能力，属于基础题。 16.已知函数，且，给出下列结论： （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， 则上述正确结论的序号是_. 【答案】 （2） （5） 【解析】 【分析】 利用函数的单调性及零点的定义可求出的范围，通过函数的对称性，可求出，从 而得到答案。 【详解】 因为函数，都是增函数， 所以， 都是增函数。 ，即， ，即， 则，故（2）正确， （1）错误； 因为，所以（3） （4）都错误； 令，则， 由于函数，和都相交，且和关于对称，也关于 对称， 和的交点为，则，即（5）正确。 故答案为（2） （5） 【点睛】本题考查了函数的零点知识，考查了指数函数、对数函数的性质，考查了函数图
16、象 的对称性，属于难题。 三、解答题（解答应写出必要的文字说明三、解答题（解答应写出必要的文字说明，过程或演算步骤），过程或演算步骤） 17.如图所示的茎叶图， 是随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学， 测量他们的身高 （单位：） 获得的数据。 （1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高。 （2）计算甲班的样本方差。 【答案】 （1）乙班（2） 57.2 【解析】 【分析】 （1）分别根据茎叶图求出两个班的平均身高，比较大小即可得到答案； （2）利用方差公式计 算即可。 【详解】（1） 甲班的平均数， 乙班的平均数， 故乙班的平均身高较高； （2）利用方差公式得甲班的样本方差为： ， 【点睛】
17、本题考查了茎叶图知识，考查了平均数与方差的求法，考查了计算能力，属于基础 题。 18.在某中学举行的电脑知识竞赛中，将高一年级两个班参赛的学生成绩进行整理后分成五 组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一，第三，第四，第五小组的频 率分别是 0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是 40. （1）补齐图中频率分布直方图，并求这两个班参赛学生的总人数； （2）利用频率分布直方图，估算本次比赛学生成绩的平均数和中位数. 【答案】 （1）补图略，100（2） 平均数为 66.5 分，中位数为 64.5 分 【解析】 【分析】 （1）由频率之和等于 1，可求出第二小组的
18、频率，即可补全频率分布直方图，进而可以求出 总人数； （2）结合频率分布直方图中平均数和中位数的求法，求出即可。 【详解】 （1）第二小组的频率为，所以补全的频率分布直方图 如图. 这两个班参赛学生的总人数为人. （2）本次比赛学生成绩的平均数为: 中位数出现在第二组中，设中位数为 ，则， 所以估计本次比赛学生成绩的平均数为 66.5 分，中位数为 64.5 分. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的知识，考查了平均数与中位数的求法，属于基础题。 19.一袋中有 3 个红球，2 个黑球，1 个白球，6 个球除颜色外其余均相同，摇匀后随机摸球， （1）有放回地逐一摸取 2 次，求恰有 1 红球的概
19、率； （2）不放回地逐一摸取 2 次，求恰有 1 红球的概率； 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）有放回，每次抽取概率保持不变，分两种情况，第一次摸到红球，第二次摸到黑球或 白球，第一次摸到黑球或者白球，第二次摸到红球，然后分别求出两种情况的概率，然后 相加即可； （2）无放回，每次抽取概率发生变化，分两种情况，第一次摸到红球，第二次 摸到黑球或白球，第一次摸到黑球或者白球，第二次摸到红球，然后分别求出两种情况的 概率，然后相加即可。 【详解】 （1） （2） 【点睛】本题考查了概率的求法，考查了相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法 公式，考查了计算能力，属于基础题。
20、20.说明：请同学们在（A） （B）两个小题中任选一题作答. （A）小明计划搭乘公交车回家，经网上公交实时平台查询，得到 838 路与 611 路公交车预计 到达公交 站的时间均为 8：30，已知公交车实际到达时间与网络报时误差不超过 10 分钟. （1）若小明赶往公交 站搭乘 611 路，预计小明到达 站时间在 8:20 到 8:35，求小明比车早 到的概率； （2）求两辆车到达 站时间相差不超过 5 分钟的概率. （B）小明计划搭乘公交车回家，经网上公交实时平台查询，得到 838 路与 611 路公交车预计 到达公交 站的之间均为 8:30.已知公交车实际到达时间与网络报时误差不超过 10
21、 分钟 （1）求两辆车到达 站时间相差不超过 5 分钟的概率 （2）求 838 路与 611 路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过 10 分钟的概率。 【答案】 （A） （1） （2）（B） （1）（2） 【解析】 【分析】 （A） （1）设公交车 611 路到达时间为，小明到达时间为，小明比 车早到， 则， 由几何概型得到概率即可； （2） 设 611 路公交车的到达时间为， 838 路公交车的到达时间为，两辆车相差时间不超过 5 分钟，则，由几 何概型得到概率即可； （B） （1）设 838 路到达公交 站的时刻为 8 点 分钟，611 路到达公交 站的时刻为 8 点 分钟， 则
22、，结合图形可得到两辆车到达 站时间相差不超过 5 分钟的概率即可得解； （2） 设 838 路公交车实际到站时刻为 8 点 分钟，611 路公交车实际到站时刻为 8 点 分钟，则 ，结合图形可知，838 路与 611 路公交车实际到站时间与网络报时的误 差之和不超过 10 分钟的概率即可得解. 【详解】 （A） （1）设公交车 611 路到达时间为，小明到达时间为， 小明比车早到，则，由几何概型得到概率为 （2）设 611 路公交车的到达时间为，838 路公交车的到达时间为， 两辆车相差时间不超过 5 分钟，则，. （B） （1）设 838 路到达公交 站的时刻为 8 点 分钟，611 路到达
23、公交 站的时刻为 8 点 分钟， 则 由图可知，两辆车到达 站时间相差不超过 5 分钟的概率 （2）设 838 路公交车实际到站时刻为 8 点 分钟，611 路公交车实际到站时刻为 8 点 分钟， 则 由图可知，838 路与 611 路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过 10 分钟的概率 【点睛】本题考查了几何概型，考查了数形结合的数学思想，考查了学生分析问题、解决问 题的能力，属于中档题。 21.说明：请考生在（A） 、 （B）两个小题中任选一题作答。 （A）已知函数； （1）求的零点； （2）若有三个零点，求实数 的取值范围. （B）已知函数 （1）求的零点； （2）若，有 4
24、个零点，求 的取值范围. 【答案】 （A） （1），（2）（B） （1），-1（2） 【解析】 【分析】 （A） （1）分和解方程即可得到答案； （2）结合函数的单调性及值域，分 2 种情 况与讨论即可。 （B） （1） 结合函数表达式， 可得到或， 解方程即可； （2） 结合函数与 的单调性与值域，分三种情况，讨论即可。 【详解】 （A） （1） 当时， ， ； 当时， ，的零点是，. （2）在上，单调递增，值域是，在上，单调递增，值域为 ，如图： 若有三个零点， 令，时，有 1 个解，时，有 2 个解， 则当，有 2 个解，不成立， 当时，有 1 个解，则，即，满足题意。 （B） （1）由得或， 当时，或者， 当，-1， 故的零点为，-1. （2）在上，单调递增，值域是，在上，单调递增，值域为 ，在 上，单调递增，值域为，在上，单调递增，值域为， 令，则， 当时，只有一个解，不成立； 当时，有 2 个解， 若时，有两解，若时，最多 1 个解， 即时，至多三个解，不合题意。 当时，有 2 个解， 若时，有 2 解，若时，有 2 解， 即时，有 4 个解，满足题意。 故. 【点睛】本题考查了函数的单调性与值域，考查了分段函数的性质，考查函数的零点，考查 了学生逻辑推理能力与计算求解能力，考查了数形结合的数学思想，属于难题。
