1、排列与组合排列与组合(习题课习题课) 课时作业 01 课堂 合作探究 02 课后 巩固提升 探究一探究一 有重复元素的排列组合问题有重复元素的排列组合问题 典典例例 1 有有 6 个球，其中有个球，其中有 3 个一样的黑球，红、白、蓝球各个一样的黑球，红、白、蓝球各 1 个，现从中取出个，现从中取出 4 个球排成一列，共有多少种不同的排法？个球排成一列，共有多少种不同的排法？ 解析解析 分三类：分三类： (1)若取若取 1 个黑球，和另三个球排个黑球，和另三个球排 4 个位置，不同的排法为个位置，不同的排法为 A4 4 24； (2)若取若取 2 个黑球，从另三个球中选个黑球，从另三个球中选
2、2 个排个排 4 个位置，个位置，2 个黑球是相同的，自动进入，个黑球是相同的，自动进入， 不需要排列，即不同的排法种数为不需要排列，即不同的排法种数为 C2 3A 2 4 36； (3)若取若取 3 个黑球，从另三个球中选个黑球，从另三个球中选 1 个排个排 4 个位置，个位置，3 个黑球是相同的，自动进入，个黑球是相同的，自动进入， 不需要排列，即不同的排法种不需要排列，即不同的排法种数为数为 C1 3A 1 4 12. 综上，不同的排法种数为综上，不同的排法种数为 24361272. 解决有重复元素的排列组合问题的方法：解决有重复元素的排列组合问题的方法： 有重复元素的排列组合问题， 在
3、解决时一般要抓住具体问题所含重复元素的个数进行有重复元素的排列组合问题， 在解决时一般要抓住具体问题所含重复元素的个数进行 分类在排列时注意重复元素的排列是无序的分类在排列时注意重复元素的排列是无序的 1在某种信息传输过程中，用在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列个数字的一个排列(数字允许重复数字允许重复)表示一个信息，表示一个信息， 不同排列表示不同信息若所用数字只有不同排列表示不同信息若所用数字只有 0 到到 1，则与信息，则与信息 0110 至多有两个对应位至多有两个对应位 置上的数字相同的信息个数为置上的数字相同的信息个数为( ) A10 B11 C12 D15 解析：解析：
4、解法一解法一 分分 0 个相同、个相同、1 个相同、个相同、2 个相同讨论个相同讨论 (1)若若 0 个相同，则信息为：个相同，则信息为：1001.共共 1 个个 (2)若若 1 个相同，则信息为：个相同，则信息为：0001,1101,1011,1000.共共 4 个个 (3)若若 2 个相同，又分为以下情况：个相同，又分为以下情况： 若位置一与二相同，则信息为：若位置一与二相同，则信息为：0101； 若位置一与三相同，则信息为：若位置一与三相同，则信息为：0011； 若位置一与四相同，则信息为：若位置一与四相同，则信息为：0000； 若位置二与三相同，则信息为：若位置二与三相同，则信息为：1
5、111； 若位置二与四相同，则信息为：若位置二与四相同，则信息为：1100； 若位置三与四相同，则信息为：若位置三与四相同，则信息为：1010. 共有共有 6 个个 故与信息故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 14611. 解法二解法二 若若 0 个相同，共有个相同，共有 1 个；个； 若若 1 个相同，共有个相同，共有 C1 4 4(个个)； 若若 2 个相同，共有个相同，共有 C2 4 6(个个)； 故共有故共有 14611(个个) 答案：答案：B 探究二探究二 分组与分配问题分组与分配问题 典例典例 2 6 本不同的书
6、，按下列要求各有多少种不同的分法？本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分分为三份，每份两本；为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本 解析解析 (1)根据分步乘法计数原理得根据分步乘法计数原理得 C2 6C 2 4C 2 2 90(种种) (2)分给甲、乙、丙三人，每人
7、两本，有分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 C2 6C 2 4C 2 2种分法，这个过程可以分两步完成：第一 种分法，这个过程可以分两步完成：第一 步，分为三份，每份两本，设有步，分为三份，每份两本，设有 x 种分法；第二步，将这三份分给甲、乙、丙三名同学，种分法；第二步，将这三份分给甲、乙、丙三名同学， 有有 A3 3种分法根据分步乘法计数原理可得 种分法根据分步乘法计数原理可得 C2 6C 2 4C 2 2 xA3 3，所以 ，所以 xC 2 6C 2 4C 2 2 A3 3 15. 因此分为三份，每份两本，一共有因此分为三份，每份两本，一共有 15 种分法种分法 (3)这是不均匀分组问题，
8、一共有这是不均匀分组问题，一共有 C1 6C 2 5C 3 3 60 种分法种分法 (4)在在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有的基础上再进行全排列，所以一共有 C1 6C 2 5C 3 3A 3 3 360 种分法种分法 (5)可以分为三类情况：可以分为三类情况：“2、2、2”型，即型，即(1)中的分配情况，有中的分配情况，有 C2 6C 2 4C 2 2 90 种分法；种分法； “1、2、3”型，即型，即(4)中的分配情况，有中的分配情况，有 C1 6C 2 5C 3 3A 3 3 360 种分法；种分法；“1、1、4”型，型， 有有 C4 6A 3 3 90 种分法种分法 所以一共有
9、所以一共有 9036090540 种分法种分法 求解分组与分配问题的方法：求解分组与分配问题的方法： (1)解决这类问题的关键是分清其为分组问题还是分配问题解决这类问题的关键是分清其为分组问题还是分配问题 (2)分组问题属于分组问题属于“组合组合”问题，常见的分组问题有三种：问题，常见的分组问题有三种： 完全均匀分组，每组的元素个数均相等；完全均匀分组，每组的元素个数均相等； 部分均匀分组，应注意不要重复，有部分均匀分组，应注意不要重复，有 n 组均匀，最后必须除以组均匀，最后必须除以 n！ ；！ ； 完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象 (3)分配问题
10、可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配 2有有 9 本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种不本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种不 同的分法？同的分法？ (1)甲得甲得 4 本，乙得本，乙得 3 本，丙得本，丙得 2 本；本； (2)一人得一人得 4 本，一人得本，一人得 3 本，一人得本，一人得 2 本本 解析：解析：(1)甲得甲得 4 本，乙得本，乙得 3 本，丙得本，丙得 2 本，这件事分三步完成本，这件事分三步完成 第一步：从第一步：从 9 本不同的书中，任取本不同的书中，任取 4 本分
11、给甲，有本分给甲，有 C4 9种方法； 种方法； 第二步：从余下的第二步：从余下的 5 本书中，任取本书中，任取 3 本分给乙，有本分给乙，有 C3 5种方法； 种方法； 第三步：把剩下的第三步：把剩下的 2 本书给丙，有本书给丙，有 C2 2种方法 种方法 根据分步乘法计数原理，共有不同的分法根据分步乘法计数原理，共有不同的分法 C4 9C 3 5C 2 2 1 260(种种)，即甲得，即甲得 4 本，乙得本，乙得 3 本，丙得本，丙得 2 本的分法共有本的分法共有 1 260 种种 (2)一人得一人得 4 本，一人得本，一人得 3 本，一人得本，一人得 2 本，这件事分两步完成本，这件事分
12、两步完成 第一步：按第一步：按 4 本、本、3 本、本、2 本分成三组，有本分成三组，有 C4 9C 3 5C 2 2种方法； 种方法； 第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有 A3 3种方法 种方法 根据分步计数原理知，共有不同的分法根据分步计数原理知，共有不同的分法 C4 9C 3 5C 2 2A 3 3 7 560(种种)，即一人得，即一人得 4 本，一人本，一人 得得 3 本，一人得本，一人得 2 本的分法共有本的分法共有 7 560 种种 探究三探究三 排列组合的综合应用排列组合的综合应用 典例典例 3 有有 6 名男医生、名男医
13、生、4 名女医生，从中选名女医生，从中选 3 名男医生、名男医生、2 名女医生到名女医生到 5 个不同的个不同的 地区巡回地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区医疗，但规定男医生甲不能到地区 A，则共有多少种不同的分派方案？，则共有多少种不同的分派方案？ 解析解析 分两类：分两类： 第第 1 类，甲被选中，共有类，甲被选中，共有 C2 5C 2 4C 1 4A 4 4种分派方案； 种分派方案； 第第 2 类，甲不被选中，共有类，甲不被选中，共有 C3 5C 2 4A 5 5种分派方案 种分派方案 根据分类加法计数原理，共有根据分类加法计数原理，共有 C2 5C 2 4C 1 4A 4 4 C3
14、 5C 2 4A 5 5 5 7607 20012 960 种分派方案种分派方案. 解决排列组合的综合问题应遵循的原则是什么？解决排列组合的综合问题应遵循的原则是什么？ 本题是一道本题是一道“既选又排既选又排”的排列、 组合综合题， 解决这类问题的方法是的排列、 组合综合题， 解决这类问题的方法是“先选后排先选后排”， 同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则 3 (2015 年高考四川卷年高考四川卷)用数字用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数， 其中比组成没有重复数字的五位数， 其中比 40 000 大的偶数共有大的偶数共有(
15、) A144 个个 B120 个个 C96 个个 D72 解析：解析：数字数字 0,1,2,3,4,5 中仅有中仅有 0,2,4 三个偶数，比三个偶数，比 40 000 大的偶数为以大的偶数为以 4 开头与以开头与以 5 开头的数其中以开头的数其中以 4 开头的偶数又分以开头的偶数又分以 0 结尾与以结尾与以 2 结尾，有结尾，有 2A3 4 48 个；同理，以个；同理，以 5 开头的有开头的有 3A3 4 72 个，于是共有个，于是共有 4872120 个个 答案：答案：B 排列组合的综合应用排列组合的综合应用 典例典例 (本小题满分本小题满分 12 分分)从从 1,3,5,7,9 中任取中
16、任取 3 个数字， 从个数字， 从 0,2,4,6,8 中任取中任取 2 个数字，个数字， 一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？ 解析解析 (1)五位数中不含数字五位数中不含数字 0. 第第 1 步，选出步，选出 5 个数字，共有个数字，共有 C3 5C 2 4种选法 种选法.1 分分 第第 2 步，排成偶数，先排末位数，有步，排成偶数，先排末位数，有 A1 2种排法，再排其他四位数字，有 种排法，再排其他四位数字，有 A4 4种排法 种排法 N1C3 5 C 2 4 A 1 2 A 4 4.4 分 分 (2)五位数中含有数字五位数中含有数字 0
17、. 第第 1 步，选出步，选出 5 个数字，共有个数字，共有 C3 5 C 1 4种选法 种选法.5 分分 第第 2 步，排顺序又可分为两小类：步，排顺序又可分为两小类： 末位排末位排 0，有，有 A1 1 A 4 4种排列方法； 种排列方法；6 分分 末位不排末位不排 0.这时末位数有这时末位数有 C1 1种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 A1 3种排 种排 法，其余法，其余 3 个数字有个数字有 A3 3种排法 种排法 N2C3 5 C 1 4(A 1 1 A 4 4 A1 3 A 3 3).8 分 分 符合条件的偶数的个数为符合条件的偶数
18、的个数为 NN1N2C3 5C 2 4A 1 2A 4 4 C3 5C 1 4(A 1 1A 4 4 A1 3A 3 3) 4 560.12 分分 规范与警示规范与警示 讨论五位数中含讨论五位数中含“0”与否，是解答本题的关键与否，是解答本题的关键 末位排末位排 0 与否，应分类讨论，否则极易出错与否，应分类讨论，否则极易出错 本题是分类情况下的分步排列、组合问题，必须将所讨论的各种结果相加，否则会本题是分类情况下的分步排列、组合问题，必须将所讨论的各种结果相加，否则会 丢分丢分 解题过程中要注意分析特殊元素、特殊情况对结果的影响，并注意总结、避免因考解题过程中要注意分析特殊元素、特殊情况对结
19、果的影响，并注意总结、避免因考 虑问题不全面而失分虑问题不全面而失分. 随堂训练随堂训练 1若从若从 1,2,3，9 这这 9 个整数中同时取个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取个不同的数，其和为偶数，则不同的取 法共有法共有( ) A60 种种 B63 种种 C65 种种 D66 种种 解析：解析：和为偶数共有和为偶数共有 3 种情况，取种情况，取 4 个数均为偶数有个数均为偶数有 C4 4 1 种取法，取种取法，取 2 奇数奇数 2 偶数偶数 有有 C2 4 C 2 5 60 种取法，取种取法，取 4 个数均为奇数有个数均为奇数有 C4 5 5 种取法，故共有种取法，故共
20、有 160566 种种 不同的取法不同的取法 答案：答案：D 2从从 0,2,4 中取一个数字，从中取一个数字，从 1,3,5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所 有不同的三位数的个数是有不同的三位数的个数是_ 解析：解析：从从 0,2,4 中取一个数字，从中取一个数字，从 1,3,5 中取两个数字进行排列，然后在得到的排列中中取两个数字进行排列，然后在得到的排列中 去掉首数字为去掉首数字为 0 的即满足题意，因此共有的即满足题意，因此共有 C1 3C 2 3A 3 3 A2 3 336648 个个 答案：答案：48 3有大小形状相同的有大小形状相同的 3 个红色小球和个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的个白色小球，排成一排，共有多少种不同的 排列方法？排列方法？ 解析：解析：8 个小球排好后对应着个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在个位置，题中的排法相当于在 8 个位置中选出个位置中选出 3 个位个位 置给红球，剩下的位置给白球，由于这置给红球，剩下的位置给白球，由于这 3 个个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问红球完全相同，所以没有顺序，是组合问 题，这样共有题，这样共有 C3 8 56 种种 课时作业
