1、 13.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质 题型题型1 “杨辉三角杨辉三角”的变形及引申问题的变形及引申问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 1 如图，在“杨辉三角”中，斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯 齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，记其前 n 项和为 Sn，求 S19的值 解析： S19(12)(33)(46)(1045)55(C1 2C 2 2)(C 1 3C 2 3)(C 1 4C 2 4) (C1 10C 2 10)C 2 11(C 1 2C 1 3C 1 4C 1
2、10)(C 2 2C 2 3C 2 10C 2 11) （210）9 2 220274. 规律方法：利用杨辉三角和二项式系数的关系，将问题转化，利用组合数的性质求解问 题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 1如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 23. 解析：由题可设第 n 行的第 14 个与第 15 个数的比为 23， 故二项展开式的第 14 项和第 15 项的系数比为 23，即 C13 nC 14 n23， 所以 n！ 13！（n13）！ n！ 14！（n14）！23， 即 1
3、4 n13 2 3，解得 n34. 答案：34 题型题型2 求展开式的系数和求展开式的系数和 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 2 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求： (1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7； (3)a0a2a4a6； (4)|a0|a1|a2|a7|. 解析：(1)令 x0，则 a0171； 令 x1， 则 a0a1a2a7(12)71. a1a2a7112. (2)令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a737. 由， 得 2(a1a3a5a7)1372 188， a1a3a5a71 094.
4、学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 (3)由，得 2(a0a2a4a6)1372 186， a0a2a4a61 093. (4)法一 (12x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6均大于 0，而 a1，a3，a5，a7均小于 0， |a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)2 187. 法二 |a0|a1|a2|a7|为(12x)7的展开式中各项系数的和，令 x1，得|a0| |a1|a2|a7|372 187. 规律方法： 赋值法是求展开式系数和的常用方法， 有时还要求奇次项、 偶次项系数的和， 令其中字母等于 0，1
5、，1 是常见的赋值方法 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 2(1)()2 x 8 展开式中不含 x4的系数的和为( ) A1 B0 C1 D2 (2)在 1 x 5 1 x3 n 的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和为 1 024，则中间项系数 是_ 解析： (1)令()2 x 8 a0a1xa8x4， 令 x1， 得 a0a1a8()2 1 8 1， 含 x4项的系数为 C8 82 0(1)81，所以不含 x4 的项的系数和为 110. (2)因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为 2n，而所有偶数项的二项式系数和 与所有奇
6、数项的二项式系数和相等，故由题意知 2n 11 024，所以 n11，所以展开式共 12 项，中间项为第六项、第七项，其系数为 C5 11C 6 11462. 答案：(1)B (2)462 题型题型3 二项式系数的性质二项式系数的性质 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 3 在 x 2 x2 8 的展开式中： (1)系数绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项 (3)求系数最大的项 (4)求系数最小的项 解析：Tk1Ck 8( x) 8k 2 x2 k (1)kCk 82 kx45k 2 . (1)设第 k1 项系数的绝对值最大
7、， 则 Ck 82 kCk1 8 2k 1， Ck 82 kCk1 8 2k 1. 1 8k 2 k1， 2 k 1 9k 5k6. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 又kN*，k5 或 k6. 故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项 (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项 T5C4 82 4x420 2 1 120x 6. (3)由(1)知，展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大，而第 6 项的系数为负，第 7 项的系数为正 故系数最大的项为 T7C6 82 6x111 792x11. (4)系数最小的项为 T6C
8、5 82 5x17 2 1 792x17 2 . 规律方法：二项式的最大系数问题：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性 质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最 大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、 负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求解 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 3已知 3 x1 x n 展开式中的第 10 项是常数项，则展开式中系数最大的项是(A) A第 19 项 B第 17 项 C第 17 项或第 19 项 D第 18 项或第 19 项 解析：T10C9 n( 3 x)n 91 x9C 9 nx n9 3 9，由 T10为常数项，得n9 3 90，所以 n36， 故第 19 项系数最大故选 A.
