1、2 2.2 2.1 1 条件概率 1.能通过具体实例理解条件概率的定义及计算公式. 2.会利用条件概率,解决一些简单的实际问题. 条件概率 (1)一般地,设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)= 为在事 件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件 下B发生的概率. (2)条件概率的性质: 条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间, 即0P(B|A)1; 如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A). () () 知识拓展知识拓展1.事件B在“事件A已发生”这个前提条件下的概率与 没有这个条件的概率一般是不同的. 2.
2、此处的条件概率是指试验结果的一部分信息已知,求另一事 件在此基础上发生的概率.若事件 A 为必然事件,则 P(B|A)=P(B). 3.要求 P(B|A)相当于把 A 看作新的基本事件空间来计算,即 P(B|A)=() () = () () () () = () () . 4.在公式 P(B|A)=() () 中,我们要注意变式应用,如 P(AB)=P(B|A)P(A),P(A)= () (|). 【做一做】 把一枚硬币投掷两次,事件A=第一次出现正 面,B=第二次出现正面,则P(B|A)等于( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 1 6 D. 1 8 解析:由题意得 P(AB)=1 4,P
3、(A)= 1 2,则 P(B|A)= 1 2. 答案:B 1 2 1.如何从集合角度理解条件概率 剖析 如图,事件的样本点已落在图形 A 中(事件 A 已发生),问落在 B(事件B)中的概率.由于样本点已落在A中,且又要求落在B中,于是 只能落在 AB 中,则其概率计算公式为 P(B|A)=() () (P(A)0),类似 地,P(A|B)=() () (P(B)0). 1 2 2.P(B|A)与P(B)样本空间的区别 剖析如果随机试验的样本空间为,那么讨论P(B|A)的样本空间 是A,而P(B)的样本空间为(即找准样本空间是解决问题的关键). 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 列出基本
4、事件空间,利用古典概型求条件概率 【例1】 一个盒子内装有4件产品,其中3件一等品,1件二等品,从 中取两次,每次任取1件,且不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是 一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A). 分析列出基本事件空间,利用古典概型求解. 解:将产品编号为1号,2号,3号的看作一等品,编号为4号的产品看 作二等品,以(i,j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品, 则试验的基本事件空间为 =(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3 ). 因为事件A
5、有9个基本事件,事件AB有6个基本事件,所以 P(B|A)=() () = 6 9 = 2 3. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思本题的方法是解条件概率题的常用方法,特别是当基本事件 空间容易列出时可用此方法. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 抛掷红、蓝两枚骰子,设事件A为“蓝色骰子的点 数为3或6”,事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”. (1)求P(A),P(B),P(AB); (2)当已知蓝色骰子点数为3或6时,则两枚骰子的点数之和大于8 的概率为多少? 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)设x为掷红骰子所得到的点数,y为掷蓝骰子所得到的点数, 则所有可能的
6、事件与(x,y)一一对应,由题意作图(如图). 显然,由图知,事件A所包含的基本事件个数为n(A)=12,事件B所包 含的基本事件个数为n(B)=10,事件AB所包含的基本事件个数为 n(AB)=5.n()=36, P(A)=12 36 = 1 3,P(B)= 10 36 = 5 18,P(AB)= 5 36. (2)方法一:P(B|A)=() () = 5 12. 方法二:P(B|A)=() () = 5 36 1 3 = 5 12. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 利用 P(B|A)=P(AB) P(A) 求条件概率 【例2】 某个学习兴趣小组有学生10人,其中有3人是三好学生.
7、现已把这10人分成两组进行竞赛辅导,第一小组5人,其中三好学生 2人.如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长,那么这名 同学恰好在第一小组内的概率是多少?现在要在这10人中任选一 名三好学生当组长,问这名同学在第一小组的概率是多少? 分析本题实际上是一道简单的古典概型问题.在第二问中,由于 任选的一名学生是三好学生,比第一问多了一个“附加的”条件,因此 本题又是一个简单的条件概率题. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:记 A=在兴趣小组内任选一名同学当组长,该组长是三好学 生, B=在兴趣小组内选一名同学当组长,该组长在第一小组,则第 一问所求概率为 P(B),第二问所求概率为 P(
8、B|A). P(B)= 5 10 = 1 2,P(A)= 3 10,P(AB)= 2 10 = 1 5. P(B|A)=() () = 1 5 3 10 = 2 3. 反思反思利用 P(B|A)=() () 求条件概率的一般步骤: (1)计算 P(A); (2)计算 P(AB)(A,B 同时发生的概率); (3)用公式 P(B|A)=() () 计算 P(B|A). 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题, 若考生至少需答对其中的4道题才可通过;至少需答对其中5道题就 获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试 中已经通过
9、,求他获得优秀的概率. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了 其中 5 道题,另 1 道题答错”,事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题,另 2 道题答错”,事件 D 为“该考生在这次考试中通过”,事件 E 为“该考 生在这次考试中获得优秀”,则 A,B,C 两两互斥,且 D=ABC,E=A B,则P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=C10 6 C20 6 + C10 5 C10 1 C20 6 + C10 4 C10 2 C20 6 = 12 180 C20 6 , P(ED)=P(E)=P(A)+P(B)=C10
10、6 C20 6 + C10 5 C10 1 C20 6 = 2 730 C20 6 ,P(E|D)=() () = 2 730 12 180 = 13 58, 故在考试通过的情况下他获得优秀成绩的概率为13 58. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 利用公式 P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)求概率 【例3】 在一个袋子中装有10个质地完全相同的球,设有1个红 球,2个黄球,3个黑球,4个白球.从中依次摸出两个球,求在第一个球 是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率. 分析在第一个球是红球的条件下,分别求出第二个球是黄球和黑 球的概率.再用互斥事件概率公式求得概率,也可用古典
11、概型求概 率. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:方法一:设“摸出的第一个球为红球”为事件 A,“摸出的第二 个球为黄球”为事件 B,“摸出的第二个球为黑球”为事件 C,则 P(A)= 1 10,P(AB)= 12 109 = 1 45,P(AC)= 13 109 = 1 30. P(B|A)=() () = 1 45 1 10 = 10 45 = 2 9, P(C|A)=() () = 1 30 1 10 = 1 3. P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)=2 9 + 1 3 = 5 9. 所求的条件概率为5 9. 方法二:n(A)=1 C9 1=9,n(BC)A=C21 + C3
12、1=5, P(BC|A)=5 9 .所求的条件概率为5 9. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思若事件B,C互斥,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A),即为了求得比 较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成两个或若干个互不相容 的较简单事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即 可求得复杂事件的概率. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 有外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个. 其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒 子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按 如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标
13、有字母A的 球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球, 则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试 验为成功,求试验成功的概率. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:设A=从第一个盒子中取得标有字母A的球, B=从第一个盒子中取得标有字母B的球, R=第二次取出的球是红球, W=第二次取出的球是白球, 事件“试验成功”表示为RARB,又事件RA与事件RB互斥,故由概 率的加法公式,得 P(RARB)=P(RA)+P(RB) =P(R|A) P(A)+P(R|B) P(B) 则容易求得 P(A)= 7 10,P(B)= 3 10, P(R|A)=1 2,P(W|
14、A)= 1 2, P(R|B)=4 5,P(W|B)= 1 5. =1 2 7 10 + 4 5 3 10=0.59. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 易错辨析 易错点:基本样本空间理解不透彻而致错 【例4】 一个家庭中有两名小孩,假定生男、生女是等可能的.已 知这个家庭有一名小孩是女孩,问另一名小孩是男孩的概率是多少? 错解:设此家庭有一名小孩是女孩为事件 A,另一名小孩是男孩 为事件 B. 方法一:P(A)=12 22 = 1 2,P(AB)= 1 22 = 1 4, P(B|A)=() () = 1 2. 方法二:n(A)=2,n(AB)=1, P(B|A)=() () = 1
15、2. 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析两种解法都把基本事件空间理解错了. 正解:方法一:一个家庭的两名小孩只有4种可能:两名都是男 孩,第一名是男孩,第二名是女孩,第一名是女孩,第二名是男 孩,两名都是女孩.由题意知这4个事件是等可能的,设基本事件 空间为,A=“其中一名是女孩”,B=“其中一名是男孩”,则=(男, 男),(男,女),(女,男),(女,女),A=(男,女),(女,男),(女,女),B=(男, 男),(男,女),(女,男),AB=(男,女),(女,男). P(AB)=2 4 = 1 2,P(A)= 3 4. P(B|A)=() () = 1 2 3 4 = 2 3. 方法二:由方法一知 n(A)=3,n(AB)=2, P(B|A)=() () = 2 3. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思在等可能事件的问题中,不管用哪种方法求条件概率,理解基 本事件空间是关键.
