1、1 1.2 2.1 1 排列 1.通过实例正确理解排列的意义,能利用树形图写出简单问题的 所有排列. 2.理解和掌握排列和排列数公式,能应用排列及排列数公式解决 某些实际问题. 3.掌握几种具有限制条件的题型,如团体排列,插空问题等,掌握 解决有关排列问题的一些方法,如直(间)接法,捆绑法,优先考虑特殊 位置(元素)等. 1 2 1.排列的相关概念 (1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)相同排列:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同, 且元素的排列顺序也相同. 名师点拨1.排列的定义包括两
2、个基本内容:一是“取出元素”;二是 “按照一定的顺序排成一列”.研究的n个元素是互不相同的,取出的 m个元素也是不同的. 2.由相同排列的定义知,元素完全不同或元素部分相同或元素完 全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列. 1 2 【做一做1】 下列问题中,是排列问题的是( ) A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 解析:选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关,选项B,C,D 只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关. 答案:A 1 2 2.排列数与排列数公式 (1)排列数定义
3、:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有 不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 符号A 表示. (2)排列数公式:A =n(n-1)(n-2)(n-m+1). 1 2 (3)全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个 元素的一个全排列.即有 A =n(n-1)(n-2)321, 就是说,n个不同元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连 乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示.所以 n 个不同 元素的全排列数公式可以写成A =n!,A 还可以表示为 ! (-)!. 另外,我们规定 0!=1. 对含有字母的排
4、列数的式子进行变形或作有关的论证时,一般 用阶乘表示. 1 2 归纳总结应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简 和证明,化简的过程中要对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的 内在联系.解题时要灵活地运用如下变式: (1)n!=n(n-1)!;(2)A =nA -1 -1; (3)n n!=(n+1)!-n!; (4)-1 ! = 1 (-1)! 1 !. 1 2 【做一做2-1】 从1,2,3,4中任取两个数字组成平面直角坐标系 中一个点的坐标,则组成不同点的个数为( ) A.2 B.4 C.12 D.24 解析:本题相当于从4个元素中取2个元素的排列, 答案:C 【做一做2-2】 若
5、=9101112,则m的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:9到12共4个数,由排列数公式得m=4. 答案:B 即A4 2=12. A12 1 2 1 2 2.“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念 剖析不是同一个概念.“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m 个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数;“排列数”是指 “从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,它是一个数. 例如,从a,b,c中任取2个元素的排列有ab,ba,ac,ca,bc,cb,共6个,6就是 从a,b,c中任取2个元素的排列数. 归纳总结解简单的排列实际问题,首先必须认真分析理解题意, 看能
6、否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.如果是的话,再进一 步分析,这里“n个不同的元素”指的是什么,以及“从n个不同的元素 中任取m个元素”的每一种排列对应的是什么情况,然后才能运用排 列数公式求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 简单的排列问题 【例1】 从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,可以组 成哪些两位数?一共可以组成多少个? 分析解答时按顺序分步解决,然后利用树形图列出所有排列. 解:由题意作树形图,如下. 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有 12个. 反思反思在“树形图”的操作中,先将元素按一定顺
7、序排出,然后以安排 哪个元素在首位为分类标准进行分类,在每类中再在余下元素中确 定第二位并按顺序分类,依次一直进行到完成一个排列,这样就能 不重不漏地依照“树形图”写出所有的排列. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 写出从五个元素a,b,c,d,e中任取3个元素的所有 排列. 解:由题意作树形图,如下. 题型一 题型二 题型三 题型四 故所有排列为 abc,abd,abe,acb,acd,ace,adb,adc,ade,aeb,aec,aed,bac,bad,bae,bca,bc d,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed,cab,cad,cae,cba,cbd,
8、cbe,cda,cdb,cde,c ea,ceb,ced,dab,dac,dae,dba,dbc,dbe,dca,dcb,dce,dea,deb,dec,eab,eac, ead,eba,ebc,ebd,eca,ecb,ecd,eda,edb,edc. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 利用排列数公式求值或化简 【例 2】 (1)计算 2A4 3 + A4 4;(2)计算4A8 4+2A85 A8 8-A95 ; (3)求 3A8 =4A 9 -1中的 x. 分析(1)(2)两题直接运用排列数的公式计算.(3)用排列数的公式 展开得方程求解.要注意x的取值范围,并检验根是否合理. 题型一
9、 题型二 题型三 题型四 解: (1)2A4 3 + A4 4=2432+4321=72. (2)4A8 4+2A85 A8 8-A95 = 4A8 4+24A84 432A8 4-9A84 = 4+8 24-9 = 4 5. (3)原方程 3A8 =4A 9 -1可化为38! (8-)! = 49! (10-)!, 即 38! (8-)! = 498! (10-)(9-)(8-)!, 化简,得 x2-19x+78=0,解得 x1=6,x2=13. 由题意知 8, -1 9,解得 x8.故原方程的解为 x=6. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思 1.排列数公式A =n(n-1) (n-
10、m+1)适用于具体计算以及 解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式,在运用该公式时要注 意它的特点. 2.排列数公式A = ! (-)!适用于与排列数有关的证明、 解方程、 解不等式等,在具体运用时,应注意先提取公因式再计算,同时还要注 意隐含条件“mn,且 nN*,mN*”的运用. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练 2】 (1)用排列数表示(55-n)(56-n)(69-n)(nN*, 且 n55); (2)计算:2A8 5+7A84 A9 5-A85 ; (3)化简求值:1!+2 2!+3 3!+n n!; 1 2! + 2 3! + 3 4!+ -1 ! . 题型一 题型二
11、 题型三 题型四 解: (1)55-n,56-n,69-n 中最大的数为 69-n,且元素总数目为 (69-n)-(55-n)+1=15. (55-n)(56-n)(69-n)=A69- 15 . (2)2A8 5+7A84 A9 5-A85 = 287654+78765 98765-87654 =8765(8+7) 8765(9-4) =3. (3)原式=(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+(n+1)!-n!=(n+1)!-1. -1 ! = 1 (-1)! 1 !, 1 2! + 2 3! + 3 4!+ -1 ! = 1 1! 1 2! + 1 2! 1 3! + 1 3! 1
12、 4!+ 1 (-1)! 1 !=1- 1 !. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 有限制条件的排列问题 【例3】 用0,1,2,3,4这五个数字组成五位数: (1)可组成多少个五位数? (2)可组成多少个无重复数字的五位数? (3)可组成多少个无重复数字的五位奇数? (4)若1和3相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数? (5)若1和3不相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数? (6)若1不在万位,2不在个位,则可组成多少个无重复数字的五位 数? 分析该题目中的特殊元素为0,它不能放在首位.(1)首位不为0,数 字可以重复;(2)限制首位不为0,且数字不可以重复;(3)限制末位是 奇数
13、,首位不是0;(4)把1,3看成整体进行排列;(5)可间接求,也可用插 空法直接求;(6)可从特殊位置或元素入手分析. 题型一 题型二 题型三 题型四 解: (1)万位上不能排 0,各个数位上的数字允许重复,由分步乘 法计数原理得,共可组成 45555=2 500 个五位数. (2)方法一:(优先考虑特殊位置)先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个 有A4 1 种方法,其余四个位置排四个数字共有A4 4种方法,故组成的无重 复数字的五位数共有A4 1 A4 4=96 个. 方法二:(优先考虑特殊元素)先排 0,除首位之外的其他四个数 位均可,有A4 1 种方法,其余四个数字全排,有A4 4种
14、方法.故组成的无重 复数字的五位数共有A4 1 A4 4=96 个. (3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1 和 3 均可,有A2 1 种方法.然后 从剩下的 3 个非零数中选一个排在万位,有A3 1 种方法,最后将剩下的 3 个数排在其他三个数位上,有A3 3种方法.故组成的无重复数字的五 位奇数共有A2 1 A3 1 A3 3=36 个. 题型一 题型二 题型三 题型四 (4)(捆绑法)若 1 和 3 相邻,则把 1 和 3“捆绑”,看成一个整体与 0,2,4 进行排列.故组成无重复数字的五位数共有A2 2 A3 1 A3 3=36 个. (5)方法一:(间接法)由(2),(4)两问可得,
15、1和3不相邻时,共可组成 无重复数字的五位数有 96-36=60 个. 方法二:(插空法)先将 0,2,4 排好,再将 1 和 3 分别插入产生的 4 个空当中有A3 3 A4 2=72 种排法,而当 0 在万位时,1,3 分别插入 2,4 产生 的 3 个空当中有A2 2 A3 2=12 种排法.故 1 和 3 不相邻的无重复数字的 五位数共有 72-12=60 个. 题型一 题型二 题型三 题型四 (6)方法一:(间接法)无重复数字的所有五位数有 96 个,当 1 在万 位时,有A4 4种排法,当 2 在个位时,0 又不能在万位,先把 0 排在中间三 个数位上,再排其余的3个数,有A3 1
16、 A3 3种排法,但这两种排法中都包括 1 在万位,2 在个位的排法,这种排法有A3 3种,故符合条件的五位数共 有 96-A4 4 A3 1 A3 3 + A3 3=60 个. 方法二:(优先考虑特殊元素或位置)当1在个位时,0不能在万 位,有A3 1 A3 3=18 种排法.当 1 不在个位且不在万位时,先排1,有A31 种 方法,再排剩下的数分两类:一类是当 2 在万位时,有A3 3种方法;另一 类是 2 不在万位,有A2 1 A2 1 A2 2种排法.则 1 不在个位且不在万位时,有 A3 1 (A3 3 + A2 1 A2 2 A2 2)=42 种排法.故 1 不在万位,2 不在个位
17、时,共可组成 无重复数字的五位数 18+42=60 个. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思涉及有约束条件的排列问题,首先考虑特殊元素的排法或特 殊位置上元素的选法,再考虑其他元素的位置(这种方法称为特殊 元素法或特殊位置法);或者,先求出无约束条件的排列数,再减去不 符合条件的排列数(也叫做间接法或排除法),这是解排列题的基本 策略. 所谓“捆绑法”与“插空法”,实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑 的结果.要求相邻的两个元素是特殊元素,先把这两个元素“捆绑”起 来处理;要求不相邻的元素是特殊元素,一般考虑用“插空法”. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 3名男生,4名女生
18、按照不同的要求排队拍照,求不同的 排队方案的方法种数. (1)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (2)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (3)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (4)全体站成一排,男、女生各站在一起; (5)全体站成一排,男生必须排在一起; (6)全体站成一排,男生不能排在一起; (7)全体站成一排,男、女生各不相邻; (8)全体站成一排,甲、乙中间必须有2人; (9)全体站成一排,甲必须在乙的左边(不一定相邻); (10)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻); (11)排成前后两排,前排3人,后排4人. 题型一 题型二 题型三
19、题型四 解: (1)先考虑甲的位置,有A3 1 种方法,再考虑其余 6 人的位置,有 A6 6种方法. 故不同的排队方案的种数是A3 1 A6 6=2 160. (2)先安排甲、乙的位置,有A2 2种方法,再安排其余 5 人的位置, 有A5 5种方法. 故不同的排队方案的种数是A2 2 A5 5=240. (3)方法一:按甲是否在最右端分两类: 第一类,甲在最右端,有A6 6种方法; 第二类,甲不在最右端,甲有A5 1 个位置可选,乙也有A5 1 个位置可 选,其余 5 人有A5 5种排法,即A51 A5 1 A5 5种方法. 故不同的排队方案的种数是A6 6 + A5 1 A5 1 A5 5
20、 =3 720. 题型一 题型二 题型三 题型四 方法二:无限制条件的排列方法共有A7 7种, 而甲在最左端,乙在最右端的排法都有A6 6种,甲在最左端且乙在 最右端的排法有A5 5种. 故不同的排队方案的种数是A7 7-2A66 + A5 5=3 720. 方法三:按最左端优先安排分步. 对于最左端,除甲外有A6 1 种排法,余下六个位置全排列有A6 6种排 法,其中甲不在最左端且乙在最右端的排法有A5 1 A5 5种. 故不同的排队方案的种数是A6 1 A6 6 A5 1 A5 5 =3 720. 题型一 题型二 题型三 题型四 (4)男生必须站在一起,即把 3 名男生进行全排列,有A3
21、3 种排法. 女生必须站在一起,即把 4 名女生进行全排列,有A4 4种排法. 全体男生、女生各看做一个元素全排列有A2 2种排法,故不同的 排队方案的种数是A3 3 A4 4 A2 2=288. (5)把所有男生看做一个元素,与 4 名女生组成 5 个元素全排列, 故不同的排队方案的种数是A3 3 A5 5=720. (6)先排女生有A4 4种排法,把 3 名男生安排在 4 名女生隔成的五 个空中,有A5 3种排法,故不同的排队方案的种数是A44 A5 3=1 440. (7)对比(6),让女生插空,不同的排队方案的种数是A3 3 A4 4 =144. 题型一 题型二 题型三 题型四 (8)
22、除甲、乙外,从其余的 5 人中任取 2 人,并站在甲、乙之间, 与甲、乙组成一个整体,再与余下的 3 个人进行全排列,故不同的排 队方案的种数是A5 2 A2 2 A4 4=960. (9)甲在乙左边的排法种数占全体全排列种数的一半,故不同的 排队方案的种数是A7 7 2 =2 520. (10)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变,即甲、乙、丙自左向 右排序的排法种数占全排列种数的 1 A3 3,故不同的排队方案的种数是 A7 7 A3 3=840. (11)直接分步完成,故不同的排队方案的种数是A7 3 A4 4 =5 040. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 易错辨析 易错点:因漏排
23、多排而致错 【例 4】 6 人站成前后三排,每排 2 人,有多少种不同的排法? 错解一分步完成,先安排第一排的2人,有A6 2种排法;再安排中间 一排的 2 人,有A4 2种排法;余下的 2 人排在最后一排.由分步乘法计数 原理,共有A6 2 A4 2 =360 种不同排法. 错解二分步完成,先安排第一排的2人,有A6 2种排法;再安排中间 一排的2人,有A4 2种排法;最后安排余下的2人,有A22种排法.因为排在 第一排,中间一排和最后一排不同,所以三排再排列,有A3 3种排法.由 分步乘法计数原理,有A6 2 A4 2 A2 2 A3 3=4 320 种不同排法. 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析错解一的解答错在第 3 步,余下的 2 人还要去排最后 一排的 2 个不同位置. 错解二的解答错在前三步已经分清了三排,不需要再排列了. 正解一 6 个人站成前后三排,每排 2 人,分 3 步完成,不同的排法 共有A6 2 A4 2 A2 2=720 种. 正解二此问题可看作将排成的三排“拉直”,实际上就是将 6 人 排成一排的问题.故共有A6 6 =720 种不同排法.
