1、1 1.3 3.2 2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数. 2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用. 1 2 3 1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形 式: 上面的二项式系数表称为杨辉三角. 归纳总结归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行 两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 1 2 3 【做一做1】 如图,满足第n行首尾两数均为n;表中的递推 关系类似杨辉三角,则第n行(n2)的第2个数是 . 答案: 2-+2
2、 2 1 2 3 2.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二 项式系数相等,即C 0 = C ,C1 = C -1,C = C - . (2)增减性与最大值:当 k+1 2 时,二项式系数是逐渐增大的,由对 称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是 偶数时,中间一项的二项式系数C 2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两 项的二项式系数C -1 2 和C +1 2 相等,且同时取得最大值. 名师点拨名师点拨求二项式系数的最大最小值时,一定要搞清楚n是奇数 还是偶数. 1 2 3 【做一做2-1】 在(a+b)n的展开式中,
3、第2项与第6项的二项式系 数相等,则n=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:由已知 可知n=1+5=6. 答案:A 【做一做2-2】 在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项是 ( ) A.第n项和第n+1项 B.第n-1项和第n项 C.第n+1项和第n+2项 D.第n+2项和第n+3项 答案:C C 1 = C 5, 解析:2n+1为奇数,二项式系数最大的项为中间两项,是第 (2+1)-1 2 +1 项和第2+1+1 2 +1 项,即第(n+1)项和第(n+2)项. 1 2 3 3.各二项式系数的和 (1)(1+x)n的展开式为 名师点拨名师点拨由二项式定理,令a=1,b
4、=x可得上式,这是赋值法在二项 式中的应用. C 0 + C 1 + C22 + + C + + . (2)C 0 + C 1 + C 2+C=2n. C 0 + C 2 + C 4+=C1 + C 3 + C 5+=2 n-1 . 名师点拨名师点拨第一个式子由二项式定理,令a=1,b=1得到,第二个式子 由二项式定理,令a=1,b=-1及第一个式子得到. 1 2 3 【做一做 3】 3 + 1 6 的展开式中各项的系数和 为 . 解析:令 x=1,则 3 + 1 6 的展开式即为各项的系数和,即 (3+1)6=46. 答案:46 1 2 1.二项式定理(a+b)n=C 0an+C1a n-1
5、 b+C an-rbr+C bn,从左 到右是展开式,由简变繁,从右到左则是由繁变简,为什么要把二项式 展开,化简为繁呢 剖析一般地,化繁为简是我们解题的基本思路,但有时候,化简 为繁也是一种创举. 由简变繁可以判断二项式系数的关系,如C = C - (nm),C-1 -1 + C-1 = C (nk+1)等,可以更深刻地理解组合数的 一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系数 之间的大小关系,如 n 是偶数,则中间一项的二项式系数最大等.如果 给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如 2n=C 0 + C 1+C,C0 + C 2+=C1 + C 3+. 从这个角度看,二
6、项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简. 1 2 2.正确理解二项式系数的性质 剖析对称性:源于组合数的性质“C = C - ”,基础是C 0 = C =1, 然后从两端向中间靠拢,便有C 1 = C -1,C 2 = C -2,. 最大值:当n是偶数时,(a+b)n的展开式共(n+1)项,n+1是奇数, 这时展开式的形式是 1 2 中间一项是第 2+1 项,它的二项式系数是C 2 ,它是所有二项式系 数中的最大值;当 n 是奇数时,(a+b)n的展开式共有(n+1)项,n+1 是 偶数,这时展开式的形式是 中间两项是第+1 2 , +3 2 项,它们的二项式系数是C -1 2 ,C +1 2
7、 ,这两 个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大值. 各二项式系数和:C 0 + C 1 + C 2+C=2n 源于 (a+b)n=C 0an+C1a n-1 b+C bn 中令 a=1,b=1,即得到C 0 + C 1 + C 2+C=2n. 题型一 题型二 题型三 题型一 与杨辉三角有关的问题 【例1】 如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所 示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,记其前n项和为Sn, 求S19的值. 分析本题关键是观察数列的特征及数列的每一项在杨辉三角中 的位置,把各项还原为二项展开式中的二项式系数,再利用组合数 求解. 题型一 题
8、型二 题型三 解:由题图知,数列中的首项是C2 2,第 2 项是C21,第 3 项是C32,第 4 项是C3 1,第 17 项是C102 ,第 18 项是C10 1 ,第 19 项是C11 2 . 故 S19=(C2 1 + C2 2)+(C31 + C3 2)+(C41 + C4 2)+(C101 + C10 2 )+C11 2 =(C2 1 + C3 1 + C4 1+C101 )+(C2 2 + C3 2+C112 )=(2+10)9 2 + C12 3 =274. 题型一 题型二 题型三 反思反思解决与杨辉三角有关的问题的一般思路. 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 如图,在由二
9、项式系数所构成的杨辉三角形中,第 行中从 左至右第14个与第15个数的比为23. 解析:由已知C 13 C 14 = 2 3, 即 ! (-13)! 13! (-14)! 14! ! = 2 3, 化简得 14 -13 = 2 3.解得 n=34. 答案:34 题型一 题型二 题型三 题型二 求展开式中各项系数的和 【例2】 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+a1x+a0,求: (1)a7+a6+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+|a1|. 分析所求结果与各项系数有关,可以考虑用“赋值法”解题. 题型一 题型二 题型三 解:(1)
10、令 x=0,则 a0=-1; 令 x=1,则 a7+a6+a1+a0=27=128, 所以 a7+a6+a1=128-(-1)=129. (2)令 x=-1, 则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7, 由- 2 得,a7+a5+a3+a1 =1 2128-(-4) 7=8 256. 题型一 题型二 题型三 (4)(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零, |a7|+|a6|+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6) =(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0 =8 256-(-8 12
11、8)+(-1)=16 383. 反思反思“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题 目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为 系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差. (3)由+ 2 得,a6+a4+a2+a0 =1 2128+(-4) 7=-8 128. 题型一 题型二 题型三 【变式训练 2】 已知 1- 1 4 5 =a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a7(x+1)7,求 a1+2a2+3a3+7a7. 解:对 1- 1 4 5 =a0+a1(x+1)+a2(x
12、+1)2+a3(x+1)3+a7(x+1)7两 边求导,得-5 4 1- 1 4 4 =a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+7a7(x+1)6. 令 x=0,得 a1+2a2+3a3+7a7=-5 4. 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:混淆系数最大和二项式系数最大而致错 【例3】 在(1+2x)n的展开式中,最后三项的二项式系数和为56, 则展开式中系数最大的项为第 项. 解得n=10或n=-11(舍去),所以展开式共11项,从而系数最大的项 为第6项. 错解:最后三项的二项式系数分别为C -2,C -1,C ,由题意,C -2 + C -1 + C =56,即 n2
13、+n-110=0. 题型一 题型二 题型三 正解:最后三项的二项式系数分别为C -2,C -1,C ,由题 意,C -2 + C -1 + C =56,即 n2+n-110=0,解得 n=10 或 n=-11(舍去). 设第(r+1)项的系数最大,通项为 Tr+1=C10 2rxr,依题意 Tr+1项的 系数不小于 Tr项及 Tr+2项系数, 即 C10 2 C10 -1 2-1, C10 2 C10 +1 2+1, 化简得 2(11-) , + 1 2(10-). 解得19 3 r 22 3 ,且 0r10,rN,所以 r=7. 故系数最大项为 T8=C10 7 27x7=15 360x7. 答案:8 题型一 题型二 题型三 反思反思求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的, 需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求 (a+bx)n(a,bR)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设 展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,An,且第r+1项最大,应用 -1, +1,解出 r,即得出系数的最大项.
