1、 1 绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 1235711A ， ， ， ， ，315|Bxx ，则 AB 中元素的个数为 A2 B3 C4 D5
2、 2若)(1 i1 iz ，则 z= A1i B1+i Ci Di 3设一组样本数据 x1，x2，xn的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，10xn的方差为 A0.01 B0.1 C1 D10 4Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺 炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： 0.23(53) ( )=1 e t I K t ，其中 K 为最大确诊病例数当 I( * t)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 * t约为（ln193） A60 B63 C66 D69 5已知 sinsin=
3、 3 （）1，则 sin= 6 （） A 1 2 B 3 3 C 2 3 D 2 2 6在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC，则点 C 的轨迹为 A圆 B椭圆 C抛物线 D直线 7设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C： 2 20ypx p交于 D，E 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐 标为 2 A （ 1 4 ，0） B （ 1 2 ，0） C （1，0） D （2，0） 8点(0 ) 1， 到直线1yk x距离的最大值为 A1 B 2 C 3 D2 9如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A6+4 2 B4+4 2 C6+2 3 D4+2 3 10
4、设 a=log32，b=log53，c= 2 3 ，则 Aa0)的一条渐近线为 y=2x，则 C 的离心率为_ 15设函数 e ( ) x f x xa 若 e (1) 4 f ，则 a=_ 16已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 3 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 设等比数列an满足 12 4aa ， 13 8aa （1）求an的通项公式； （2）记 n S为数列log3a
5、n的前 n 项和若 13mmm SSS ，求 m 18 （12 分） 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据 得到下表（单位：天） ： 锻炼人次 空气质量等级 0,200 (200,400 (400,600 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某
6、天的空气质量等级为 3 或 4，则称 这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认 为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 4 19 （12 分） 如图，在长方体 1111 ABCDA B C D 中，点E，F分别在棱 1 DD， 1 BB上，且 1 2DEED ， 1 2BFFB 证 明： （1）当
7、ABBC时，EFAC； （2）点 1 C在平面AEF内 20 （12 分） 已知函数 32 ( )f xxkxk （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若 ( )f x有三个零点，求k的取值范围 21 （12 分） 已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ，A，B分别为C的左、右顶点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x 上，且| | |BPBQ ，BP BQ ，求 APQ 的面积 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程 (10 分)
8、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 2 xtt yt t ， (t 为参数且 t1)，C 与坐标轴交于 A，B 两 点. （1）求| |AB； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程. 23选修 4-5：不等式选讲 (10 分) 设 a，b，cR， a+b+c=0，abc=1 5 （1）证明：ab+bc+ca400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得 2 2 100(33 822 37) 5.820 5545 70 30 K 由于5.8203.841，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与
9、该市当天的空气质量有关 19解： （1）如图，连结BD， 11 B D因为ABBC ，所以四边形ABCD为正方形，故ACBD 又因为 1 BB 平面ABCD，于是 1 ACBB 所以AC 平面 11 BB D D 由于EF 平面 11 BB D D，所以EFAC （2）如图，在棱 1 AA上取点G，使得 1 2AGGA ，连结 1 GD， 1 FC，FG， 因为 11 2 3 D EDD， 1 2 3 AGAA， 11 DDAA ，所以 1 EDAG ，于是四边形 1 EDGA为平行四边形， 故 1 AEGD 因为 11 1 3 B FBB， 11 1 3 AGAA， 11 BBAA ，所以
10、11 FGAB ， 11 FGC D ，四边形 11 FGDC为平行 四边形，故 11 GDFC 于是 1 AEFC 所以 1 ,A E F C四点共面，即点 1 C在平面AEF内 20解：（1） 2 ( )3fxxk 当k=0时， 3 ( )f xx，故 ( )f x在() ， 单调递增； 当k0时， 令 ( )0fx ， 得 3 3 k x 当 3 (,) 3 k x 时， ( )0fx ； 当 33 (,) 33 kk x 时， ( )0fx ； 当 3 (,) 3 k x时， ( )0fx 故 ( )f x在 3 (,) 3 k ， 3 (,) 3 k 单调递增，在 33 (,) 33
11、 kk 单调递 减 （2）由（1）知，当0k 时， ( )f x在() ， 单调递增， ( )f x不可能有三个零点 当k0时， 3 = 3 k x为 ( )f x的极大值点， 3 = 3 k x为 ( )f x的极小值点 此时， 33 11 33 kk kk 且 (1)0fk ， (1)0f k ， 3 ()0 3 k f 根据 ( )f x 的单调性，当且仅当 3 ()0 3 k f，即 2 23 0 9 kk k 时， ( )f x 有三个零点，解得 4 27 k 因此k的取值范围为(0 ) 4 27 ， 21解： （1）由题设可得 2 2515 54 m ，得 2 25 16 m ，
12、所以C的方程为 22 1 25 25 16 xy . （2）设 (,),(6,) PPQ P xyQy ，根据对称性可设 0 Q y ，由题意知0 P y ， 由已知可得(5,0)B，直线 BP 的方程为 1 (5) Q yx y ，所以 2 |1 PQ BPyy， 2 |1 Q BQy ， 因为| |BPBQ，所以1 P y ，将1 P y 代入C的方程，解得3 P x 或3 . 由直线 BP 的方程得 2 Q y 或 8. 所以点,P Q的坐标分别为 1122 (3,1),(6,2);( 3,1),(6,8)PQPQ. 11 |10PQ ，直线 11 PQ的方程为 1 3 yx，点( 5,
13、0)A 到直线 11 PQ的距离为 10 2 ，故 11 APQ的面 积为 1105 10 222 . 22 |130PQ ，直线 22 PQ的方程为 710 93 yx，点A到直线 22 PQ的距离为 130 26 ，故 22 APQ的 8 面积为 11305 130 2262 . 综上，APQ的面积为 5 2 . 22选修 44：坐标系与参数方程 解：（1）因为 t1，由 2 20tt 得 2t ，所以 C 与 y 轴的交点为（0，12）； 由 2 230tt得 t=2，所以 C 与 x 轴的交点为( 4,0) 故| 4 10AB （2）由（1）可知，直线 AB 的直角坐标方程为1 412 xy ，将 cossinxy， 代入， 得直线 AB 的极坐标方程3 cos sin120 23选修 45：不等式选讲 解： （1）由题设可知，a，b，c 均不为零，所以 2222 1( )() 2 abbccaabcabc 222 1 () 2 abc 0. （2） 不妨设maxa， b， c=a， 因为1,()abcabc ， 所以a0， b0， c0.由 2 () 4 bc bc ， 可得 3 4 a abc ， 故 3 4a ，所以 3 max , , 4a b c .
