1、学学 习习 目目 标标1、能理解和掌握三角形内角和定理、能理解和掌握三角形内角和定理 的证明过程。的证明过程。2、能灵活应用三角形内角和定理进行、能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理证明。简单的计算和推理证明。ABCPQ12ABCQRPABDCEF4123三角形的内角和是三角形的内角和是180180图1图2图3ABCCBAABBCCBAB内角三兄弟内角三兄弟之争之争 在一个直角三角形里住着三在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：兴，发起脾气来，它指着老大说：
2、“你凭什么度数最大，我也要和你你凭什么度数最大，我也要和你一样大！一样大！”“不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这是不可能的，否则，我们这个这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了家就再也围不起了”“为什为什么？么？”老二很纳闷。老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理同学们，你们知道其中的道理吗？吗？三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说：三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说：“我的体积比你大，所以我的内角和也比你我的体积比你大，所以我的内角和也比你大！大！”红不服气的说：红不服气的说：“那可不好说噢，你那可不好说噢，你自己量量看！自己量量看！”蓝用量角器量了量自己的内角和，就不蓝用量角器
3、量了量自己的内角和，就不再说话了！再说话了！同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？结论：三角形的内角和等于结论：三角形的内角和等于1800.证明：证明：过点过点A作作EFBC则则B=2（两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等）同理同理C=1因为因为2+1+BAC=1800（平角定义平角定义）所以所以B+C+BAC=1800（等量代换等量代换）已知：已知：ABC.ABCEF求证：求证：A+B+C=180E F结论：三角形的内角和等于结论：三角形的内角和等于1800.所以所以B+BAC+C=180 （等量代换）（等量代换）已知：已知：ABC.求证：求证：A+B+C=180
4、ABCL证明：证明：过过A作作AEBC，则则B=1 (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)因为因为1+BAC+C=180 (两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)结论：三角形的内角和等于结论：三角形的内角和等于1800.ABCL 在这里，为了证明的需要，在原来的在这里，为了证明的需要，在原来的图形上图形上自己加上自己加上的线叫做的线叫做辅助线辅助线。在平面。在平面几何里，辅助线通常画成几何里，辅助线通常画成虚线虚线。注意要说。注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。明所加辅助线的位置、名称和性质。思路总结：思路总结：为了证明三角形三个内角的和为为了证明三角形三个内角的和为18
5、0180,通常应用通常应用转化思想。转化思想。转化为：转化为：平角或平角或两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补定理定理：三角形的三个内角和是：三角形的三个内角和是180一个三角形中能有两个直角吗？一个三角形中能有两个直角吗？一个三角形中能有两个钝角吗？一个三角形中能有两个钝角吗？三个内角都能小于三个内角都能小于600吗？吗？讨论讨论（1 1）在）在ABCABC中中,A=35,A=35,B=43,B=43，则则 C=C=.（2 2）在）在ABCABC中中,C=90,C=90,B=50,B=50,则则A=A=。（3 3）在）在ABCABC中中,A=40,A=40,A=2B,A=2B，则
6、则C=C=。10204001200你真棒！你真棒！求出下列图中求出下列图中x的值的值:xx x x=600比比谁最快比比谁最快x x x=4502 x xx=300三角形内角和定理三角形内角和定理w三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0.wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800(B+C).(B+C).wB=B=1800(A+C).(A+C).wC=C=1800(A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.w
7、A+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论这里的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.三种语言三种语言ABC如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，D D为为ACAC边上异于边上异于A A、C C的一点，过的一点，过D D点作一直线与点作一直线与ABAB相交于点相交于点E E，使所得，使所得到的新三角形与原到的新三角形与原ABCABC相似相似.问：你能画出符合条件的直线吗？问：你能画出符合条件的直线吗？D DA AC CB BEE相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原
8、三角形相似的三角形与原三角形相似2、有两角对应相等的两个三角形相似、有两角对应相等的两个三角形相似ABCABCDABC如图，每个小正方形边长均为如图，每个小正方形边长均为1，则下，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图列图中的三角形（阴影部分）与左图中中 相似的是（相似的是（）3、两边对应成比例、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似且夹角相等的两三角形相似4、三边对应成比例的两三角形相似、三边对应成比例的两三角形相似B相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法根据下列条件能否判定根据下列条件能否判定ABC与与ABC相似？为相似？为什么？什么？A=40,B=80,A=40,C=60ABC4080
9、60 40ABC 根据下列条件能否判定根据下列条件能否判定ABC与与ABC相似？相似？为什么？为什么？A=40，AB=3 ，AC=6 A=40，AB=7 ，AC=147ABC4040ABC1436根据下列条件能否判定根据下列条件能否判定ABC与与ABC相似？为相似？为什么？什么？AB=4 ，BC=6 ，AC=8 AB=18 ，BC=12 ，AC=2118ABCABC21486122424如何改变如何改变ABC的其中一条边使的其中一条边使ABC与与ABC相似？相似？如图，如图，PCDPCD是等边三角形，是等边三角形，A A、C C、D D、B B在同在同一直线上，且一直线上，且APB=120AP
10、B=120.求证：求证：PACPACBPDBPD；ACBD=CDACBD=CD2 2.A AB BC CD DP P 如图如图,在在ABC中中,DEBC,AH分别交分别交DE,BC于于G,H,求证求证:HCGEBHDGABHCGDE 如图：在如图：在ABC中，中，C=90,BC=8,AC=6.点点P从点从点B出发，沿着出发，沿着BC向点向点C以以2cm/秒的速度移动秒的速度移动;点点Q从点从点C出发，沿着出发，沿着CA向点向点A以以1cm/秒的速度移动。秒的速度移动。如果如果P、Q分别从分别从B、C同时出发，问：同时出发，问：AQPCBAQPCB经过多少秒时以经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰为顶点的三角形恰好与好与ABC相似？相似？如图，已知如图，已知PACPACQCB QCB，PCQPCQ是等边三角形是等边三角形(1)(1)若若AP=1AP=1，BQ=4BQ=4，求，求PQPQ的长的长.(2)(2)求求ACBACB的度数的度数.(3)(3)求证求证:AC:AC2 2=APAB.=APAB.A AB BP PQ QC C
