1、 - 1 - 2017 2018学年度第一学期半期考试 高一年级数学试题 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.设全集 U =R，集合 ? ? 22| xxyyA ? ， ? ?xyyB 2| ? ，则集合 ?BACU )(（ ） A、 ? ?0| ?yy B、 ? ?10| ? yy C、 ? ?1| ?yy D、 ? ?1| ?yy 2.已知集合 ? ?1,0,1?M , ? ?baMbaabxxN ? , ,则集合 N 的真子集个数为（ ） A、 8 B、 7 C、 4 D、 3 3.函数 3log)(31 ? xxxf的零点所在的区间是（ ） A、 ? ?1,0 B、 ? ?
2、2,1 C、 ? ?2,3 D、 ? ?,3 4.设 0 .0 12 2lo g 3 , 3 , ln 2a b c? ? ?，则（ ） A、 c a b? B、 abc? C、 a c b? D、 bac? 5.下列说法 不正确 的是 （ ） A、 方程 ( ) 0fx? 有实数根 ? 函数 ()y f x? 有零点 B、函数 2 35y x x? ? ? 有两个零点 C、单调函数至多有一个零点 D、 函数 ()fx在区间 , ab 上满足 ( ) ( ) 0f a f b?，则函数 ()fx在区间 (, )ab 内 有零点 6.同时满足以下三个条件的函数是（ ） 图像过点 ( )0,1 ；
3、 在区间 ? ?,0 上单调递减； 是偶函数 A、 ? ?2( ) 1 2f x x? ? ? ? B、 ( ) 3xfx? C、 1()2xfx ?D、 2()f x x? 7.已知函数 2( ) (2 1)f x x a x b? ? ? ?是偶函数，那么函数 ( ) 1ag x log x?的定义域为- 2 - （ ） A、 1,2? ?B、 ? 21,0C、 ( 0,2 D、 ? ?,2 8.根据下表，用二分法求函数 3( ) 3 1f x x x? ? ?在区间 (1,2) 上的零点的近似值（精确度 0.1 ）是（ ） (1) 1f ? (2) 3f ? (1.5) 0.125f ?
4、 (1.75) 1.109375f ? (1.625) 0.41601562f ? (1 .5 6 2 5) 0 .1 2 7 1 9 7 2 6f ? A、 1.75 B、 1.625 C、 0.12719726 D、 1.5625 9.已知奇函数 )(xf 是定义在区间 ? ?2,2? 上的单调递减函数，则不等式 2( ) (2 ) 0f x f x?的解集是（ ） A、 )1,0- B、 ( )2,0- C、 ? ?2, 1? D、 ? ? ? ?, 2 0,? ? ? 10.已知函数 xxf )21()( ? ,则函数 )1( ?xf 的反 函数的图象可能是（ ） 11.设偶函数 ()
5、fx在 ? ?0,? 上为减函数，且 0)1( ?f ，则不等式 0)( ? xfx 的解集为（ ） A、 ? ? ? ?1,0 1,? ? B、 ? ? ? ?, 1 0,1? ? C、 ? ? ? ?, 1 1,? ? ? D、 ? ? ? ?1,0 0,1? 12.已知函数 )(xfy? 是定义域为 R的偶函数，当 0?x 时，?.2,lo g,20,)21()(16 xxxxf x 若关于x 的方程 ),(0)()( 2 Rbabxfaxf ? 有且只有 7个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） - 3 - A、 )1,41( B、 )1,2( ? C、 )45,2( ? D、
6、),41( ? 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 01aa?且 ，函数 2)32(log ? xy a 的图象恒过定点 P ，若点 P 在指数函数)(xf 的图象上，则 )8(f =_. 14.设 )(xf 是 R上的偶函数 , 且在 0+)?， 上递 增 , 若 1( ) 02f ? ， 0)(log161 ? xf， 那么 x 的取值 集合 是 . 15. 函数 )3(l o g)( 22 aaxxxf ? 在 ),2 ? 上是增函数，则实数 a 的取值 集合 是 . 16.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程 ( )( 1,2,3,4)if
7、 x i ?关于时间 ( 0)xx? 的函数关系式分别为 1( ) 2 1xfx?， 32 )( xxf ? ， 23 )( xxf ? ，42( ) log ( 1)f x x?，有以下结论： 当 1x? 时，甲走在最前面； 当 1x? 时，乙走在最前面； 当 01x? 时 ,丁走在最前面，当 1x? 时，丁走在最后面； 丙不可能 走在最前面，也 不可能 走在最后面； 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上 ,多填或少填均不得分） 三、解答题（共 70分） 17.（ 本题满分 10分） 已知函数?)0(,1)1(lo g)0(,2)21(
8、)(2 xxxxf x （ 1）求 )(xf 的零点； - 4 - （ 2）求不等式 1)( ? xf 的解集 . 18.（本题满分 12 分） 如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE=4米， CD=6米为了合理利用这块钢板，将在五边形 ABCDE内截取一个矩形块 BNPM，使点 P在边 DE 上 （ 1）设 MP=x米， PN=y 米，将 y表示成 x的函数，求该函数的解析式及定义域； （ 2）求矩形 BNPM面积的最大值 19 （本题满分 12分） 已知函数 xxxf ? 2 2lg)( . （ 1）判断函数 )(xf 的奇偶性，并证明； （ 2）写出函数 )(
9、xf 的单调区间及单调性，并用单调性定义证明其单调性 . 20（本题满分 12分） 已知定义域为 R 的单调函数 ?fx是奇函数，当 0x? 时， ? ? 23 xfx x? ? . （ 1）求 ?fx的解析式； （ 2） 若对任意的 tR? ，不等式 22( 2 ) ( 2 ) 0f t t f t k? ? ? ?恒成立，求实数 k 的取值范围 . 21 （本题满分 12分） 已知函数 .2,1,32)( 2 ? xaaxxxf - 5 - （ 1）求函数 )(xf 在区间 1， 2上的最小值 )(ag ； （ 2）求函数 )(ag 的最大值 . 22 （本题满分 12分） 已知函数 4(
10、 ) log (4 1)xf x kx? ? ? ()kR? 是偶函数 （ 1）求 k 的值 ； （ 2）设4 4( ) lo g ( 2 )3xg x a a? ? ?,若函数 ()fx与 ()gx的图象有且只有一个公共点 ,求实数 a的取值范围 高一年级数学试题 (答案 ) 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C A D C B D A D A C 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.、 4 14、 )4,41( (要求用集合表示 ) 15、 4,4(? (要求用集合表示 ) 16、 三、解答题
11、（共 70分） 17.（本题满分 10分） 已知函数?)0(,1)1(lo g)0(,2)21()(2 xxxxf x （ 1）求 )(xf 的零点； (5分 ) （ 2）求不等式 1)( ? xf 的解集 . (5 分 ) - 6 - 解：（ 1）由 0)( ?xf 得，?02)21(0xx 或? ? 01)1(log 02 xx ，解得 1?x 或 1?x . 所以，函数 )(xf 的零点是 1， 1. （ 2）由 1)( ?xf 得，?12)21(0xx 或? ? 11)1(log 02 xx ，解得 3log2?x 或 3?x . 所以，不等式 1)( ? xf 的解集是 x | 3l
12、og2?x 或 3?x . 18.（本题满分 12 分） 如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE=4米， CD=6米为了合理利用这块钢板，将在五边形 ABCDE内截取一个矩形块 BNPM，使点 P在边 DE上 （ 1）设 MP=x 米， PN=米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (6分 ) （ 2）求矩形 BNPM面积的最大值 (6 分 ) QMNDE FAB CP解： （ I）作 PQAF 于 Q，所以 PQ=8 y， EQ=x 4 在 EDF 中，FDEFPQEQ?，所以248 4?yx所以 1021 ? xy ，定义域为 x|4x8 （
13、 II）设矩形 BNPM的面积为 S，则 50)10(21)210()( 2 ? xxxxyxS 所以 S（ x）是关于 x的二次函数，且其开口向下，对称轴为 x=10 所以当 x 4， 8， S（ x）单调递增 . 所以 ， 当 x=8米时，矩形 BNPM面积取得最大值 48平方米 . 19 （本题满分 12分） 已知函数 xxxf ? 2 2lg)( . - 7 - （ 1）判断函数 )(xf 的奇偶性，并证明； (6 分 ) （ 2）写出函数 )(xf 的单调区间及单调性，并用单调性定义证明其单调性 . (6 分 ) 解：（ 1）判断： )(xf 是奇函数。证明如下： 由 02 2 ?
14、xx 得函数 )(xf 的定义域为 )2,2(? ，关于原点对称。 而 01lg2 2lg2 2lg)()( ? xxxxxfxf 所以， )()( xfxf ? .因此， )(xf 是奇函数 . （ 2）函 数 )(xf 的单调区间是 )2,2(? ，在 )2,2(? 上是增函数。证明如下： 设 )2,2(, 21 ? xx 且 21 xx? ， )2)(2( )2)(2(lg2 2lg2 2lg)()( 21 21221121 ? ? ? xx xxxxxxxfxf因为 0)(4)2()2()2)(2( 212121 ? xxxxxx 所以 )2)(2()2)(2(0 2121 ? xxx
15、x 所以 1)2)(2( )2)(2(0 21 21 ? ? xx xx，即 0)2)(2( )2)(2(lg 21 21 ? ? xx xx，即 )()( 21 xfxf ? . 所以，函数 )(xf 在 )2,2(? 上是增函数 . 20（本题满分 12分） 已知定义域为 R 的单调函数 ?fx是奇函数，当 0x? 时， ? ? 23 xfx x? ? . （ 1）求 ?fx的解析式； (6 分 ) （ 2） 若对任意的 tR? ，不等式 22( 2 ) ( 2 ) 0f t t f t k? ? ? ?恒成立，求实数 k 的取值范围 . (6分 ) 解： （ 1） 因为 定义域为 R 的
16、函数 ?fx是奇函数 ， ? ?0 0f?. 当 0x? 时， 0x? ? ? 23 xfx x ? ? ? ? ? 又 因为 函数 ?fx是奇函数 ，所以， xxxfxf ? 23)()( ， - 8 - 综上所述 ， ? )0(23)0(0)0(23)(xxxxxxfxx（ 2） 因为 0)0(35)1( ? ff ,且 ?fx为 R 上 的单调函数 ， ? ?fx在 R 上单调递减 . 由 22( 2 ) (2 ) 0f t t f t k? ? ? ?得 22( 2 ) (2 )f t t f t k? ? ? ? 因为 )(xf 是奇函数 22( 2 ) ( 2 )f t t f k
17、 t? ? ? ? 又 因为 )(xf 是减函数 ? 2222t t k t? ? ? 即 23 2 0t t k? ? ? 对任意 tR? 恒成立 4 12 0k? ? ? ?得 13k? 即为所求 21 （本题满分 12分） 已知函数 .2,1,32)( 2 ? xaaxxxf （ 1）求函数 )(xf 在区间 1， 2上的最小值 )(ag ； (6 分 ) （ 2）求函数 )(ag 的最大值 . (6分 ) 解：（ 1）已知函数 aaxxxf 32)( 2 ? 的对称轴为 ax? ， )(xf 在 ,( a? 上是减函数，在), ?a 上是增函数 . 当 1?a 时， )(xf 在 2,1 上是增函数， 1)1()( ? afag ， 当 21 ?a 时， aaafag 3)()( 2 ? ， )(xf 在 2,1 上是减函数， afag ? 4)2()( ， 所以，?)2(4)21(3)1(1)( 2aaaaaaaag - 9 - （ 2）因为?)2(4)21(3)1(1)( 2aaaaaaaag ， 当 1?a 时， 2,()( ?ag ， 当 21 ?a 时， 49,2()( ?ag ， 当 2?a 时， 2,()( ?ag ， 所以，函数 )(ag 的值域为 49,(? . 因此， )(ag 的最大值为 49 .
