1、 专题专题 01 面积的存在性问题解题策略面积的存在性问题解题策略 专题攻略 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类： 第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确 例题解析 例 如图 1-1，矩形 ABCD 的顶点 C 在 y 轴右侧沿抛物线 yx26x10 滑动，在滑动过程中 CD/x 轴，CD1，AB 在 CD 的下方 当点 D 在 y 轴上时， AB 落在 x 轴上 当矩形 ABCD 在滑动过程中被 x 轴分成两部分的面积比为 1:4 时， 求点 C 的 坐标 图 1-1 【解析】先求出 CB5，再进
2、行两次转化，然后解方程 把上下两部分的面积比为 14 转化为 S上S全15 或 S上S全45 把面积比转化为点 C 的纵坐标为 1 或 4 如图 1-2，C (3, 1)如图 1-3， C(33, 4)或(33, 4) 图 1-2 图 1-3 例 如图 2-1，二次函数 y(xm)2k 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，顶点 M 的坐标 为(1,4)， AM 与 y 轴相交于点 C， 在抛物线上是否还存在点 P， 使得 SPMB=SBCM， 如存在， 求出点 P 的坐标 图 2-1 【解析】BCM 是确定的，PBM 与三角形 BCM 有公共边 BM，根据“同底等高的三 角形面积相等”和“平行
3、线间的距离处处相等” ，过点 C 画 BM 的平行线与抛物线的交点就 是点 P一目了然，点 P 有 2 个 由 y(x1)24(x1)(x3)，得 A(1,0)，B(3,0)由 A、M，得 C(0,2) 如图 2-2，设 P(x, x22x3)，由 PC/BM，得CPEBMF所以 CEBF PEMF 解方程 2 (1)424 2 x x ，得25x所以(25,22 5)P或(25,22 5) 图 2-2 例 如图 3-1，直线 yx1 与抛物线 yx22x3 交于 A、B 两点，点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点，四边形 PAQB 是平行四边形，当四边形 PAQB 的面积最大时，求 点
4、P 的坐标 图 3-1 【解析】PAB 的面积最大时，平行四边形 PAQB 的面积也最大 我们介绍三种割补的方法求PAB 的面积：如图 3-2，把PAB 分割为两个共底 PE 的 三角形，高的和等于 A、B 两点间的水平距离；如图 3-3，用四边形 PACB 的面积减去ABC 的面积；如图 3-4，用直角梯形 ABNM 的面积减去两个直角三角形的面积 我们借用图 3-2 介绍一个典型结论已知 A(1,0)、B(2, 3)，设 P(x,x22x3) SPABSPAESPBE 1 () 2 PE AFBD 1 ()() 2 PEBA yyxx 2 1 (2) 3 2 xx 2 3127 () 22
5、8 x 当 1 2 x 时，PAB 的面积最大 1 2 x 的几何意义是点 E 为 AB 的中 点，这是一个典型 结论同时我们可以看到，由于 xBxA是定值，因此当 PE 最大时，PAB 的面积最大 图 3-2 图 3-3 图 3-4 例 如图 4-1，在平行四边形 A BCD 中，AB3，BC5，ACAB，ACD 沿 AC 方 向匀速平移得到PNM，速度为每秒 1 个单位长度；同时点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀 速移动，速度为每秒 1 个单位长度；当PNM 停止运动时，点 Q 也停止运动，如图 4-2， 设移动时间为 t 秒（0t4） 是否存 在某一时刻 t，使 SQMCS四边形A
6、BQP14？若存在， 求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 4-1 图 4-2 【解析】两步转化，问题就解决了QMC 与QPC 是同底等高的三角形，QPC 是 ABC 的一部分 因此 SQMCS四边形ABQP14 就转化为 SQPCSABC15，更进一步转化为 SQPC 6 5 如图 4-3，解方程 136 (4) 255 tt ，得 t2 图 4-3 例 如图 5-1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0, 1)，直线 y2x4 与抛物线 2 1 4 yx相交于点 B，与 y 轴交于点 D将ABD 沿直线 BD 折叠后，点 A 落在点 C 处（如 图 5-2） ，问在抛物线上是否存在
7、点 P，使得 SPCD3SPAB？如果存在，请求出所有满足条 件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 图 2 【解析】由 A(0, 1)，B(4, 4)，D(0,4)，可得 ABAD 5，这里隐含了四边形 ADCB 是菱形因此PCD 与PAB 是等底三角形，而且两底 CD/AB 如果 SPCD3SPAB，那么点 P 到直线 CD 的距离等于它到直线 AB 距离的 3 倍 如果过点 P 与 CD 平行的直线与 y 轴交于点 Q， 那么点 Q 到直线 CD 的距离等于它到直 线 AB 距离的 3 倍 所以 QD3QA点 Q 的位置有两个，在 DA 的延长线上或 AD 上 如图 5-3，
8、过点 Q 7 (0) 2 ，画 CD 的平行线，得 P 365 373 65 () 28 ，或 365 373 65 () 28 ， 如图 5-4， 过点 Q 1 (0) 4 ,画 CD 的平行线， 得 P 35 73 5 () 28 ， 或 35 7 3 5 () 28 ， 图 5-3 图 5-4 例 如图 6-1，抛物线 2 15 84 yxx 经过点 E(6, n)，与 x 轴正半轴交于点 A，若点 P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、O、A、E 为顶点的四边形的 面积记作 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 3 个？ 图 6-1 【解析】如图 6-2，当点 P 在
9、直线 AE 上方的抛物线上，过点 P 作 AE 的平行线，当这 条直线与抛物线相切时，PAE 的面积最大这时我们可以在直线 OE 的上方画一条与 OE 平行的直线，这条直线与抛物线有 2 个交点 P和 P，满足 SPAESPOESPOE 设过点 P 与直线 AE 平行的直线为 3 4 yxm ，联立 2 15 84 yxx ，消去 y，整理， 得 x216x8m0由0，解得 m8 因此方程 x216x640 的根为 x1x28所以 P(8, 2) 如图 6-3，作 PHx 轴于 H，可以求得 SS四边形OAPE95216 图 6-2 图 6-3 例 如图 7-1，点 P 是第二象限内抛物线 2
10、 1 8 8 yx 上的一个动点，点 D、E 的坐标 分别为(0, 6)、(4, 0)若将“使PDE 的面积为整数” 的点 P 记作“好点” ，请写出所有 “好点”的个数 图 7-1 【解析】第一步，求PDE 的面积 S 关于点 P 的横坐标 x 的函数关系式；第二步，分 析 S 关于 x 的函数关系式 如图 7-2，SPDESPODSPOESDOE 2 1 (6)13 4 x 因此 S 是 x 的二次函数，对称轴为直线 x6，S 的最大值为 13 如图 7-3，当8x0 时，4S13所以面积的值为整数的个数为 10 当 S12 时，对应的 x 有两个解8, 4，都在8x0 范围内 所以“使P
11、DE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有 11 个 图 7-2 图 7-3 例 如图 8-1，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(a, 3)（其中 a4） ，射线 OA 与反比例函数 12 y x 的图象交于点 P，点 B、C 分 别在函数 12 y x 的图象上，且 AB/x 轴，AC/y 轴试 说明 ABP ACP S S 的值是否随 a 的变化而变化？ 图 8-1 【解析】如图 8-2，我们在“大环境”中认识这个问题，关系清清楚楚 由于 S1S2，所以 SABOSACO所以 B、C 到 AO 的距离相等于是ABP 与ACP 就是同底等高 的三角形，它们的面积比为 1 图 8-2
12、例 如图 9-1，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角AOB90，点 C 是弧 AB 上的 一个动点，CDOA 于 D，CEOB 于 E，求四边形 ODCE 的面积的最大值 图 9-1 【解析】如图 9-2，图 9-3，设矩形 ODCE 的对角线交于点 F，那么 OF1 为定值 作 OHDE 于 H，那么 OHOF因为 DE2 为定值，因此当 OH 与 OF 相等时（如 图 9-4） ，DOE 的面积最大，最大值为 1所以矩形 ODCE 的面积的最大值为 2 图 9-2 图 9-3 图 9-4 例 如图 10-1，在ABC 中，C90，AC6，BC8，设直线 l 与斜边 AB 交于 点 E，
13、与直角边交于点 F，设 AEx，是否存在直线 l 同时平分ABC 的周长和面积？若存 在直线 l，求出 x 的值；若不存在直线 l，请说明理由 图 10-1 【解析】先假设存在，再列方程，如果方程有解那么真的存在 ABC 的周长为 24，面积为 24 如图 10-2， 点 F 在 AC 上， 假设直线 EF 同时平分ABC 的周长和面积， 那么 AEx， AF12x， 4 5 EGx 解方程 14 (12)12 25 xx ，得66x 当66xAE，1266AFx，此时点 F 不在 AC 上所以取66x （如图 10-3） 如图 10-4， 点 F 在 BC 上， 假设直线 EF 同时平分ABC 的周长和面积， 那么 AEx， BE10x，BF12(10x)2x， 3(10 ) 5 EHx 方程 13 (2)(10)12 25 xx 整理，得 2 8200xx此方程无实数根 图 10-2 图 10-3 图 10-4
