1、 中考数学几何模型 12：主从联动模型 名师点睛 当轨迹为直线时 思考 1 如图，P 是直线 BC 上一动点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在 BC 上运动时， Q 点轨迹是？ P Q A B C NC B A Q PM 揭秘：将点 P 看成主动点，点 Q 看成从动点，当 P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线 可以这样理解：分别过 A、Q 向 BC 作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程中，因为 AP=2AQ， 所以 QN 始终为 AM 的一半，即 Q 点到 BC 的距离是定值，故 Q 点轨迹是一条直线，且 Q 点运动 路径长为 P 点运动路径长的一半 思考 2 如图，点 C
2、 为定点，点 P、Q 为动点，CP=CQ，且PCQ 为定值，当点 P 在直线 AB 上运动，请探究点 Q 的运动轨迹. 揭秘：当 CP 与 CQ 夹角固定，且 AP=AQ 时，P、Q 轨迹是同一种图形，且 PP1=QQ1 可以这样理解：易知CPP1CPP1，则CPP1=CQQ1，故可知 Q 点轨迹为一条直线. 思考 3 如图，点 C 为定点，点 P 是直线 AB 上的一动点，以 CP 为斜边作 RtCPQ，且 P=30，当点 P 在直线 AB 上运动，请探究点 Q 的运动轨迹. 揭秘：条件 CP 与 CQ 夹角固定时，P、Q 轨迹是同一种图形，且有 1 1 PPCP QQCQ 可以这样理解：由
3、 CPQCP1Q1，易得CPP1CPP1，则CPP1=CQQ1，故可知 Q 点轨迹为 一条直线. 轨迹是直线 总结 条件：条件： 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量 结论：结论： 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； 当主动点、从动点到定点的距离不相等时，= 从动点运动路径从动点到定点距离 主动点运动路径主动点到定点距离 . 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图，在等边 ABC 中，AB=10，BD=4，
4、BE=2，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动，连结 PD，以 PD 为边，在 PD 的右侧按如图所示的方式作等边 DPF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径 长是_ A B C D E F P 变式练习变式练习 1如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点 B 是 y 轴正半轴上一动点，以 AB 为边在 AB 的下 方作等边 ABP，点 B 在 y 轴上运动时，求 OP 的最小值 P O A B x y 例题例题 2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE=1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF， 以 EF 为边向右侧作等边
5、EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为 G A BC D E F 变式练习变式练习 2（2017 秋江汉区校级月考）如图， ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 E 在 AB 上，点 D 为 BC 的中 点， EDM 为等边三角形若点 E 从点 B 运动到点 A，则 M 点所经历的路径长为 例题例题 3. 如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为2 3的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 y=-x 于点 N，若点 P 是线段 ON 上的一个动点，APB=30 ，BAPA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长
6、是_ y x N M P A C B O 变式练习变式练习 3（2019东台市模拟）如图，平面直角坐标系中，点 A（0，2），B（1，0），C（5，0），点 D 从点 B 出发，沿 x 轴负方向运动到点 C，E 为 AD 上方一点，若在运动过程中始终保持 AED AOB， 则点 E 运动的路径长为 名师点睛 当轨迹为弧线时 思考 1 如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点 当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？ AO P Q 揭秘：Q 点轨迹是一个圆，考虑到 Q 点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M 点即为 Q 点轨 迹圆圆心，
7、半径 MQ 是 OP 一半，任意时刻，均有 AMQAOP， 1 = 2 QMAQ POAP Q P OAM 小结：确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由 A、Q、P 始终共线可得：A、M、O 三点共线， 由 Q 为 AP 中点可得：AM=1/2AOQ 点轨迹相当于是 P 点轨迹成比例缩放 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系 轨迹是圆 思考 2：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQAP 且 AQ=AP 当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？ OP Q A 揭秘： Q 点轨迹是个圆， 可理解为将 AP
8、 绕点 A 逆时针旋转 90 得 AQ， 故 Q 点轨迹与 P 点轨迹都是圆 接 下来确定圆心与半径考虑 APAQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMAO；考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨 迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO即可确定圆 M 位置，任意时刻均有 APOAQM M A Q P O 思考 3：如图， APQ 是直角三角形，PAQ=90 ，且 AP=2AQ， 当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是？ O P Q A 揭秘： 考虑 APAQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMAO；考虑 AP：AQ=2：1，可得 Q 点轨迹圆圆 心 M 满足 AO：AM=2：1
9、即可确定圆 M 位置，任意时刻均有 APOAQM，且相似比为 2 O P Q M A 推理： （1）如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以 AP 为一边作等边 APQ 当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是和圆 O 全等的一个圆. （2）如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，以 AP 为斜边作等腰直角 APQ 当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹为按 AP：AQ=AO：AM=2：1 的比例缩放的一个圆. 总结： 为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点主动点”，点 Q 为“从动点从动点” 此类问题的必要条件：两个定量，即： 主动点、从动点与
10、定点连线的夹角是定量（PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ 是定值） 结论： （1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点距离之比：AP：AQ=AO：AM，也等于两圆半径之比， 也等于两动点运动轨迹长之比，按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理” 60 M Q A P O O PA Q M O P Q A O P Q A 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 4. 如图，点 P（3，
11、4），圆 P 半径为 2，A（2.8，0），B（5.6，0），点 M 是圆 P 上的动点，点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是_ O y xAB C M P 变式练习变式练习 4如图，在等腰 Rt ABC 中，AC=BC=2 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点，当点 P 从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为_ A BC M P 例题例题 5. 如图，正方形 ABCD 中，2 5AB ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE=2， 连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90 得 DF，连接 AE、CF求线段 OF 长
12、的最小值 O A B C D E F 变式练习变式练习 5 ABC 中，AB=4，AC=2，以 BC 为边在 ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则线段 AO 的最 大值为_ A BC DE O 名师点睛 当轨迹为其他种类时 根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从 动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是 其他图形时，从动点轨迹必然也是 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 6. 如图，在反比例函数 2 y x 的图像上有一个动点 A，连接 AO 并延长交图像的另一支于点
13、B，在第一象限内有一点 C，满足 AC=BC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 k y x 的图像上运动， 若 tanCAB=2，则 k 的值为（ ） C B A O y x A2 B4 C6 D8 变式练习变式练习 6（2017深圳模拟）如图，反比例函数 y的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另一支于点 B， 在第二象限内有一点 C， 满足 ACBC， 当点 A 运动时， 点 C 始终在函数 y的图象上运动， tanCAB 2，则关于 x 的方程 x25x+k0 的解为 例题例题 7. 如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点 P 是 ABC 边上一动点，连接
14、 OP，以 OP 为 斜边在 OP 的右上方作等腰直角 OPQ，当点 P 在 ABC 边上运动一周时，点 Q 的轨迹形成的封 闭图形面积为_ Q C x y O A B P 变式练习变式练习 7（2017 春工业园区期末）如图， ABC 的面积为 9，点 P 在 ABC 的边上运动作点 P 关于原点 O 的 对称点 Q，再以 PQ 为边作等边 PQM当点 P 在 ABC 的边上运动一周时，点 M 随之运动所形成的图 形面积为（ ） A3 B9 C27 D 例题例题 8. 如图所示，AB=4，AC=2，以 BC 为底边向上构造等腰直角三角形 BCD，连接 AD 并延长 至点 P，使 AD=PD，
15、则 PB 的取值范围为_ AB C D P 变式练习变式练习 8（2018 秋新吴区期末）如图已知：正方形 OCAB，A（2，2），Q（5，7），ABy 轴，ACx 轴，OA， BC 交于点 P，若正方形 OCAB 以 O 为位似中心在第一象限内放大，点 P 随正方形一起运动，当 PQ 达 到最小值时停止运动以 PQ 的长为边长，向 PQ 的右侧作等边 PQD，求在这个位似变化过程中，D 点运动的路径长（ ） A5 B6 C2 D4 例题例题 9. （2019 秋硚口区期中）如图，一副含 30 和 45 角的三角板 ABC 和 EDF 拼合在一个平面上，边 AC 与 EF 重合，BC4cm当点
16、 E 从点 A 出发沿 AC 方向滑动时，点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 方向 滑动，当点 E 从点 A 滑动到点 C 时，点 D 运动的路径长为 cm 变式练习变式练习 9（2018金华模拟）如图，Rt ABC 中，BC4，AC8，Rt ABC 的斜边在 x 轴的正半轴上，点 A 与原 点重合，随着顶点 A 由 O 点出发沿 y 轴的正半轴方向滑动，点 B 也沿着 x 轴向点 O 滑动，直到与点 O 重合时运动结束在这个运动过程中 （1）AB 中点 P 经过的路径长 （2）点 C 运动的路径长是 达标检测 领悟提升 强化落实 1. （2018 秋黄冈期中）在 ABC 中，BAC90
17、，ABAC2cm，线段 BC 上一动点 P 从 C 点开始运动， 到 B 点停止，以 AP 为边在 AC 的右侧作等边 APQ，则 Q 点运动的路径为 cm 2如图，在矩形 ABCD 中，AB4，DCA30 ，点 F 是对角线 AC 上的一个动点，连接 DF，以 DF 为 斜边作DFE30 的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中， 点 E 的运动路径长是 3（2019铜山区二模）如图，已知点 M（0，4），N（4，0），开始时， ABC 的三个顶点 A、B、C 分 别与点 M、N、O 重合，点 A 在 y 轴上从点 M 开始向点 O
18、 滑动，到达点 O 结束运动，同时点 B 沿着 x 轴向右滑动，则在此运动过程中，点 C 的运动路径长 3（2018宝应县三模）在 Rt ABC 中，C90 ，AC2，BC2，若 P 是以 AB 为直径所作半圆上 由 A 沿着半圆向 B 运动的一点，连接 CP，过 P 向下作 PMCP，且有 PM0.5CP，如图示，求点 P 运 动过程中，点 M 的运动路径长是 4如图，已知线段 AB8，O 为 AB 的中点，P 是平面内的一个动点，在运动过程中保持 OP2 不变，连 结 BP，将 PB 绕点 P 逆时针旋转 90 到 PC，连结 BC、AC，则线段 AC 长的最大值是 5（2017江阴市二模
19、）如图，线段 AB 为O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AB4，BC2，点 P 是 O 上一动点，连接 CP，以 CP 为斜边在 PC 的上方作 Rt PCD，且使DCP60 ，连接 OD，则 OD 长的最大值为 6（2018建湖县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，3），以点 B 为圆心、2 为半 径的B 上有一动点 P连接 AP，若点 C 为 AP 的中点，连接 OC，则 OC 的最小值为 7 （2016江岸区校级模拟）如图，线段 AB2，C 是 AB 上一动点，以 AC、BC 为边在 AB 同侧作正 ACE、 正 BCF，连 EF，点 P 为 EF 的中点当点
20、C 从 A 运动到 B 时，P 点运动路径长为 8（2019 秋江岸区校级月考）如图，正 ABC 中，AB2，ADBC 于 D，P，Q 分别是 AB，BC 上的动 点，且 PQAD，点 M 在 PQ 的右上方且 PMQM，M120 ，当 P 从点 A 运动到点 B 时，M 运动的 路径长为 9如图，点 P（t，0）（t0）是 x 轴正半轴上的一定点，以原点为圆心作半径为 1 的弧分别交 x 轴y 轴 于 A，B 两点，点 M 是上的一个动点，连结 PM，作MPM190 ，PMM160 ，当 P 是 x 轴正半 轴上的任意一点时，点 M 从点 A 运动至点 B，M1的运动路径长是 10（2017 秋宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，有一条长为 10 的线段 AB，其端点 A、点 B 分别 在 y 轴、x 轴上滑动，点 C 为以 AB 为直径的D 上一点（C 始终在第一象限），且 tanBAC则 当点 A 从 A0（0，10）滑动到 O（0，0），B 从 O（0，0）滑动到 B0（10，0）的过程中，点 C 运动的路 径长为
