1、 类型三类型三 利润最值问题利润最值问题 例 1、不论自变量 x 取什么实数，二次函数 y=2x26x+m 的函数值总是正值，你认为 m 的 取值范围是 2 9 m，此时关于一元二次方程 2x26x+m=0 的解的情况是_(填“有解” 或“无解”) 【答案】 ：有解 【解析】 ： 2 9 ) 2 3 (2 2 mxy 0) 2 3 (2 2 x，要使0y，只有0 2 9 m 2 9 m 例 2、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 2 1 3.5 5 yx 的 一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 L 是_ 【答案】 ：4.5 米 【解析】 ：当05. 3y时， 2 1 3.5
2、 5 yx 05. 3 45. 05 2 x，5 . 1x或5 . 1x（不合题意，舍去） 例 3、在距离地面 2m 高的某处把一物体以初速度 V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气 阻力的情况下，其上升高度 s（m）与抛出时间 t（s）满足：S=V0t- 1 2 gt2（其中 g 是常 数，通常取 10m/s2） ，若 V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面_m 【答案】 ：7 米 【解析】 ：tts105 2 5) 1(5 2 t 当1t时，5 max s，所以，最高点距离地面725(米) 例 4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数有研究表明，晴 天在某
3、段公路上行驶上，速度为 V（km/h）的汽车的刹车距离 S（m）可由公式 S= 1 100 V2 确定；雨天行驶时，这一公式为 S= 1 50 V2如果车行驶的速度是 60km/h，那么在雨天行 驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_米 【答案】 ：36 例 5、将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 20 个若这种 商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加了 1 个，为了获得最大利润， 则应降价_元，最大利润为_元 【答案】 ：5 元,625 元 【解析】 ：设每件价格降价x元，利润为y元， 则：)20)(70100(xxy 60010 2 xx62
4、5)5( 2 x 当5x，625 max y（元） 答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润 例 6、如图，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一 部分，如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8，9)，则这个二次 函数的表达式为_，小孩将球抛出了约_米(精确到 0.1 m) x y A B O 【答案】 ：24.5 米 【解析】 ：设9)8( 2 xay，将点 A) 1 , 0(代入，得 8 1 a 12 8 1 9)8( 8 1 22 xxxy 令0y，得09)8( 8 1 2 xy 98)8( 2 x 268x，)0
5、,268( C，5 .242688OC(米) 例 7、 某商品现在的售价为每件 60 元， 每星期可卖出 300 件， 市场调查反映： 每涨价 1 元， 每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？ 【答案】 ：65 元 【解析】 ：设涨价（或降价）为每件x元，利润为y元， 1 y为涨价时的利润， 2 y为降价时的利润 则：)10300)(4060( 1 xxy )60010(10 2 xx 6250)5(10 2 x 当5x，即：定价为 65 元时，6250 max y（元） )20300)(4060( 2 xx
6、y )15)(20(20xx 6125)5 . 2(20 2 x 当5 . 2x，即：定价为 57.5 元时，6125 max y（元） 综合两种情况，应定价为 65 元时，利润最大 例 8、某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以 售出 400 件根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销 售量相应减少 20 件如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 【答案】 ：5 元 【解析】 ：设每件价格提高x元，利润为y元， 则：)20400)(2030(xxy )20)(10(20xx 4500)5(20 2 x 当5x，45
7、00 max y（元） 答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润 例 9、某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价 800 元旅行社对超过 30 人的 团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元你能帮助分析一下，当旅 行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 【答案】 ：55 人 【解析】 ：设旅行团有x人)30( x，营业额为y元， 则：)30(10800xxy )110(10xx 30250)55(10 2 x 当55x，30250 max y（元） 答：当旅行团的人数是 55 人时，旅行社可以获得最大营业额 例 10、 某产品每件成本 10 元，试销
8、阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表： 若日销售量y是销售价x的一次函数 求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式； 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是 多少元？ 【答案】 ： （1）40xy （2）25 元，225 元 【解析】 ：设一次函数表达式为bkxy 则 1525, 220 kb kb 解得 40 1 b k ， x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 即一次函数表达式为40xy 设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 yxw)10( )40)(10(xx 4 0 050 2 x
9、x 225)25( 2 x 当25x，225 max y（元） 答：产品的销售价应定为 25 元时，每日获得最大销售利润为 225 元 例 11、 超市购进一批 20 元/千克的绿色食品， 如果以 30元/千克销售， 那么每天可售出 400 千克由销售经验知，每天销售量y(千克)与销售单价x(元) (30x）存在如下图所示的一次函数关系式 试求出y与x的函数关系式； 设超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元， 当销售单价 为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，现该超市经理要求每 天利润不得低于 4180 元， 请你帮助该超市确
10、定绿色食品销售单价x的范围(直接写出答 案) 【答案】 ： （1）100020 xy)5030( x （2）4500（3）31x34 或 36x39 【解析】 ：设 y=kx+b 由图象可知， 3040020 ,: 402001000 kbk kbb 解之得， 即一次函数表达式为100020 xy)5030( x yxP)20( )100020)(20(xx20000140020 2 xx 020a P 有最大值 当35 )20(2 1400 x时，4500 max P（元） （或通过配方，4500)35(20 2 xP，也可求得最大值） 答：当销售单价为 35 元/千克时，每天可获得最大利润
11、 4500 元 44804500)35(204180 2 x，16)35(1 2 x 31x34 或 36x39 例 12、某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计， 得到如下数据： 销售价 x（元/千克） 25 24 23 22 销售量 y（千克） 2000 2500 3000 3500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并 观察所得的图形，判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为 13 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/千克）之间的 函数关系式，并求出当
12、x 取何值时，P 的值最大？ 【答案】 ： （1）y=-500x+14500 （2）21 元，32000 元 【解析】 ： （1）由图象可知，y 是 x 的一次函数， 设 y=kx+b， 点（25，2000） ， （24，2500）在图象上， 200025500 ,: 25002414500 kbk kbb 解得 ， y=-500x+14500 （2）P=(x-13) y=(x-13) (-500x+14500) )37744144142(500 )37742(500 )29)(13(500 2 2 xx xx xx =-500(x-21)2+32000 P 与 x 的函数关系式为 P=-50
13、0x2+21000x-188500， 当销售价为 21 元/千克时，能获得最大利润，最大利润为 32000 元 例 13、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘内，可以延 长存活时间， 但每天也有一定数量的蟹死去 假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变， 现有一经销商， 按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内， 此时市场价为每千克 30 元， 据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是，放养一天需支出各种费用为 400 元，且平均每天还有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千 克 20 元 (1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为
14、 p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式； (2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售， 并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元， 写出 Q 关 于 x 的函数关系式 (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q收购总额)？ 【答案】 ： （1）p=30+x,（2）Q=(100010x)(30+x)+200x=10x2+900x+30000.（3）25 天 【解析】 ：(1)由题意知：p=30+x, (2)由题意知：活蟹的销售额为(100010x)(30+x)元, 死蟹的销售额为 200x 元. Q=(100010x)(30+x)+200x=10x2+900x+3000
15、0. (3)设总利润为 W 元 则：W=Q1000 30400x=10x2+500x =10(x250x) =10(x25)2+6250. 当 x=25 时，总利润最大，最大利润为 6250 元 答：这批蟹放养 25 天后出售，可获最大利润 例 14、政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种 农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元/千克市场调查发现，该产品每天的销售 量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系：=280设这种产品每天的销售 利润为(元) (1)求与之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物
16、价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克， 该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为多少元? 【答案】 ： （1）16001202 2 xxy（2）30,200（3）25 元 【解析】 ：)802)(20()20(xxwxy )40)(20(2xx )80060(2 2 xx200)30(2 2 x 16001202 2 xx 当30x，200 max y（元） (1)y与x之间的的函数关系式为；16001202 2 xxy (2)当销售价定为 30 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 200 元 (3) 150200)30(2 2 x，25)30( 2 x 2835 1
17、x（不合题意，舍去）25 2 x 答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 25 元 例 15、研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售 该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x(吨)时，所需的全部费用y(万元）与x满足 关系式905 10 1 2 xxy， 投入市场后当年能全部售出， 且在甲、 乙两地每吨的售价， （万元）均与满足一次函数关系 （注：年利润年销售额全部费用） （1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，请你用含的代数式 表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式； （2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数） ，且在乙地 当年的最大年利润为 35 万元试确定的值； （3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨，根据（1） ， （2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能 获得较大的年利润？ 【答案】 ： （1） （2）15 【解析】 ： （1）甲地当年的年销售额为万元； （2）在乙地区生产并销售时， 年利润 由，解得或 经检验，不合题意，舍去， （3）在乙地区生产并销售时，年利润， 将代入上式，得（万元） ；将代入， 得（万元） ，应选乙地
