1、 类型六类型六 二次函数与三角形相似问题二次函数与三角形相似问题 例 1、如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。 求抛物线的解析式； （用顶点式 求得抛物线的解析式为xx 4 1 y 2 ） 若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形 为平行四边形，求 D 点的坐标； 连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相 似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。 【答案】解:由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay 2 抛物线过原点， 1)2
2、0(a0 2 4 1 a. 抛物线的解析式为1)2x( 4 1 y 2 ,即xx 4 1 y 2 如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD OB, 由1)2x( 4 1 0 2 得4x, 0x 21 , B(4,0),OB4. D 点的横坐标为 6 将 x6 代入1)2x( 4 1 y 2 ,得 y3, D(6,3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边 形,此时 D 点的坐标为(2,3), 当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为(2,1) 如图 2，由抛物线的对称性可知:A
3、OAB,AOBABO. 例 1 题图 图 1 O A B y x O A B y x 图 2 C O A B D y x 图 1 y x E Q P C B O A 若BOP 与AOB 相似,必须有POBBOABPO 设 OP 交抛物线的对称轴于 A点,显然 A(2,1) 直线 OP 的解析式为x 2 1 y 由xx 4 1 x 2 1 2 , 得6x, 0x 21 .P(6,3) 过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2,PE3, PB134. PBOB,BOPBPO, PBO 与BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点. 所以在该抛物线上不存在
4、点 P,使得BOP 与AOB 相似. 例 2、已知抛物线 2 yaxbxc经过 5 3 ( 33)0 2 PE ，及原点(0 0)O ， （1）求抛物线的解析式 （由一般式 得抛物线的解析式为 2 25 3 33 yxx ） （2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上， 任取一点Q， 过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于 B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存在点Q，使得OPC与 PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由 （3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个
5、三角形 OPCPQBOQPOQA，之间存在怎样的关系？为什么？ 【答案】解： （1）由已知可得： E A O A B P y x 图 2 333 755 3 0 42 0 ab ab c 解之得， 25 3 0 33 abc ， 因而得，抛物线的解析式为： 2 25 3 33 yxx （2）存在 设Q点的坐标为()mn，则 2 25 3 33 nmm ， 要使, BQPB OCPPBQ CPOC ， 则有 33 33 nm ， 即 2 25 3 3 3 33 33 mm m 解之得， 12 2 32mm， 当 1 2 3m 时，2n，即为Q点，所以得(2 3 2)Q， 要使, BQPB OCP
6、QBP OCCP ， 则有 33 33 nm ， 即 2 25 3 3 3 33 33 mm m 解之得， 12 3 33mm，当3m 时，即为P点， 当 1 3 3m 时，3n ，所以得(3 33)Q， 故存在两个Q点使得OCP与PBQ相似 Q点的坐标为(2 3 2) (3 33)， （3）在RtOCP中，因为 3 tan 3 CP COP OC 所以30COP 当Q点的坐标为(2 3 2)，时，30BPQCOP 所以90OPQOCPBQAO 因此，OPCPQBOPQOAQ，都是直角三角形 又在RtOAQ中，因为 3 tan 3 QA QOA AO 所以30QOA 即有30POQQOAQPB
7、COP 所以OPCPQBOQPOQA， 又因为QPOPQAOA，30POQAOQ， 所以OQAOQP 例 3、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE ，且 3 tan 4 EDA。 （1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标； （3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的
8、直线；如果 不存在，请说明理由。 【答案】解： （1）OCD与ADE相似。 理由如下： 由折叠知，90CDEB ， 1290 ，139023. ， 又90CODDAE， OCDADE。 （2） 3 tan 4 AE EDA AD ，设 AE=3t， 则 AD=4t。 由勾股定理得 DE=5t。 O x y C B E A O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A y C B E P M G l N 358OCABAEEBAEDEttt。 由（1）OCDADE，得 OCCD ADDE ， 8 45 tCD tt ， 10CDt。 在DCE中， 222 CDDECE， 222 (10 )
9、(5 )(5 5)tt，解得 t=1。 OC=8，AE=3，点 C 的坐标为（0，8） ， 点 E 的坐标为（10，3） ， 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b， 103 8 kb b ， ， 解得 1 2 8 k b ， ， 1 8 2 yx ，则点 P 的坐标为（16，0） 。 （3）满足条件的直线 l 有 2 条：y=2x+12， y=2x12。 如图 2：准确画出两条直线。 例 4、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与x轴交于 A B，两点（点A在点B的左边） ，与y轴交于点C，其顶点的横坐标为 1，且过点(2 3)，和 ( 312)， （1）
10、求此二次函数的表达式； （由一般式 得抛物线的解析式为 2 23yxx ） （2）若直线:(0)l ykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合） ，则是否存在这样 的直线l，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似？若存在，求出该直线的函数 表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；( 10)(30),(0 3)ABC ， （3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO与ACO的大小（不必证明） ，并写出此时点P的横坐标 p x的取值范围 【答案】解： （1）二次函数图象顶点的横坐标为 1，且过点(2 3)，和( 312)， 由 1 2 423
11、93212. b a abc ab ， ， 解得 1 2 3. a b c ， ， 此二次函数的表达式为 2 23yxx （2）假设存在直线:(0)l ykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合） ，使得以 BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似 在 2 23yxx 中，令0y ，则由 2 230xx，解得 12 13xx ， ( 10)(3 0)AB ， 令0x，得3y (0 3)C， 设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx轴于点E 点B的坐标为(3 0)，点C的坐标为(0 3)，点A的坐标为( 10) ， 4345.ABOBOCOBC， 22 333 2BC 要使BODBAC或B
12、DOBAC， 已有BB ，则只需 BDBO BCBA ， O y C l x B A 1x y x B E A O C D 1x l 或. BOBD BCBA 成立 若是，则有 3 3 29 2 44 BO BC BD BA 而45OBCBEDE， 在RtBDE中，由勾股定理，得 2 22229 2 2 4 BEDEBEBD 解得 9 4 BEDE（负值舍去） 93 3 44 OEOBBE 点D的坐标为 3 9 4 4 ， 将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得3k 满足条件的直线l的函数表达式为3yx 或求出直线AC的函数表达式为33yx，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为 3yx此时
13、易知BODBAC，再求出直线BC的函数表达式为3yx 联立 33yxyx ，求得点D的坐标为 3 9 4 4 ， 若是，则有 3 4 2 2 3 2 BO BA BD BC 而45OBCBEDE， 在RtBDE中，由勾股定理，得 2222 2 2(2 2)BEDEBEBD 解得 2BEDE（负值舍去） 3 21OEOBBE 点D的坐标为(12)， 将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得2k 满足条件的直线l的函数表达式为2yx 存在直线:3l yx或2yx与线段BC交于点D（不与点BC，重合） ，使得以 BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似，且点D的坐标分别为 3 9 4 4 ，或(12)
14、， （3）设过点(0 3)(10)CE，的直线3(0)ykxk与该二次函数的图象交于点P 将点(10)E ，的坐标代入3ykx中，求得3k 此直线的函数表达式为33yx 设点P的坐标为(33)xx，并代入 2 23yxx ，得 2 50xx 解得 12 50xx，（不合题意，舍去） 512xy ， 点P的坐标为(512)， 此时，锐角PCOACO 又二次函数的对称轴为1x ， 点C关于对称轴对称的点 C 的坐标为(2 3)， 当5 p x 时，锐角PCOACO； 当5 p x 时，锐角PCOACO； 当25 p x时，锐角PCOACO 例 5 、如图所示，已知抛物线 2 1yx与x轴交于 A、
15、B 两点，与y轴交于点 C （1）求 A、B、C 三点的坐标 （2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积 （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由 x B E A O C 1x P C o C B A x P y 【答案】解：（1）令0y ，得 2 10x 解得1x 令0x，得1y A( 1,0) B(1,0) C(0, 1) （2）OA=OB=OC=1 BAC=ACO=BCO=45 APCB， PAB=45 过点 P 作 PEx轴于
16、 E，则APE 为等腰直角三角形 令 OE=a，则 PE=1a P( ,1)a a 点 P 在抛物线 2 1yx上 2 11aa 解得 1 2a ， 2 1a （不合题意，舍去） PE=3 四边形 ACBP 的面积S= 1 2 ABOC+ 1 2 ABPE= 11 2 12 34 22 (3) 假设存在 PAB=BAC =45 PAAC MGx轴于点 G， MGA=PAC =90 在 RtAOC 中，OA=OC=1 AC=2 在 RtPAE 中，AE=PE=3 AP= 3 2 设 M 点的横坐标为m，则 M 2 ( ,1)m m 点 M 在y轴左侧时，则1m () 当AMG PCA 时，有 A
17、G PA = MG CA AG=1m，MG= 2 1m 即 2 11 3 22 mm G M 图 2 C B y P A o x 图 1 C P B y A o x 解得 1 1m （舍去） 2 2 3 m （舍去） () 当MAG PCA 时有 AG CA = MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得：1m（舍去） 2 2m M( 2,3) 点 M 在y轴右侧时，则1m () 当AMG PCA 时有 AG PA = MG CA AG=1m，MG= 2 1m 2 11 3 22 mm 解得 1 1m （舍去） 2 4 3 m M 4 7 ( , ) 3 9 () 当MAGPCA 时有 A
18、G CA = MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得： 1 1m （舍去） 2 4m M(4,15) 存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似 M 点的坐标为( 2,3)， 4 7 ( , ) 3 9 ，(4,15) 例 6、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，90ACB，点A C， 的坐标分别为( 3 0)A ，(10)C ， 3 tan 4 BAC （1）求过点A B，的直线的函数表达式；点( 3 0)A ，(10)C ，B(13)， 39 44 yx （2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等） ，并求点 D的坐标；
19、 （3） 在 （2） 的条件下， 如PQ，分别是AB和AD上的动点， 连接PQ， 设APDQm， 问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在， G M 图 3 C B y P A o x 请说明理由 【答案】解： （1）点( 3 0)A ，(10)C ， 4AC， 3 tan43 4 BCBACAC，B点坐标为(13)， 设过点A B，的直线的函数表达式为ykxb， 由 0( 3) 3 kb kb 得 3 4 k ， 9 4 b 直线AB的函数表达式为 39 44 yx （2）如图 1，过点B作BDAB，交x轴于点D， 在RtABC和RtADB中， BACDAB RtRtABCADB， D点为所求又 4 tantan 3 ADBABC， 49 tan3 34 CDBCADB 13 4 ODOCCD， 13 0 4 D ， （3）这样的m存在 在RtABC中，由勾股定理得5AB 如图 1，当PQBD时，APQABD 则 13 3 4 13 5 3 4 m m ，解得 25 9 m 如图 2，当PQAD时，APQADB 则 13 3 4 13 5 3 4 m m ，解得 125 36 m A C O B x y A B C D Q O y x 图 1 P A B C D Q O y x 图 2 P
