1、 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1设集合 A=x|1x3，B=x|20，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为n C若 mn0，则 C 是
2、两条直线 10下图是函数 y= sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)= A sin( 3 x） B sin(2 ) 3 x C cos(2 6 x） D 5 cos(2 ) 6 x 11已知 a0，b0，且 a+b=1，则 A 22 1 2 ab B 1 2 2 a b C 22 loglog2ab D2ab 12 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念 . 设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 的 取 值 为1,2,n， 且 1 ()0 (1, 2 ,) ,1 n ii i P Xipinp ，定义 X 的信息熵 2 1 ()log n ii i H Xpp .
3、 A若 n=1，则 H(X)=0 B若 n=2，则 H(X)随着 1 p的增大而增大 C若 1 (1,2, ) i pin n ，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,m，且 21 ()(1,2,) jmj P Yjppjm ，则 H(X)H(Y) 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13斜率为3的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则AB=_ 14将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_ 15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所
4、示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆 心， A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点， B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点， 四边形 DEFG 为矩形， BCDG， 垂足为 C，tanODC= 3 5 ，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm， 圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2 16 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2， BAD=60 以 1 D为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1 的交线长为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分
5、） 在3ac ，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角 形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB， 6 C ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分） 已知公比大于1的等比数列 n a 满足 243 20,8aaa （1）求 n a 的通项公式； （2）记 m b为 n a 在区间 * (0,()m mN 中的项的个数，求数列 m b 的前100项和 100 S 19 （12 分） 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测
6、部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 PM2.5和 2 SO浓度（单位： 3 g/m） ，得下表： 2 SO PM2.5 0,50 (50,150 (150,475 0,35 32 18 4 (35,75 6 8 12 (75,115 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且 2 SO浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22列联表： 2 SO PM2.5 0,150 (150,475 0,75 (75,115 （3） 根据 （2） 中的列联表， 判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与 2 SO浓度有关？
7、附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20（12分） 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l （1）证明：l平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值 21（12分） 已知函数 1 ( )elnln x f xaxa （1）当ea时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）1，求a的取值范围 22（1
8、2分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点A（2，1） （1）求C的方程： （2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值 参考答案 一、选择题 1C 2D 3C 4B 5C 6B 7A 8D 二、选择题 9ACD 10BC 11ABD 12AC 三、填空题 13 16 3 14 2 32nn 15 5 4 2 16 2 2 四、解答题 17解： 方案一：方案一：选条件 由 6 C 和余弦定理得 222 3 22 abc ab 由sin3sinAB及正弦定理得3ab 于是 222 2 33 22 3 bb
9、c b ，由此可得bc 由3ac ，解得3,1abc 因此，选条件时问题中的三角形存在，此时1c 方案方案二二：选条件 由 6 C 和余弦定理得 222 3 22 abc ab 由sin3sinAB及正弦定理得3ab 于是 222 2 33 22 3 bbc b ，由此可得bc， 6 BC ， 2 3 A 由sin3cA，所以2 3,6cba 因此，选条件时问题中的三角形存在，此时2 3c 方案方案三三：选条件 由 6 C 和余弦定理得 222 3 22 abc ab 由sin3sinAB及正弦定理得3ab 于是 222 2 33 22 3 bbc b ，由此可得bc 由3cb，与bc矛盾 因
10、此，选条件时问题中的三角形不存在 18解： （1）设 n a的公比为q由题设得 3 11 20aqaq， 2 1 8aq 解得 1 2 q （舍去） ，2q 由题设得 1 2a 所以 n a的通项公式为2n n a （2）由题设及（1）知 1 0b ，且当 1 22 nn m 时， m bn 所以 10012345673233636465100 ()()()()Sbbbbbbbbbbbbb 2345 0 1 22 23 24 25 26 (10063) 480 19解： （1）根据抽查数据，该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 2 SO浓度不超过 150 的天数为 321
11、86864,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75， 且 2 SO浓度不超过 150 的概率的估计值 为 64 0.64 100 （2）根据抽查数据，可得22列联表： 2 SO PM2.5 0,150 (150,475 0,75 64 16 (75,115 10 10 （3）根据（2）的列联表得 2 2 100 (64 10 16 10) 7.484 8020 7426 K 由于7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与 2 SO浓度有关 20解： （1）因为PD 底面ABCD，所以PDAD 又底面ABCD为正方形，所以ADDC，因此AD 底面PDC
12、因为ADBC，AD 平面PBC，所以AD平面PBC 由已知得lAD因此l 平面PDC （2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 则 (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (0,0,1)DCBP ，(0,1,0)DC ，(1,1, 1)PB 由（1）可设 ( ,0,1)Q a ，则( ,0,1)DQa 设 ( , , )x y zn 是平面QCD的法向量，则 0, 0, DQ DC n n 即 0, 0. axz y 可取 ( 1,0, )a n 所以 2 1 cos, | | 3 1 PBa PB PB a n n n 设PB与平面Q
13、CD所成角为，则 2 2 3|1|32 sin1 331 1 aa a a 因为 2 326 1 313 a a ，当且仅当1a 时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值 为 6 3 21解： ( )f x的定义域为(0,)， 1 1 ( )exfxa x （1）当 ea 时，( )eln1 x f xx， (1)e1 f ， 曲线 ( )yf x 在点(1, (1) f 处的切线方程为 (e1)(e 1)(1)yx ，即 (e1)2yx 直线 (e1)2yx 在x轴，y轴上的截距分别为 2 e1 ，2 因此所求三角形的面积为 2 e1 （2）当01a时， (1)ln1faa 当
14、1a 时， 1 ( )eln x f xx ， 1 1 ( )exfx x 当 (0,1)x 时， ( )0fx ；当 (1,)x时，( )0fx 所以当1x 时， ( )f x取得最小值，最小值为(1)1f ，从而 ( )1f x 当1a 时， 11 ( )elnlneln1 xx f xaxax 综上，a的取值范围是1, ) 22解： （1）由题设得 22 41 1 ab ， 22 2 1 2 ab a ，解得 2 6a ， 2 3b 所以C的方程为 22 1 63 xy （2）设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y kxm ，
15、代入 22 1 63 xy 得 222 (1 2)4260kxkmxm 于是 2 1212 22 426 , 1212 kmm xxx x kk 由AMAN知0AM AN，故 1212 (2)(2)(1)(1)0xxyy ， 可得 22 1 212 (1)(2)()(1)40kx xkmkxxm 将代入上式可得 2 22 22 264 (1)(2)(1)40 1212 mkm kkmkm kk 整理得(2 31)(21)0kmkm 因为 (2,1)A 不在直线MN上，所以210km ，故2310km ，1k 于是MN的方程为 21 ()(1) 33 yk xk. 所以直线MN过点 21 ( ,) 33 P. 若直线MN与x轴垂直，可得 11 (,)N xy. 由0AM AN得 1111 (2)(2)(1)(1)0xxyy. 又 22 11 1 63 xy ，可得 2 11 3840xx.解得 1 2x （舍去） ， 1 2 3 x . 此时直线MN过点 21 ( ,) 33 P. 令Q为AP的中点，即 4 1 ( , ) 3 3 Q. 若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故 12 2 | 23 DQAP. 若D与P重合，则 1 | 2 DQAP. 综上，存在点 4 1 ( , ) 3 3 Q，使得|DQ为定值.
