1、椭圆的几何性质(1)高二年级 数学问题1 已知椭圆 的方程为 ,根据这个方程完成下列任务:(1)观察方程中 与 是否有取值范围,由此指出椭圆 在平面直角坐标系中的位置特征;(2)指出椭圆 是否关于 轴、轴、原点对称;(3)指出椭圆 与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.C2214xyxyCCxyxyC问题1 已知椭圆 的方程为 ,根据这个方程完成下列任务:(1)观察方程中 与 是否有取值范围,由此指出椭圆 在平面直角坐标系中的位置特征;C2214xyxyCxy2212xy解(1)因为实数的平方是一个非负数,所以在 中,必有 ,即 .同理可得,.2214xy11y 22x 214x解(1)因
2、为实数的平方是一个非负数,所以在 中,必有 ,即 .同理可得,.因此,椭圆 位于直线 ,所围成的矩形内.2214xy11y 2x 22x 1y C214x2x 1y 问题1 已知椭圆 的方程为 ,根据这个方程完成下列任务:(2)指出椭圆 是否关于 轴、轴、原点对称;这些几何特征如何从方程角度来进行判别呢?C2214xyCyx解(2)因为如果 是方程 的一组解,则不难看出,、都是方程的解,这说明椭圆 关于 轴,轴,坐标原点对称.2214xyyx(,)x y(,)x y(,)xy(,)xy2214xy问题1 已知椭圆 的方程为 ,根据这个方程完成下列任务:(3)指出椭圆 与坐标轴是否有交点,如果有
3、,求出交点坐标.C2214xyC解(3)在方程 中,令 ,得 或 ,可知椭圆 与 轴有两个交点,坐标分别为 ,;令 ,得 或 ,可知椭圆 与 轴有两个交点,坐标分别为 ,.(2,0)y0y C2x x2214xy2x(2,0)0 x 1y 1y C(0,1)(0,1)问题1小结通过上面的研究,我们首先得到了椭圆 的横、纵坐标的取值范围,之后又清楚了椭圆的对称性,再之后我们得到了椭圆与坐标轴的四个交点的坐标,这样我们就可以轻松的绘制椭圆了.2214xy问题2 一般地,如果椭圆 的标准方程是 ,我们可以根据方程得到椭圆什么样的几何性质呢?C22221(0)xyabab椭圆的几何性质范围由方程可知
4、,且 ,因此 且 .这说明,椭圆 位于直线 ,所围成的矩形内.221xabyb xa axa xyb Cxayb221yb椭圆的几何性质对称性因为如果 是方程的一组解,则 、都是方程的解,说明椭圆 关于 轴、轴、坐标原点对称.因此,轴、轴是椭圆 的对称轴,坐标原点是椭圆 的对称中心.椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.yx(,)x y(,)x y(,)xy(,)xyCxyCC椭圆的几何性质顶点在方程中,令 ,得 或 ,可知椭圆 与 轴有两个交点,记作 ,;令 ,得 或 ,可知椭圆 与 轴有两个交点,记作 ,.1(,0)Aay0y Cxa xxa2(,0)A a0 x yb ybC1(0,)Bb2(
5、0,)Bb椭圆的几何性质顶点因此,椭圆 与它的对称轴共有4个交点,即 ,和 ,这四个点都称为椭圆的顶点.我们可以发现,而且 ,所以线段 称为椭圆的长轴,线段 称为椭圆的短轴.12B B12A A1A0abC2A1B2B122A Aa122B Bb椭圆的几何性质顶点,分别是椭圆半长轴长和半短轴长,如果设椭圆的焦距为 ,则 是椭圆的半焦距.由于 ,可知长度分别为,的三条线段构成一个直角三角形,且长度为 的线段是斜边.222abca ba2ccb ca椭圆的几何性质顶点因此,.12OAOAa12OBOBb12OFOFc11122122FBFBF BF Ba椭圆的几何性质离心率 一般地,椭圆的半焦距与
6、半长轴长之比称为椭圆的离心率.cea问题3(1)根据椭圆离心率的定义,判断椭圆离心率的取值范围;(2)猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系,并尝试证明.问题3(1)根据椭圆离心率的定义,判断椭圆离心率的取值范围;离心率是半焦距与半长轴长之比,我们要想知道离心率的取值范围就需要研究 和 之间的关系.我们知道根据椭圆的定义 ,而 ,由此,我们是不是可以得出椭圆离心率的取值范围了呢?ac122aFF122FFc问题3(1)根据椭圆离心率的定义,判断椭圆离心率的取值范围;解:(1)因为,所以,即椭圆的离心率 .0ac01ca(0,1)e问题3(2)猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系,并尝
7、试证明.问题3(2)猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系,并尝试证明.解:(2)因为,这说明 越趋近于,则 的值越小,因此椭圆越扁;反之,越趋近于,则 的值越大,这时椭圆就越接近于圆.2222221bacaceaaae1bae0ba当固定 不变时,椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看出来.即 越趋近于,椭圆越扁;越趋近于,椭圆就越接近于圆.ae1e0问题4 如果椭圆的标准方程是 ,那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中,哪些与焦点在 轴上的椭圆是有区别的?22221(0)yxababx解:方程表示的椭圆,焦点坐标为 ,椭圆上的点的坐标的取值范围是 且 ;长轴的两个端点是 ,;
8、短轴的两个端点是 ,.除了这些以外,对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在 轴上的椭圆是一致的.(0,)c(0,)caya bxb 1(0,)Aa2(0,)Aa1(,0)Bb2(,0)B bx焦点在 轴上椭圆的离心率研究固定 不变,椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中得出.依然是 越趋近于,椭圆越扁;越趋近于,椭圆就越接近于圆.这与焦点在 轴上椭圆的特征一致.ae1e0 xy课堂小结椭圆的几何性质标准方程图形 22221(0)xyabab22221(0)yxabab课堂小结椭圆的几何性质椭圆的标准方程焦点所在坐标轴 轴 轴焦点坐标,范围且且对称性关于 轴、轴、坐标原点对称.xy
9、1(,0)Fc2(,0)F c1(0,)Fc2(0,)Fc22221(0)xyabab22221(0)yxababbyb axa aya bxb xy标准方程顶点 离心率1(0,)Aa2(0,)Aa1(,0)Bb2(,0)B b1(,0)Aa2(,0)A a1(0,)Bb2(0,)Bb课堂小结椭圆的几何性质22221(0)xyabab22221(0)yxabab,(0,1)ceea 越趋近于 ,椭圆越接近圆;越趋近于 ,椭圆越扁.e1e0课堂小结椭圆的几何性质标准方程焦距轴长轴:,短轴:.轴长22221(0)xyabab22221(0)yxabab12B B12A A122FFc,半焦距 .c长轴长:;半长轴长:;短轴长:;半短轴长:.122A Aa122B Bbab通过梳理我们可以发现,椭圆的几何性质其实可以分为两类:一类是与坐标系无关的性质,如对称性、离心率、焦距、轴和轴长;另外一类是与坐标系有关的性质,如焦点坐标、范围、顶点.与坐标系有关的性质,只要将方程 的有关性质中的横坐标 和纵坐标 交换,就可以得出 的相关性质了.xy22221(0)xyabab22221yxab(0)ab布置作业 人教社B版课本P134练习A布置作业 人教社B版课本P134练习B谢谢