1、2.1 一元二次方程知识回顾知识回顾5x-15=0这是一个什么样的方程？只含有一个未知数（只含有一个未知数（元元），并且未知数的），并且未知数的次数是次数是1的整式方程叫的整式方程叫一元一次方程一元一次方程问题1 要设计一座高要设计一座高2m2m的人体雕像的人体雕像,使它的上部使它的上部(腰腰以上以上)与下部与下部(腰以下腰以下)的高度比的高度比,等于下部与全部等于下部与全部的高度比的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米求雕像的下部应设计为高多少米?A AC CB B分析分析:2BCBCAC即即ACBC22设雕像下部高设雕像下部高xm,m,于是得方程于是得方程)2(22xx0422 xxx2-
2、x 有一块矩形铁皮有一块矩形铁皮,长长100100,宽宽5050,在它的在它的四角各切去一个正方形四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折然后将四周突出部分折起起,就能制作一个无盖方盒就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的如果要制作的方盒的底面积为底面积为36003600平方厘米平方厘米,那么铁皮各角应切去多那么铁皮各角应切去多大的正方形大的正方形?1001005050 x x36003600分析分析:设切去的正方形的边长为设切去的正方形的边长为xcm,xcm,则盒底的长则盒底的长为为 ,宽宽为为 .3600)250)(2100(xx(100-2x)cm(50-2x)cm根据方盒的底面积为
3、根据方盒的底面积为3600cm3600cm2 2,得得0350752xx即即问题2 要组织一次排球邀请赛要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都参赛的每两队之间都要比赛一场要比赛一场,根据场地和时间等条件根据场地和时间等条件,赛程计划安赛程计划安排排7 7天天,每天安排每天安排4 4场比赛场比赛,比赛组织者应邀请多少比赛组织者应邀请多少个队参加比赛个队参加比赛?分析分析:全部比赛共全部比赛共 4 47=287=28场场设应邀请设应邀请x x个队参赛个队参赛,每个队要与其他每个队要与其他 个队各赛个队各赛1 1场场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛队的比赛是同
4、一场比赛是同一场比赛,所以全部比赛共所以全部比赛共 场场.28)1(21xx562 xx即即(x-1)(x-1)问题30422 xx0350752xx562 xx 这三个方程都不是一元一次方程这三个方程都不是一元一次方程.那么这那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？什么共同特点呢？特点特点:都是整式方程都是整式方程;只含一个未知数只含一个未知数;未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.2.归纳定义等号的两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并等号的两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的且未知数的最高次数最高次数
5、是是2 2（二（二次）的方程，叫做次）的方程，叫做一元二一元二次方程次方程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程一元二次方程要素要素方程两边都是整式方程两边都是整式只含有一个未知数只含有一个未知数未知数的最高次数是未知数的最高次数是2次次一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一般地一般地,任何一个关于任何一个关于x的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以化为化为,ax2+bx+c=0的形式的形式,我们把我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，为常数，a0）称为一元二次方程的）称为一元二次方程的一般形式一般形式.为什么要限制为什么要限制a0a0，b,cb,c可以可以为零吗
6、？为零吗？当a=0时bx+c=0当a0，b=0时ax2+c=0当a0，c=0时ax2+bx=0当a0，b=0,c=0时ax2=0一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中中ax2说明：说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须要找到一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。先将方程化为一般形式。bxc二次项二次项一次项一次项常数项常数项二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数ab?例1判断下列方程是否为一元二次方程？判断下列方程是否为一元二次方程？（1）（2）（3）（4）42x2112xxx22)2(4xx3523yx例题讲解例题讲解同步练习同步练习1下
7、列方程那些是一元二次方程？5x-2=x+1 2.7x2+6=2x(3x+1)3.4.6x2=x5.2x2=5y 1.6.-x2=07212x同步练习同步练习2一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b (a0ax=b (a0）axax2 2+bx+c=0 (a0+bx+c=0 (a0）整式方程，只含有一个未知数整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是未知数最高次数是1 1未知数最高次数是未知数最高次数是2 2例题讲解例题讲解例题讲解 例2 将下列方程化为一般将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的项、一次项和常数项及它们的系数
8、：系数：二次项、二次项、二次项系二次项系数、一次数、一次项、一次项、一次项系数、项系数、常数项都常数项都是包括符是包括符号的号的 x3 2-8 -10=0 x解二次项系数是二次项系数是3 3、一次项系数、一次项系数是是-8-8和常数项是和常数项是-10-10 )2(5)1(3xxx同步练习同步练习3 练习：练习：将下列方程化为一般形式，将下列方程化为一般形式，并分并分别指出它们的二次项系数、别指出它们的二次项系数、一次项系数一次项系数和常数项：和常数项：2)2()43)(3(xxx 2）（）（x-2）(x+3)=8 3）22)2(4xx1 1）同步练习同步练习4方程（方程（2a42a4）x x
9、2 2 2bx+a=0,2bx+a=0,在什么条件在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？下此方程为一元一次方程？解：解：当当a2a2时是一元二次方程；当时是一元二次方程；当a a2 2，b0b0时是一元一次方程；时是一元一次方程；课堂小结 在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？1.一元二次方程的定义一元二次方程的定义2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a0）3.一元二次方程中的为二次项一元二次方程中的为二次项ax2，a为二次项系数；为二次项系数；一次项为一次项为bx，
10、一次项系数为一次项系数为b；常数项为；常数项为c。很久很久以前很久很久以前,有一个国家的田地都要求是有一个国家的田地都要求是正方形正方形的的,有一天这个国家的公主被妖怪抓到了有一天这个国家的公主被妖怪抓到了森林里森林里,两个农夫到森林打猎时打死了妖怪救出两个农夫到森林打猎时打死了妖怪救出 了公主。国王要赏赐他们了公主。国王要赏赐他们,这两个农夫原来各有这两个农夫原来各有 一块边长为一块边长为a米的地米的地,第一个农夫就对国王说：第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为您可不可以再给我一块边长为b米的地呢？米的地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：国王答应了他，国王问第二个农夫：“你
11、是不是你是不是要跟他一样啊要跟他一样啊?”第二个农夫说：第二个农夫说：“不，我只要您不，我只要您把我原来的那块地的边长增加把我原来的那块地的边长增加b米就好了。米就好了。国王想不通了，他说：国王想不通了，他说：“你们的要求不是你们的要求不是一样的吗？一样的吗？”同学们，你觉得两个农夫的要求同学们，你觉得两个农夫的要求是一样的吗？是一样的吗？b 农夫农夫一一a图一baab图二农夫农夫二二a2+b2(a+b)2你能用纸片拼出两个农夫土地的总面积吗？你能用纸片拼出两个农夫土地的总面积吗？你能得到什么结论？你能得到什么结论？ab 用不同的形式表示第二个农夫用不同的形式表示第二个农夫 得到赏赐后田地的总
12、面积得到赏赐后田地的总面积,并进行并进行比较比较,你发现了什么你发现了什么?ba(a+b)2=+a22abb2+a2ab+(a+b)2=ab+b2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22abb2你能用自己的话叙述你能用自己的话叙述一下上面的公式吗？一下上面的公式吗？两数和的平方两数和的平方,等于它们等于它们的平方和加上它们乘积的的平方和加上它们乘积的2 2倍倍.左边左边是两项的和的平方是两项的和的平方,即（首即（首+尾）尾）2右边右边是三项，第一项是首的平方，第二项是是三项，第一项是首的平方，第二项是首尾乘积的首尾乘积的2倍，第三项是尾的平方倍，第三项是尾的平方例例1.计算计算:(x+2y)2
13、解解:(x+2y)2=(a+b)2=a2+2 a b+b2=x2+4xy+4y2x2+2x2y+(2y)2 (a+1)2=()2+2()()+()2 (-4x+5y)2 =()2+2()()+()2 =(2)(2a+3b)2=()2+2()()+()2 利用和的完全平方公式计算利用和的完全平方公式计算:=提问提问:（ab）2等于什么？等于什么？是否可以写成是否可以写成a（-b）2?你能继续做下去吗？你能继续做下去吗？完全平方公式完全平方公式首平方，尾平方，首尾两倍中间放首平方，尾平方，首尾两倍中间放 公式变形为公式变形为（首（首尾）尾）2首首22首首尾尾尾尾2 例例2.计算计算:(x-2y)2
14、(x-2y)2=(a-b)2=a2-2 a b+b2x2-2 x 2y+(2y)2 =x2-4xy+4y2 (r-h)2=()2 2()()+()2 (-2x-3y)2 =()2 2()()+()2 =(2)(m-2)2=()2 2()()+()2 利用两数差的完全平方公式计算利用两数差的完全平方公式计算:=12 例例3 用完全平方公式计算用完全平方公式计算：（1）(x+2y)2（2）(2a-5)2（3）(-2s+t)2（4）(-3x-4y)2=X2+4xy+4y2=4a2-20a+25=4s2-4st+t2=9x2+24xy+16y2思考思考：（1）完全平方展开有几项？）完全平方展开有几项？
15、（2）每一项的符号特征？）每一项的符号特征？(7y)2 比较下列计算结果，你能得到什么结论比较下列计算结果，你能得到什么结论？(2s-t)2(-2x-3y)2(a-b)2(-a+b)2互为相反数的两个数的完全平方相等互为相反数的两个数的完全平方相等(2)(-2s+t)2(1)(y7)2 (3)(2x+3y)2(-a-b)2(a+b)2y2-14y+49y2-14y+494s2-4st+t24s2-4st+t24x2+12xy+9y24x2+12xy+9y2 比较平方差公式和完全平方公式：比较平方差公式和完全平方公式：(a-b)(a+b)=a2-b2(a+b)2=a2+2 a b+b2(a-b)
16、2=a2-2 a b+b2公式公式相乘多项式相乘多项式的特征的特征展开式项数展开式项数平方差公式平方差公式一项相同，另一项相反2项完全平方公式完全平方公式两项都相同3项练一练练一练选择适当的公式计算：选择适当的公式计算：(1)（2x-1)(-1+2x);(2)(-2x-y)(2x-y)(3)(-a+5)(-a-5);(4)(ab-1)(-ab+1)例例4：一花农有一花农有2块正方形茶花苗圃，边块正方形茶花苗圃，边长分别为长分别为30.1m，29.5m。现将这。现将这2块苗圃的块苗圃的边长都增加边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增，求各苗圃的面积分别增加了多少加了多少m。解解：设原正方形设原
17、正方形苗圃的边长为苗圃的边长为am,边长都增边长都增1.5m，新正方形的边长为（新正方形的边长为（a+1.5）m，（a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25当当a=30.1时，时，3a+2.25=330.1+2.25=92.55当当a=29.5时，时，3a+2.25=329.5+2.25=90.75答答：苗圃的面积分别增加了苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2 完全平方公式完全平方公式2222bababa2222bababa口诀：口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放首平方，尾平方，首尾两倍中间放 我们把完全平方和公式与完全平方差我们把完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）2222)(bababa发散练习发散练习,勇于创新勇于创新1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是()(A)11 (B)9 (C)-11 (D)-92.已知(a+b)2=11,ab=1,求(a-b)2的值.B1、计算：、计算：22)21)(1(a)1)(1)(2(xx2)(3(cba2、若、若 ，则，则 =。31xx221xx aabb(a-b)2)(ba2aab222aabbaababab2bbbb两数差的完全平方公式：的图形理解的图形理解
