1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的等腰三角形的性质定理性质定理1:w你能利用已有的公理和定理证明吗?ACB “等腰三角形的两个底角相等 也可以说成“在同一个三角形 中，等边对等角等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等两个底角相等：ABC中中，AB=AC.求证：求证：B=C.ACBD证明：作证明：作 BAC的平分线的平分线AD交交BC于于D BAD=CAD在在 ABD和和 ACD中中,AB=AC(已知已知)BAD=CAD(已证已证)AD=AD（公共边）（公共边）ABD ACD（SAS）B=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）练习练习1.如图，在如图，在ABC
2、中，中，AB=AC，A=50，求求 B，C的度数。的度数。ABC AB=AC B=C等腰等腰三角形的两个底角三角形的两个底角相等相等 A+B+C=180，A=50 B=C=65 B+C=130等边三角形等边三角形等腰三角形等腰三角形底边与腰相等底边与腰相等三条边都相等的三角形叫做三条边都相等的三角形叫做等边三角等边三角形形 正三角形正三角形等边三角形是特殊的等腰三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。求等边三角形的三个内角的度数求等边三角形的三个内角的度数.1 如图，在ABC中，ABAC，ACD100，那么B_度.802.如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，外角外角ACD=100，则则A=
3、度。度。100AB C D3.等腰三角形的一个底角为等腰三角形的一个底角为30，求它的顶角的度数。求它的顶角的度数。4.等腰三角形的顶角是底角的等腰三角形的顶角是底角的2倍，求倍，求各个内角的度数。各个内角的度数。2012045，45，90等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为7070,它的顶角为它的顶角为_._.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为7070,它的另外两个角为它的另外两个角为 _._.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为110110,它的另外两个角为它的另外两个角为_._.顶角顶角+2+2底角底角=180=180 顶角顶角=180=1802 2底角底角 底角底角=180180
4、顶角顶角2 20 0顶角顶角1801800 0底角底角9090结论结论:在等腰三角形中在等腰三角形中,40 35，35 70,40或或55,55 例例2 求证：等腰三角形两底角的平分线相等求证：等腰三角形两底角的平分线相等.：如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BDBD和和CECE是是ABCABC的两条角平分线的两条角平分线.求证：求证：BD=CE.BD=CE.等腰三角形等腰三角形两腰上的中线两腰上的中线相等相等.等腰三角形等腰三角形两腰上的高两腰上的高相等相等.等腰三角形等腰三角形两底角的角两底角的角平分线相等平分线相等.2 2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角、等腰
5、三角形一腰上的高与另一腰的夹角为为400400，那么顶角为，那么顶角为 。1 1、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为为400400，那么顶角为，那么顶角为 。提高题：提高题：80805050或或1301302：如图，在ABC中，ABAC，P为BC的中点，D，E 分别为AB，AC 上的点，且ADAE.求证：PDPE.P58，课内练习：，课内练习：2.提示提示:由由AB=AC,可得可得B=C(等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等).由此可证明由此可证明BPD CPE,PD=PE.B=50,A=80 本章要点聚焦本章要点聚焦一、四边形的概念一、四边形的概
6、念1.1.定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形首尾顺次相接组成的图形.2.2.四边形的内角和与外角和均为四边形的内角和与外角和均为360360.3.3.四边形具有不稳定性四边形具有不稳定性.4.4.多边形内角和定理：多边形内角和定理：n n边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)(n-2)1801805.5.多边形外角和定理：多边形外角和定理：n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360.6.6.多边形的对角线多边形的对角线.二二.重要知识规律总结重要知识规律总结:条条(n3)(n3)2 23 3)n n(n
7、 n1.1.多边形的对角线多边形的对角线.n n边形的内角和为：边形的内角和为：n n2)2)180180(n3).(n3).2.2.多边形的内角和公式多边形的内角和公式.3.3.平行四边形的性质有：平行四边形的性质有：平行四边形的平行四边形的对边相等对边相等平行四边形的平行四边形的对边平行对边平行平行四边形的平行四边形的对角相等对角相等平行四边形的平行四边形的对角线互相平分对角线互相平分平行四边形平行四边形邻角互补邻角互补中心对称中心对称两个推论两个推论:定理定理2 2：两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.定义定义:两组对边分别平行两组对边分别平行的四边
8、形是的四边形是平行四边形平行四边形.定理定理1:1:一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.4.4.平行四边形的判定平行四边形的判定:平行四边形平行四边形定理定理4 4：两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.推论推论1:有有一组对边平行且有一组对角相等一组对边平行且有一组对角相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.三角形的中位线平行于第三边，并且等三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半于第三边的一半.5.5.三角形的中位线三角形的中位线6.6.逆命题与逆定理逆命题与逆定理.重要逆定理重要逆定理:如果三角形
9、两边的平方和等于第三边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形定理定理1:1:到一条线段的两个端点的距离相等的点到一条线段的两个端点的距离相等的点,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上.定理定理2:2:如果三角形一边上的中线等于这边一半如果三角形一边上的中线等于这边一半,那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形定理定理3:3:一个图形绕一点旋转一个图形绕一点旋转180180度后与原度后与原来图形重合来图形重合.中心对称图形中心对称图形:关于一点成关于一点成中心对称中心对称:一个图形绕一点旋转一个图形绕一点旋转18
10、0度后与度后与另一图形互相重合另一图形互相重合.性质性质:对称中心平分连接两个对称点的线段对称中心平分连接两个对称点的线段直角坐标系中直角坐标系中,点点(x,yx,y)关于原点对称的点是关于原点对称的点是(-x,-y-x,-y)3 3、如图，在锐角、如图，在锐角ABCABC中，中，CDCD、BEBE分分别是别是ABAB、ACAC边上的高，且边上的高，且CDCD、BEBE交于一点交于一点P P，假设，假设A=50A=50，那么，那么BPCBPC的度数是的度数是 ()()4 4、一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的、一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的四分之一，这个多边形是正边形。
11、四分之一，这个多边形是正边形。B B1 1、在四边形中、在四边形中ABCDABCD，A=500A=500，B=900B=900，C=410C=410，那么那么D=D=；2 2、一个多边形的内角和等于、一个多边形的内角和等于10801080，这个多边形的边，这个多边形的边数是数是A A十十1791790 0根底练习根底练习5 5、下例不能判定四边形、下例不能判定四边形ABCDABCD是平行四边形的是是平行四边形的是 A A、AB=CD AD=BC BAB=CD AD=BC B、AB=CD ABCDAB=CD ABCD C C、AB=CD ADBC DAB=CD ADBC D、AB CD ADBC
12、AB CD ADBC6 6、如下图，在、如下图，在ABCABC中，中，D D、E E、F F分别为分别为ABAB、BCBC、CACA边边的中点，那么图中共有平行四边形的中点，那么图中共有平行四边形()()个个 个个 个个 个个 A D F EB C7 7、如图、如图 ABCDABCD的对角线的对角线BDBD上有两点上有两点E E、F F，要使四边形，要使四边形AECFAECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （填（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），并写出你的证明过程。并写出你的证明过程。C
13、CC CBE=DFBE=DF、BF=DEBF=DE，AEFCAEFC、AFECAFEC8 8、如图在、如图在 ABCDABCD中中CEABCEAB，E E为垂足，为垂足，若若A=125A=1250 0，那么，那么BCE=BCE=。A DE B C9 9、如图在、如图在 ABCABC中中,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,则则CD=CD=。D C E F A B A D B C1010、如图在、如图在 ABCDABCD中中,AD=5,AB=3,AE,AD=5,AB=3,AE平分平分 BADBAD交交BCBC于于点点E,E,则则BE=BE=，。A D
14、OB C1111、在、在 ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于相交于O O点，点，AC=10,BD=8AC=10,BD=8，则，则ADAD的取值范围是的取值范围是()()A.AD A.AD1 B.AD1 B.AD9 9 C.1 C.1ADAD9 D.AD9 D.AD0 035350 010103 32 2C C1212、判断题、判断题:1 1邻角互补的四边形是平行四边形邻角互补的四边形是平行四边形.2 2一组对边平行一组对边平行,另一组对边相等的四边形是另一组对边相等的四边形是平行四边形平行四边形.3 3一组对边平行一组对边平行,一组对角相等的四边形是一组对角相等的四边
15、形是平行四边形平行四边形.4 4对角线相等的四边形是平行四边形对角线相等的四边形是平行四边形.1313、某人到瓷砖商店去购置一种多边形形状的瓷砖，用、某人到瓷砖商店去购置一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板他购置的瓷砖形状不可以是来铺设无缝地板他购置的瓷砖形状不可以是 A A正三角形正三角形 B B正四边形正四边形 C C正八边形正八边形 D D正六边形正六边形 1414、平行四边形一边长为、平行四边形一边长为12cm12cm，那么它的两条，那么它的两条对角线的长度可能是对角线的长度可能是 A A8cm8cm和和14cm 14cm B B10cm10cm和和14cm 14cm C C18cm
16、18cm和和20cm 20cm D D10cm10cm和和34cm34cmC CC C1515、在平行四边形、在平行四边形ABCDABCD中中,AC=10,BD=8,AC=10,BD=8,那么那么ABAB的取值的取值范围是范围是()()A A、2AB18 B2AB18 B、1AB9 1AB2 DAB2 D、AB9AB91616、平行四边形一边长为、平行四边形一边长为 10,10,那么它的两条对角线可那么它的两条对角线可以是以是()()A A、6,8 B6,8 B、8,12 8,12 C C、8,14 D8,14 D、6,146,14B BC C 例题解析例题解析【例例1 1】如图，在如图，在
17、ABCDABCD中，中，O O是对角线是对角线ACAC的中点，过的中点，过O O点作直线点作直线EFEF分别交分别交BCBC、ADAD于于E E、F.F.(1)(1)求证：求证：BE=DF.BE=DF.(2)(2)若若ACAC、EFEF将将 ABCDABCD分成的四部分的面积相等，指分成的四部分的面积相等，指出出E E点的位置，并说明理由点的位置，并说明理由.【例【例2 2】如下图，如下图，ABCD ABCD的周长为的周长为30cm30cm，AEBCAEBC于于E E点，点，AFCDAFCD于于F F点，且点，且AEAF=23AEAF=23，C=120C=120，求，求S S ABCD.ABC
18、D.27 (cm2).3 C23，-2 C-23，2 【例例3 3】如图如图RtRtOABOAB的两条直角边都在坐标轴上，的两条直角边都在坐标轴上，AO=2AO=2，OBA=30OBA=300 0，求以，求以O O、A A、B B为其中三个顶点的为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点平行四边形的第四个顶点C C的坐标。的坐标。C23，2 A O B 【例【例4 4】如图平行四边形】如图平行四边形ABCDABCD的周长是的周长是1414，两条对角，两条对角线线ACAC：BD=2BD=2：3 3，ACAC与与BDBD交于交于O O，AOBAOB和和BOCBOC的周长和是的周长和是1717，那么那么
19、AC=AC=，BD=BD=。A D OB C【例【例5 5】如图在】如图在ABCABC中点中点D D、E E分别是分别是ABAB，ACAC边的中点，边的中点，假设把假设把ADEADE饶着点饶着点E E顺时针旋转顺时针旋转18001800得到得到CEFCEF。1 1请指出图中哪些线段与线段请指出图中哪些线段与线段CFCF相等；相等；2 2试判断四边形试判断四边形DBCFDBCF是怎样的四边形？证明你的结论。是怎样的四边形？证明你的结论。A AE EF FD DB BC C2 2、四边形、四边形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，那么，那么：的值可能是的值可能是 1 1、在一个四边形中，
20、、在一个四边形中，：，求这个四边形各内角的度数？：，求这个四边形各内角的度数？A A、：、：5 5：B B、：、：C C、：、：5 5：4 D4 D、：、：5 5：3 3、一个多边形、一个多边形,除了一个内角外除了一个内角外,其余内角和为其余内角和为12051205度度,那么这个内角是多少度那么这个内角是多少度,这是个几边形这是个几边形?D D4 4、如图、如图,在在ABCABC中中,AB=AC=5,D,AB=AC=5,D是是BCBC上的点上的点,DEAB,DEAB交交ACAC于点于点E,DFACE,DFAC交交ABAB于点于点F,F,那么四边形那么四边形AFDEAFDE的周长是的周长是()(
21、)B B5 5、已知已知：如图，在：如图，在ABCDABCD中，中，E E，F F是对角线是对角线ACAC上的两上的两点，且点，且AE=CFAE=CF，求证求证：四边形：四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形 6 6.已知已知：如图，在：如图，在ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ADAD，BCBC的中点的中点求证求证：MNBCMNBC，且，且MN=BCMN=BC127 7、已知如图在、已知如图在 ABCDABCD中中,过点过点O O做任意直线与一组做任意直线与一组对边分别交于点对边分别交于点E E和和F,F,求证：求证：OE=OFOE=OFB BD DC CA AO O
22、E EF FA AB BC CD DO O8 8、如图，、如图，ABCDABCD的周长为的周长为cm,Ocm,O是对角线是对角线ACAC和和BDBD的交点的交点（）若（）若ABCABC的周长是的周长是18cm,18cm,求求OCOC的长的长（）若（）若OABOAB的周长比的周长比OBCOBC的周长短的周长短cmcm，求，求ABAB的长的长4cm4cm3cm3cmE ED DA AC CB BF FO O变式：如图四边形变式：如图四边形ABCDABCD和四边形和四边形BFDEBFDE都是平行都是平行四边形四边形,求证：求证：AE=CFAE=CF9 9、如图在、如图在 ABCDABCD中中,E,E
23、、F F是对角线是对角线ACAC上的两点，且上的两点，且AE=CF,AE=CF,求证：求证：四边形四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形1010、:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,ADEADE和和BCFBCF都是等边三角形都是等边三角形.求证求证:BD:BD和和EFEF互相平分互相平分.ABCFDE1111、:如图如图,O,O是等边三角形是等边三角形ABCABC内任意一内任意一点点,ODBC,OEAC,OFAB,ODBC,OEAC,OFAB,点点D,E,FD,E,F分别在分别在AB,BC,ACAB,BC,AC上上.求证求证:OD+OE+OF=BC.:OD
24、+OE+OF=BC.A AF FO OE ED DB BC CM MN N1212、请说出、请说出“等腰三角形两腰上的高相等的等腰三角形两腰上的高相等的逆命题这个逆命题是真命题吗？请证明你的逆命题这个逆命题是真命题吗？请证明你的判断判断.作图应用作图应用3 3、如图，在、如图，在 ABCDABCD中，两条对角线相交于点中，两条对角线相交于点O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是AOAO、BOBO、COCO、DODO的中点，以图的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。A AD DC CB BE EF FG GH HO Ow我们知道我
25、们知道,三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点.这一点这一点 叫做三角形的叫做三角形的重心重心.w三角形的重心分每一条中线的比为三角形的重心分每一条中线的比为1212(重心到每边的中点距离重心到每边的中点距离重心重心到所对角的顶点的距离到所对角的顶点的距离).).w你能证明这个命题吗你能证明这个命题吗?w三角形的重心有一个重要的几何性质三角形的重心有一个重要的几何性质:ABCDEFG探索提高探索提高证明一：连结证明一：连结EFEF，利用三角形的中位线按理证明，利用三角形的中位线按理证明w:如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交于点且相
26、交于点G.G.w分析分析:要证明要证明GEGA=12GEGA=12,可以考虑折半法可以考虑折半法(如取如取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中点的中点N).N).w转化为证明转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.w求证求证:GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12.ABCDEFGM Nw从而借助于三角形的中位线从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明构造平行四边形来获得证明.证明二：证明二：w证明证明:取取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中
27、点的中点N,N,分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.wF,EF,E是是AC,BCAC,BC的中点的中点,w FEMN,FE=MN.FEMN,FE=MN.ABCDEFGM Nw四边形四边形FENMFENM是平行四边形是平行四边形.wMG=GE,NG=GF.MG=GE,NG=GF.21ABFE FEAB,MNAB,MNAB,.21ABMN wAM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w GEGA=GFGB=12.GEGA=GFGB=12.w同理同理,GD GC=1 2.wGEGA=GFGB=GDGC=12.GEGA=GFGB=GDGC=12.w:如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交于点且相交于点G.G.w求证求证:GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12.
