1、 绝密绝密本科目考试启用前本科目考试启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学数学 本试卷共本试卷共 5 页,页,150 分,考试时长分,考试时长 120分钟考试务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无分钟考试务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无 效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 第一部分(选择题第一部分(选择题 共共 40 分)分) 一、选择题一、选择题 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求分在每小题列出的四个选项中,选出符
2、合题目要求 的一项的一项 1.已知集合 1,0,1,2A , |03Bxx,则AB ( ) A. 1,0,1 B. 0,1 C. 1,1,2 D. 1,2 2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i z( ) A. 1 2i B. 2i C. 1 2i D. 2i 3.在 5 (2)x 的展开式中, 2 x的系数为( ) A. 5 B. 5 C. 10 D. 10 4.某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱的表面积为( ) A. 6 3 B. 6 2 3 C. 12 3 D. 12 2 3 5.已知半径为 1 的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )
3、 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6.已知函数( )21 x f xx,则不等式 ( )0f x 的解集是( ) A. ( 1,1) B. (, 1)(1,) C (0,1) D. (,0)(1,) 7.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为lP是抛物线上异于O的一点,过P作PQl于Q,则线段 FQ的垂直平分线( ) A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 8.在等差数列 n a中, 1 9a , 5 1a 记 12 (1,2,) nn Ta aa n,则数列 n T( ) A. 有最大项,有最小项 B. 有最大项,无最小项 C. 无最大项,有最小项
4、D. 无最大项,无最小项 9.已知,R ,则“存在kZ使得 ( 1)kk ”是“sin sin” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10.2020 年 3月 14 日是全球首个国际圆周率日( Day) 历史上,求圆周率的方法有多种,与中国传统 数学中的“割圆术”相似数学家阿尔 卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的 周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2的近似值按 照阿尔 卡西的方法,的近似值的表达式是( ) A. 3030 3sintann nn B.
5、 3030 6sintann nn C. 6060 3sintann nn D. 6060 6sintann nn 第二部分(非选择题第二部分(非选择题 共共 110 分)分) 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分. 11.函数 1 ( )ln 1 f xx x 的 定义域是_ 12.已知双曲线 22 :1 63 xy C,则 C 的右焦点的坐标为_;C的焦点到其渐近线的距离是 _ 13.已知正方形ABCD的边长为 2,点 P满足 1 () 2 APABAC,则|PD _; PB PD_ 14.若函数( )sin()cosf xxx的最大值为 2
6、,则常数的一个取值为_ 15.为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改, 设企业的污水排放量 W与时间 t的关系为 ( )Wf t ,用 ( )( )f bf a ba 的大小评价在 , a b这段时间内企业 污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论: 在 12 , t t这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; 在 2 t时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; 在 3 t时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; 甲企业在 11223 0,tt tt t这三段时间中,在 1 0,t的污
7、水治理能力最强 其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 85 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.如图,在正方体 1111 ABCDABC D中,E为 1 BB的中点 ()求证: 1/ / BC平面 1 AD E; ()求直线 1 AA与平面 1 AD E所成角的正弦值 17.在ABC中,11ab,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知,求: ()a的值: ()sinC和ABC的面积 条件: 1 7,cos 7 cA ; 条件: 19 cos,cos 816 AB 注:如果选择条件和条件分别解答,
8、按第一个解答计分 18.某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二为了解该校学生对活 动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表: 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立 ()分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率; ()从该校全体男生中随机抽取 2 人,全体女生中随机抽取 1人,估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概 率; ()将该校学生支持方案的概率估计值记为 0 p,假设该校一年级有 500
9、 名男生和 300名女生,除一年级 外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 1 p,试比较 0 p与 1 p的大小 (结论不要求证明) 19.已知函数 2 ( )12f xx ()求曲线( )yf x的斜率等于2的切线方程; ()设曲线( )yf x在点( ,( )t f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )S t,求( )S t的最小值 20.已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 过点 ( 2, 1)A ,且 2ab ()求椭圆 C的方程: () 过点( 4,0)B 的 直线 l交椭圆 C于点,M N,直线,MA NA分别交直线4x 于点,P Q 求 | | PB BQ 的值 21.已知 n a是无穷数列给出两个性质: 对于 n a中任意两项,() ij a a ij ,在 n a中都存在一项 m a,使 2 i m j a a a ; 对于 n a中任意项(3) n a n,在 n a中都存在两项,() kl a a kl使得 2 k n l a a a ()若 (1,2,) n an n,判断数列 n a是否满足性质,说明理由; ()若 1 2(1,2,) n n an ,判断数列 n a 是 否同时满足性质和性质,说明理由; ()若 n a是递增数列,且同时满足性质和性质,证明: n a为等比数列.