1、 1 2017-2018 高一年级第一学期期末考试数学模拟试卷 3【江苏版】 一、 填空题 1. 已知集合 ? ?1,2A? ，则集合 A 的子集的个数 _。 【答案】 4 【解析】 集合 A=1， 2的子集分别是：， 1， 2， 1， 2， 共有 4个， 故答案为 4 2. 已知奇函数 ?fx是 R 上的单调函数，若函数 ? ? ? ?2y f x f k x? ? ?只有一个零点，则实数 k 的值是 【答案】 14 【解析】试题分析： 由题意得： ? ? ? ?2f x f k x? ? ?只有一解，即 ? ? ? ?2f x f x k?， 2x x k? 只有一解，因此 11 4 0,
2、 .4kk? ? ? ? ? 考点：函数与方程 3. 若集合 ? ?2| 4 0 , A x x x k x R? ? ? ? ?中只有一个元素，则实 数 k 的值为 _ 【答案】 4 【解析 】 2 40x x k? ? ? 由唯一的实根， 16 4k 0? ? ? ， 解得： 4k? 故答案为： 4 4. 已知定义在实数集 R 上的奇函数 ?fx在区间 ? ?0,? 上是单调增函数，且 ?10f ? ，若 ? ?lg 0fx? ，则实数 x 的取值范围为 _ 【答案】 ? ?1 ,1 10,10? ?【解析】 定义在实数集 R 上的奇函数 ?fx在区间 ? ?0,? 上是单调 增函数，且
3、?10f ? ， 则 fx（ ） 的图象过点 10（ ， ） ， 函数 fx（ ） 在区间 0?（ ， ） 上是单调增函数，且 fx（ ） 的图象过点 10?（ ， ） ， 则 ? ?lg 0fx? 的解为 lg 1x 或 10lgx? ， 即不等式的解集为 ? ?1 ,1 10,10? ?， 2 故答案为 ? ?1 ,1 10,10? ?【点睛】本题主要考查不等式的求解，灵活应用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键 5. 如图，点 是正六边形 的边上的一个动点，设 ，则 的最大值为 _ 【答案】 2 【解析】 设正六边形的边长为 1，以 A点为坐标原点， AB， AE方向为 x,y轴正方
4、向 建立平面直角坐标系，则： ,则 ，逐段考查 x+y在 上的取值范围可得 的最大值为 2. 6. 设函数 ? ? ? ?21ln 1 1f x x x? ? ? ?，则使得 ? ? ? ?21f x f x?成立的 x 的取值范围为 【答案】 1 13 x? 【解析】试题分析：由题意得，函数 ? ? ? ?21ln 1 1f x x x? ? ? ?的定义域为 R ， 因为 ? ? ? ?f x f x? ，所以函数 ?fx为偶函数，当 0x? 时， ? ? ? ?21ln 1 1f x x x? ? ? ?为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得 ? ? ? ?21f x f x?成
5、立， 则 21xx?，解得 1 13 x?. 考点：函数的图象与性质 . 【方法点晴】本题主要考查 了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式 ? ? ? ?21f x f x?成立，转化为 21xx?，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题 . 7. 已知 2OA? ， 2OB? ，且向量 OA与 OB 的夹角为 120? ，又 3PO? ，则 APBP? 的取值范围是 _. 【答案】 1 2 3,1 2 3? 【解析】 设向量 OA+O
6、B =OC ,则由 平面向量的平行四边形法则可知 C2O ? ，设 OC 和 PO 的夹角为3 ，则 0, ，所以? ? ? ? ? ?213 2 3 2 2 1 2 3 1 2 3 , 1 2 3 .2A P B P O P O A O P O B O P O P O A O B O A O Bc o s c o s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?点睛： (1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算 (2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题 8. 设 02x ? ， 且 1 s i
7、n 2 s in c o sx x x? ? ?，则 x 的取值范围是 _. 【答案】 5,44?【解析】 由题意得， sin cos 0xx? ，又因为 02x ? ，则 x 的取值范围是 5,44?9. 已知向量 ,abc 是单位向量，且 12ab? ，则 ? ? ? ?c a c b? ? ? 的最小值是 _. 【答案】 3 32? 【解析】 向量 ,abc 是 单 位 向 量 ， 且 12ab? ，则 1 1 2 ? 3a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 3 3 32 2 2c a c b c a b c a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8、， ? ? ? ?c a c b? ? ? 的 最小值是 3 32? ，故答案为 3 32? . 【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题 .平面向量数量积公式有两种形式，一是 cosa b a b ? ，二是 1 2 1 2a b x x y y?，主要应用以下几个方面 :(1)求向量的夹角， cosabab? ?（此时 ab往往用坐标形式求解）；（ 2）求投影， a 在 b 上的投影是 abb；（ 3） ,ab向量垂直则 0ab? ;(4)求向量 ma nb? 的模（平方后需求 ab） . 10. 若函数 ? ? sin 3co sf x a x x?是偶函数，则实
9、数 a? 【答案】 0 【解析】试题分析：函数是偶函数 ? ? ? ? ? ? ? ?s i n c o s s i n c o s 0f x f x a x b x a x b x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 考点：函数奇偶性 11. 已知 1sin64x ?，则 25s in s in63xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?_ 【答案】 1916 4 【解析】 1sin64x ?， 1c o s c o s s i n2 6 3 6 4x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 225s i
10、n s i n s i n + 1 c o s 6 3 6 3x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 1 1 9s i n + 1 c o s 1 6 3 4 4 1 6xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 答案： 1916 12. 已知函数 f（ x） =x2+mx |1 x2|（ m R），若 f（ x）在区间（ 2， 0）上有且只有 1 个零点，则实数 m的取值范围是 【答案】 121 ? mm 或 【解
11、析】 试题分析： -1 x 0时， ? ? 221f x x mx? ? ?， -2 x -1时， f（ x） =mx+1， 当 x=-1时， f（ -1） =1-m， 当 1-m=0，即 m=1时，符合题意， 当 1-m 0时， f（ x）在（ -1， 0）有零点， f（ -2） =-2m+1 0，解得： 12m? ， 当 1-m 0，在（ -2， 0）上，函数与 x轴无交点， 故答案为： 121 ? mm 或 考点：函数零点的判定定理 13. 已知函数 ? ? 1 0 , 0 ,0x xfxlgx x? ?，函数 ? ? ? ? ? ? ? ?2 4g x f x f x t t R? ?
12、 ? ?，若函数 ?gx有四个零点，则实数 t 的取值范围是 _ 【答案】 ? ?3,4 5 【解析】 作出 f（ x）的函数图象如图所示： 令 0f x m g x?（ ） ， （ ） ， 则 2 40m m t? ? ? ， 由图象可知当 1m? 时， f x m?（ ） 有两解，当 1m 时 f x m?， （ ） 只有一解， gx（ ） 有四个零点， 2 40m m t? ? ? ? 在 1?， ） 上有二解， 16 4 0? 1 4 0t? ?，解得 34t? 故答案为 ? ?3,4 14. 已知函数 ? ? ? ? ,11 ? xfxf 当 ? ?1,0?x 时， ? ? .113
13、 ? xxf 若对任意实数 x ，都有? ? ? ?f x t f x? 成立，则实数 t 的取值范围 【答案】 4 4 2( , ) ( , )3 3 3? ? ? ? 【解析】 试题分析：因为 ? ?1,0?x 时 ， ? ? 3 1 1f x x? ? ?，所当 10,3x ?时， ? ? 3f x x? ，当 1,13x ?时， ? ? 32f x x?，由 ? ? ? ? ,11 ? xfxf 可得 ?fx大致图形为如图所示若 0a? ，则 11( ) ( )33f a f? ，不满足题意，所以 0a? ，由图中知，比 D小的为 C左边的区域，且不能为 A点 C点为 1()3f ?
14、，此时 23a? ，所以 a的范围是 4 4 2( , ) ( , )3 3 3? ? ? ? 6 考点：抽象函数及其应用 【方法点睛】本题考查了分段函数的图象 与性质及其应用，以及含有参数的取值范围，关键是利用数形结合法的数学思想，属于难度较大的试题，本题中先把绝对值函数化为分段函数，再根据 图象的平移得到函数的图象，观察函数的图象，即可求解 a 的取值范围 二、解答题 15. 函数 ? ? ? ?1 lg 6f x x x? ? ? ?的定义域为 A，不等式 33log 4 0x?的解集为 B （ 1）分别求 AB? ; （ 2）已知集合 ? ?2C x x m? ? ?，且 CA? ，求
15、实数 m 的取值范围 【答案】 （ 1） ? ?0,6AB? （ 2） ? ?,6? 【解析】 试题分析：（ 1）由条件可得 ? ?1,6A? ， B= 430,3?， 所以 ? ?0,6AB? ；（ 2）分 C? 和 C?两种情况求解，可得 6m? 。 试题解析： （ 1）要使函数 ?fx有意义，需满足 1 0, 60x x?解得 16x?， 函数 ?fx的定义域 ? ?1,6A? ； 由 33log 4 0x?，得3 4log 3x?， 解得 4303x? 不等式 33log 4 0x?的解集 B= 430,3? 所以 ? ?0,6AB? 7 （ 2）当 2m? 时， C? ，满足 CA?
16、 ； 当 2m? 时， C? ， 由 CA? ，得 2 6mm?，解得 26m?。 综上 6m? 。 实数 m 的取值范围为 ? ?,6? 16. 在平面直角坐标平面内，已知 ? ? ? ? ? ?0 , 5 , 1, 3 , 3 ,A B C t? . （ 1） 若 1t? ，求证： ABC? 为直角三角形； （ 2） 求实数 t 的值，使 AB AC? 最小； （ 3） 若存在实数 ? ， 使 AB AC? ， 求实数 ? 、 t 的值 . 【答案】 (1) 详见解析 ;(2)7;(3) 1311t? ? ?. 【解析】 试题分析： (1)利用题意由数量积为 0可得 ABC? 为直角三角形
17、； (2)求得 ? ?247A B A C t? ? ? ?，结合二次函数的性质可得 7t? 时 , AB AC? 的最小值为 2. (3)利用题意列出方程组，求解方程组可得 1311t? ? ?试题解析： (1)当 1t? 时， ? ?3,1C ， 则 ? ? ? ?1, 2 , 4 , 2A B B C? ? ? ? ? ? ? ? ?1 4 2 2 0A B B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB BC?，即 ABC? 为直角三角形 . (2) ? ? ? ?1 , 2 , 3 , 5A B A C t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 2 3 , 5 2 , 7A B A C t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?247A B A C t? ? ? ? ? 当 7t? 时 , AB AC? 的最小值为 2. 8 (3)由 AB AC? 得 , ? ? ? ? ? ?131 , 2 3 , 525t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 1311t? ? ?17. 已知角 ? 的张终边经过点 ? ?,2 2Pm ， 22sin 3? 且 ? 为第二象限 （ 1）求 m 的值； （ 2）若 tan 2? ，求 ? ? ? ?sin c
