1、 1 2017 2018 学年第一学期期末质量检测卷 高一数学 本试卷分第 I卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分。全卷满分 150分 ,考试时间 120分钟 第 I卷 一、 选择题 (本题共有 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分。在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是最符合题目要求的。 ) 1.设集合 ? ? ? 112 , ( )22xA x N x B x ? ? ? ? ? ?， 则 AB = A. ? ?1xx? B. ? ?0,1 C. ? ?1,2 D. ? ?1xx? 2.设函数 2log , 1()( 1), 1x xfxf x x? ? ? ?，则 (
2、( 1)ff? 的值为 A. 1 B.0 C.1 D.2 3.下列函数中是偶函数且在 (0,+) 上单调递增的是 A. yx? B 12logxy?C. 2( 1)yx? D 2yx? 4.设角 a 的终边过点 P(1,-2),则 2sincos? 的值是 A.-4 B.-2 C.2 D.4 5.方程 20xex? ? ? 的解的个数是 A.0 B. 1 C.2 D.3 6.已知 3cos( )25? ? ? ?， 且 ( , )2? ， 则 tan( )? ? ? A. 43 B. 34? C 43? D. 34? 7.设向量 (1,2), ( 1,1)ab? ? ?,若向量 ab? 与向量
3、 a 垂直 ,则 ? 的值为 A. 43 B.1 C.-1 D.-5 8.设 0 .2 1 .2 20 .713 , ( ) , lo g4a b c? ? ?,则 a、 b、 c的大小关系为 A. c1,判断 f(x)的单调性并用单调性定义证明 ; ( )若 1( 3) ( ) 03f x f? ? ? ?,求实数 x的取值范围 6 yx12312 1O答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C C A A C B D B A B A D 1.C【解析】 ? ? ? ?0 ,1, 2 , | 1A B x x? ， ? ?1,2AB? .故选 C. 2.C
4、【解析】 ? ? 21 ( 0 ) (1 ) ( 2 ) lo g 2 1f f f f? ? ? ? ? ?.故选 C. 3. A【解析】 y |x|在 ? ?0,? 上单调递增，且为偶函数；12logyx?在 ? ?0,? 上单调递减； y(x 1) 2在 ? ?0,? 单调递增，是非奇非偶函数； 2yx? 在 ? ?0,? 上单调递减，故选 A 4.A 【解析】 由题意 ， tan 2? ， 2 sin 2 tan 4cos ? ? ? ? ?.故选 A. 5.C 【解析】 方程 20xex? ? ? 的解的个数等于函数 xye? 和 2yx? 图像交点的个数，如图所示，可知函 数 xy
5、e? 和 2yx?图像有两 个交点 6.B【解析】 因为 cos? ?2 35，所以 sin 35， sin 35， 又 2? ?， 2 4c o s 1 sin 5? ? ? ? ?， tan( )? sin 3tan co s 4? ? ? ?. 7.D【解析】 由已知得 a b (1 ， 2 )， 向量 a b 与向量 a垂直，所以（ a b） a 0. (1 ) 1 (2 )2 0，解得 5.故选 D. 8.B【解析】 1 . 2 00 . 2 00 . 7 0 . 7113 3 1 , 0 1 , l o g 2 l o g 1 044? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
6、? ? ? ?， 所以 c b a? . 9.A【解析】 由题意知 2(log ) 1fx? ， (1) ( 1) 1ff? ? ? ? ?， 2(log ) (1)f x f? . f(x)是定义在 R上的 奇 函数，且在 ? ?0?， 递减， 函数 f(x)在 R 上递减， 2log 1x? ，解得 0 x 2. 10. B【解析】 由题图知函数的周期 312222T ? ? ?，由 2 2， 得 . 由 KMN 为等腰直角三角形， KMN 90 ，知点 M 到 x 轴的距离是 12，则 f(x) 12cos( x )，由 f(x)是偶函数，所7 yxx 4x 3x 2x 111 1 2
7、3 4 5O以 0 0， 0， f(x) 12cos x，故 f? ?13 12cos3 14.故选 B. 11. A【解析】 依题意得 1( ) s i n 2 s i n2 6 3 6g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 x ? ? 6， 56 时， x 6 ? ? 3， 23 ， sin6x ? ? ? 32 ， 1 ， 此时 g(x)的值域是 ? ? 32 ， 1 . 12.D【解析】 函数 ()fx的图像如图所示， 有图可知，当 1x? 和 5x? 时， max( ) 1fx ? ， 当 3x? ， min( ) 1fx ? ，所以函
8、数 ()fx的值域是 ? ?1,1? ， 正确；函数 ()fx的 减区间为 ? ?10?，和 1,3， 错误；对于 和 ，若满足条件，则直线 ym? （ 10 2m?）与函数 ()fx图像有四个 交 点 ， 由 121x m? ? ， 221x m? ，得 ? ?12log 1xm?， ? ?22log 1xm?， 12xx? ? ?2log 1 m? ? ?2log 1 m? ? ?22log 1 0m?， 正确；根据正弦函数的对称性346xx?， 正确；方程 ()f x a? 有 3个解，则 1 12 a?和 0a? ， 错误 . 13. 13 【解析】 由题意 得 lg 4lg 3 lg
9、 8lg 4 lg mlg 8 lg mlg 3， 1lne 1， lg mlg 3 1，即 lg m lg 3 lg13 ， m 13 . 14.-2【解析】 cos2? ? sin 35， sin 35.又 是第三 象限角， cos 1 sin2 45， tan sin cos 34.又 tan 12， tan( ) tan tan 1 tan tan 34 121 ? ? 34 12 -2. 15.-3【解析】 由题意可知 AD BD? ， 3BD? , ? ?A B B D A D D B B D A D B D D B B D? ? ? ? ? ? ? ?20 -3B D B D B
10、 D? ? ? ? ? ?. 8 16. - 32 【解析】 f(x) f(x ) cos(x ) f(x 2) cos(x 2) cosx f(x 2) ， f(x)的周期 T 2 ，又 当 x0 时， f(x) 0， f? ? 56 0，即 f? ?6 f? ?6 cos6? 0， f? ?6 32 ， f? ?136 f? ?2 6 f? ?6 - 32 . 17 【解析】 (I)由函数 ()fx的一个对称中心到相邻对称轴的距离为 4? ， 可知函数 ()fx的周期为 ? ， 2 2? ?. 又函数 ()fx图象上有一个最低点为 M（ 127? ， 3）， 2? ? ， 733 2 2
11、,1 2 2A k k Z? ? ? ? ? ? ?， ， 3分得 3? ? ， ( ) 3 sin(2 )3f x x ?. 5分(II)由 2 2 2 , ,2 3 2k x k k z? ? ? ? ? ? 7分可得 5 ,1 2 1 2k x k k z? ? ? ? ? 9分 又 0, ,x?可得单调递增区间为 70, , , .12 12? 10分18. 【解析】 (I) 2(2) 2f a a? ? ?， 1a? ， 2a? ， （ 0a? 且 1a? ）， 2a? ， ( ) 2 2xfx?. 4分 (II)令 2 2t x x?， 21x? , ? ?22 2 1 1t x
12、x x? ? ? ? ?为开口向上的抛物 线 ， 对称轴为 1x? ， 2 2t x x?在 ? ?2, 1?递减 ， 在 ? ?1,1? 递增 ， 6分 min 1t ? ， 2max 1 2 1 3t ? ? ? ?， 13t? . 8分 又函数 ( ) 2 2tft?， 13t? 为递增函数 . 9 132 2 ( ) 2 2ft? ? ， 即 3 ( ) 62 ft? . 所以 2( 2 )f x x? 在区间 2， 1上的 值域为 362?， 12 分 19. 【解析】 (I)由题意得 AB (t 1,2)， AC (3， t)， BC (2 t， t 2)， 若 B 90 ，则 0
13、AB BC?，即 (t 1) (2 t) 2(t 2) 0， t 1或 2， 若 2t? ， 则 0BC? ， 这时 ABC不存在 . t 1. 6分 (II)若四边形 ABCD是平行四边形，则 AD BC? ，设点 D的坐标为 (x， y)， 则 AD (x 1,y)， (x 1,y) (2 t， t 2)， 122xtyt? ? ? ?，即 12xtyt? ?，即 D(1 t， t 2)， OD (1 t， t 2)， 8分 OD ? ? ? ?2212tt? ? ? 22 6 5tt? 231222t?， 当 t 32 时， OD 取得最小值 22 . 12分 20 【解析】 （ I）由
14、题意知， S f (t) g(t) ?(2t 40)( t 30)， 1 t10 ， t N*，15( t 30)， 11 t20 ， t N* 4分 （ II） 当 1 t10 ， t N*时 ， S (2t 40)( t 30) 2 t2 20t 1200 2 (t 5)2 1250 因此，当 t 5时， S最大 值为 1250； 8分 当 11 t 20， t N*时， S 15( t 30) 15t 450 为减函数， 因此，当 t 11时， S最大值为 285 9分 综上，当 t 5时，日销售额 S最大，最大值为 1250元 12分 21. 【解析】 (I) 2 33( ) 2 2
15、s i n 2 c o s 24 4 2f x x x? ? ? ?332 1 c o s 2 c o s 22 2 2xx? ? ? ? ? 332 sin 2 c o s22xx? 3sin 24x ? 4分 函数 f(x)的最小正周期 243 32T ?， 5分 由 3 ,24x k k Z? ? ? ?，得 2 ,36x k k Z? ? ?， 10 函数 f(x)的对称中心的坐标为 2 0,36k k Z?，. 6分 (II)由 (I)可得 f(x 12) 2sin32(x 12) 4 2sin(32x 8)， g(x) f(x 12)2 41 x 42 2 2cos(3x4)， 8分 x 6， 3， 4 3 x 4 54 ， 当 3x 4 ，即 x 4时， g(x)max 4.
