1、编辑ppt第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 编辑ppt第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 二重积分的引入二重积分的引入 二重积分的概念二重积分的概念 二重积分的性质二重积分的性质编辑ppt=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶.=？特点：曲顶特点：曲顶.2曲顶柱体曲顶柱体的体积的体积一、问题的提出一、问题的提出1平顶柱体平顶柱体的体积的体积编辑ppt二、二重积分的概念二、二重积分的概念1什么是曲顶柱体？什么是曲顶柱体？z 显然，显然，平顶柱体的体积平顶柱体的体积=底面积底面积高高，而曲顶，而
2、曲顶柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计算呢？算呢？以以 xoy 平面的平面的有界闭区域有界闭区域D为底为底、侧面是以、侧面是以D的边界曲线的边界曲线C作准线而母线平行于作准线而母线平行于 轴的柱面，轴的柱面，顶是曲面顶是曲面这里这里且且在在D上连续所形成的立体上连续所形成的立体称为称为曲顶柱体曲顶柱体（如上图）。（如上图）。2.其体积其体积V怎样计算？怎样计算？xzyo),y,x(fz .)y,x(f0 编辑ppt 由第五章由第五章求曲边梯形面积的方法求曲边梯形面积的方法就不难想到下就不难想到下面的解决办法：面的解决办法：用一组曲线网将用一组曲
3、线网将xoy面上的区域面上的区域D划分划分为为n个小区域个小区域 分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于平行于z轴的柱面，这些柱面轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为把原曲顶柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体当这些小闭区域的直径很小时，当这些小闭区域的直径很小时，这时小曲顶柱体可这时小曲顶柱体可近似近似看作平顶柱体在每个看作平顶柱体在每个中各中各任取任取一点一点n,21)n,i(i 21(sigma(西格玛西格玛)小写小写 大写大写),(pii 为高为高,底为底为i ),(fii 以以小平顶柱体体积为小平顶柱体体积为:编辑ppt这这n个平顶柱体体积
4、之和个平顶柱体体积之和n个小闭区域的直径中最大值记作个小闭区域的直径中最大值记作当当 0时，取和的极限存在，所得的极时，取和的极限存在，所得的极限就定义为所求曲顶柱体的体积限就定义为所求曲顶柱体的体积 综合起来：综合起来：分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限.xzoD),(yxfz i),(ii)n,i(),(fviiii 21 iiini),(f 1编辑ppt 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示编辑ppt 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限
5、”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示编辑ppt 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示编辑ppt 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示编辑ppt 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示编辑ppt 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的
6、方法，如下动画演示编辑ppt步骤如下：步骤如下：(3)用若干个小平顶柱体用若干个小平顶柱体体积之体积之和和近似近似表示曲顶表示曲顶柱体的体积，柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii10(,)lim.niiiiVf(4)取极限取极限:曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(1)先先分割分割曲顶柱体的曲顶柱体的底，并取典型小区域底，并取典型小区域i (2)(,)iiiivf :近似11(,)nniiiiiivvf 1maxii n 其中编辑ppt 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在
7、D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量 i),(ii将薄片将薄片分割分割成若干小块，成若干小块，小块将其小块将其近似近似看作均匀薄看作均匀薄片，所有小块质量之片，所有小块质量之和和近近似等于薄片总质量（似等于薄片总质量（极限）极限）.),(lim10iiniiM xyo编辑ppt定定义义 设设),(yxf在在有有界界闭闭区区域域D上上有有定定义义，将将闭闭区区域域D任任意意分分成成n个个小小闭闭区区域域1 ，,2 ，n ，其其中中i 表表示示第第i个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的面面积积，在在每每个个i 上上任任取取一一点点),(i
8、i ，作作乘乘积积 ),(iif i ，),2,1(ni，并并作作和和 iiniif ),(1，3.二重积分的定义二重积分的定义编辑ppt如果当各小闭区域的如果当各小闭区域的直径中的最大值直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这时，这和式的极限和式的极限存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf),(，即即 Ddyxf),(iiniif ),(lim10.编辑ppt(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，或或分分片片连连续续且且有有界界，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重
9、积积分分必必存存在在.(3)几何意义：几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值).(),(),()4(DRfDyxfdyxfD 记记上上可可积积，在在存存在在，称称若若xyo(5)面积元素为面积元素为ddxdy可写为可写为(,)(,)DDf x y df x y dxdy,f(x,y)dvD)6(Ddyxm ),(编辑ppt.IIy,x|)y,x(,d)yxI;y,x|)y,x(,d)yxI21之间的关系之间的关系与与义说明义说明试用二重积分的几何意试用二重
10、积分的几何意其中其中（又又其中其中（设设、：21D2322D132221.2010D2211D2136P 21214IIII 之之间间关关系系为为：与与答答：编辑ppt性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质编辑ppt性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上
11、上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf )(21DDD 则有则有编辑ppt例例1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:D3D2yxyxd)(d)(与与其中其中D D由由x x轴、轴、y y轴与直线轴与直线 所围成区域所围成区域.1 yx32yxyx)()(1yx 解：解：0.y0,x1,yx 从而从而由已知得积分区域由已知得积分区域D：1yxo1D D3D2yxyxd)(d)(编辑ppt 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值，为为 D 的的面面积积，则则性质性质 DMdyxfm),(（二重积分估值不等式）（二重积分
12、估值不等式）编辑ppt例例 1 1 估计估计 DxyyxdI16222 的值，的值，其中其中 D：20,10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2,1(yx 故故4252 I.5.04.0 I解解2 2编辑ppt例例3.估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解:D 的面积为的面积为200)210(2由于由于yx22coscos1001积分性质积分性质5100200I102200即即:1.96 I I 210101010D1
13、0011021xyo编辑ppt.yx:D,d)yx(I;y,x:D,d)yx(I;y,x:D,ydsinxsinI;y,x:D,d)yx(xyI:PDDDD4943201013002101015137222222 其中其中）（其中其中）（其中其中）（其中其中）（计下列积分的值：计下列积分的值：、利用二重积分性质估、利用二重积分性质估 编辑ppt 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续，为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),(使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）),(),(fdyxfD为连续函数。为连续函数。，其中，其中、求、求例例
14、)y,x(fdxdy)y,x(flimyx 2222014 解解：据据积积分分中中值值定定理理 ),(1lim),(1lim2020222iiyxfdxdyyxf 220),(1lim iif).0,0(f 编辑ppt*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法编辑ppt一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 在直角坐标系下用平行于在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域坐标轴的直线网来划分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(d
15、xdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为当函数当函数f(x,y)在区域在区域D上连续时，我们可以用特定上连续时，我们可以用特定的分割来解决定积分的计算。的分割来解决定积分的计算。编辑ppt为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积曲曲面面为为底底，以以的的值值等等于于以以时时当当),(),(,0),(yxfzDdxdyyxfyxfD 用平面用平面x=x0截立体，截立体，截得截得A(x0).应用计算应用计算“平行截面面积为平行截面面积为已知的立体求体积已知的立体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 D
16、baxxdyyxfdxdxdyyxf得得注意注意D的特殊之处。的特殊之处。编辑ppt如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,baX型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf编辑ppt.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc
17、).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.编辑ppt若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.对非对非X、Y型区域型区域编辑pptxy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图编辑ppt例例2.交换下列
18、积分顺序交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解:积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,2x0 xy0:221 1D8yx22 2D22yxo21D221xy 2 22x2x8y0:22D21DDD 将将:D视为视为Y型区域型区域,则则2y8xy2 2y0 Ddxdyy)f(x,I 2y8y2xdy)f(x,20yd编辑pptxy211xy o221d y例例3.计算计算,dDyxI其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及yx 所围的闭区域所围的闭区域.x解法解法1.将将D看作看作X型区域型区域,则则:DI21d xyyx d21d x212
19、1321dxxx891221xyx解法解法2.将将D看作看作Y型区域型区域,则则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y编辑ppt例例4.计算计算,dDyx其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:为计算简便为计算简便,先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线及直线则则 编辑ppt例例 4 4 求求 Ddxdy
20、yx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解解两曲线的交点两曲线的交点),1,1(,)0,0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 5编辑pptD例例6 6解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49.21,1:xxyxD编辑ppt例例5 5 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1,1(),
21、0,0()1,0(为顶点的三角形为顶点的三角形.dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 7编辑ppt例例8.计算计算,ddsinDyxxx其中其中D 是直线是直线,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.oxyDxxy 解解:由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对先对 x 积分不行积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分
22、方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序还需交换积分顺序.编辑pptxyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下在极坐标系下,用同心圆用同心圆 r=常数常数则除包含边界点的小区域外则除包含边界点的小区域外,小区域的面积小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2,1(nkk在在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点内取点kkkrr221)(及射线及射线 =常数常数,分划区域分划区域D 为为krkrkkkr编辑pptkkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dy
23、xfd),(ddrr即即Drrf)sin,cos(drrddrd编辑pptDo)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设设,)()(:21rD则则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别,对对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roDxyOraxyOr2a(a,0)xyOr2a(0,a)常见极坐标系下圆的方程：常见极坐标系下圆的方程：222ayx (1)ar 222aya)(x (2)cos2ar 222aa)(yx (3)sin2ar 编辑ppt解：积分区域如图解：积分区域如图 1020r 2
24、010211drrrd 原积分原积分 201022)1(1121rdrd2ln)1ln(221102 r和和 无关无关 1编辑ppt解：积分区域如图解：积分区域如图 sin2020r 20sin20cos drrrd 原积分原积分 20sin202cos drrd 20sin20331cos dr 203sincos38 d32sin32204 2编辑ppt例例3.计算计算,ydxdeDyx22 其中其中.ayx:D222 解解:在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用直角故本题无
25、法用直角2reddrr20d由于由于故故坐标计算坐标计算.编辑ppt注注:利用例利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式2dxe0 x2 事实上事实上,当当D 为为 R2 时时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例利用例6的结果的结果,得得)1(limd42220aaxexe故式成立故式成立.编辑ppt解：解：sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 4编辑ppt解：解：2 r 40322)21(rdr
26、rd Ddxdyyx)221(22例例5 5 计算二重积分计算二重积分 其中其中D是由是由 、422 yx922 yxxy 及及 x 轴围成的第一象限部分轴围成的第一象限部分。422 yx922 yxDxyoxy 22334 Ddxdyyx)221(223 r 3240:rD 403242)2121(drr 435 编辑ppt曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 iiixfA )(为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx 编辑pptiniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为iniibax)(flimdx)x(f,10 即即这这个个极极限限叫叫定定积积分分
