1、 1 广东省汕头市 2016-2017 学年高一数学上学期期末考试试题 一、选 择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设集合 | ( 4 )( 1) 0A x x x? ? ? ?,集合 | ( 4 )( 1) 0B x x x? ? ? ?,则 AB? ( ) A. ? ?, 4?B. ?0C. ? ?D. ? 2 若 33log log 0ab?，则（ ） A. 10 ? ab B. 10 ? ba C. 1?ab D. 1?ba 3.已知函数 2 1( ) sin 2f x x?的最小正周期是 （ ） A 2?
2、B ? C 2? D 4? 4 函数 1c o s ( ) , (0 )3yx ? ? ? ? ? ?是 R 上的奇函数，则 ? 的值是（ ） A 0 B 4? C2?D ? 5 函数 ( ) 2 3xf x x?的 零点所在的一个区间是（ ） A ( 2, 1)? B (1,0)? C (0,1) D (1,2) 6.函数 cos tany x x? （ 22x? ? ? ）的大致图象是 （ ） A B C D 7 已知 12ab?， , 且 ()a a b?, 则向量 a 与 b 的夹角为（ ） A 6? B 4? C 43? D 65? 8 若 3sin cos 0?， 则 ? coss
3、in2cos 12 ?的值为 （ ） A 2? B 23 C 53 D 103 9 已知函数 ? ? 1 ( 0, 1)xf x a a a? ? ?的值域为 1, )? ，则 (4)f ? 与 (1)f 的大小关系是（ ） 2 A ( 4) (1)ff? B ( 4) (1)ff? C ( 4) (1)ff? D 不能确定 10 在 ABC? 中， 设 D 是 AB 边上的一点，且 2AD DB? ,则（ ） A. 1233CD CA CB? B. 2133CD CA CB? C. 1233CD CA CB? D. 2133CD CA CB? 11 已知 0? ，函数 ( ) sin( )4
4、f x x ?在 ( ,2? 上单调 递减，则 ? 的取值范围是 （ ） A (0,2 B 1(0, 2C 13 , 24 D 15 , 2412.已知定义在 R 上的偶函数 ()fx满足 ( 4) ( )f x f x? ，且在区间 0,2 上 ()f x x? ，若关于 x的方程 ( ) logaf x x? 有六个不同的根，则 a 的范围为（ ） A ( 6, 10) B ( 6,2 2) C )22,2( D )4,2( 二、填空题（本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）请把答案填写在答题卡相应的位置上 . 13 函数 xxy ? 3)2ln( 的定义域是 14 已知函数22
5、 3, 1()lg ( 1), 1xxfx xxx? ? ? ? ?，则 ( ( 3)ff? . 15.函数 ( ) s in c o s ( ), 0 , 6f x x x x? ? ? ? ?的值域是 . 16.如图，在 ABC 中， AD AB? ， 3BC BD? ， 1AD? ，则 AC AD? 三、解答题（本大题共有 5 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 14 分） 已知 (1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( )a b c a b R? ? ? ? ? ?. （ 1）若 bc? ，求 |c 的值； （ 2） ? 何值时
6、 , c 与 a 的夹角最小 ? 此时 c 与 a 的位置关 系如何 ? 18 （本题满分 14 分）已知函数 ? ? ),22,0,0)(s in ( ? ? AxAxf 其部分图象第 16 题图 3 如下图所示 . （ 1）求函数 )(xfy? 的 解析 式； （ 2）若 (0, )2? ? ，且 3cos( )25? ? ? ?，求 ()f? 的值 . 19（本小题满分 14 分） 已知函数 11( ) 1 ( ) ( )24xxf x a? ? ? （ 1） 当 1a? 时，解 不等式 ( ) 7fx? ； （ 2）若对任意 ? ?0,x? ? ，总有 ( ) 3fx? 成立，求实数
7、a 的取值范围 20（本小题满分 14 分）提高过江大桥的车辆通行 能力可改善整个城市的交通状况。在一 般情况下，大桥上的车流速度 v （单位：千米 /小时）是车流密度 x （单位：辆 /千米）的 函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆 /千米时，造成堵塞，此时 车流速度为 0；当车流密 度不超过 20 辆 /千米时，车流速度为 60 千米 /小时，研究表明；当 20 200x? 时，车流 速度 v 是车流密度 x 的一次函数 （ 1）当 0 200x? 时，求函数 ?vx的表达式； （ 2）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆 /每小时） ( ) (
8、 )f x x v x? 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆 /小时） . 21（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) | 2 | 2f x x a x x? ? ?， aR? （ 1）若 0a? ，判断 函数 ()y f x? 的奇偶性，并加以证明 ； 4 （ 2）若函数 ()fx在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围； （ 3）若存在 实数 ? ?2,2 ,a? 使得关于 x 的方程 ( ) (2 ) 0f x tf a?有三个不相等的实数根，求实数 t 的取值范围 5 2016-2017 学年度高一数学期末考试试题参考答案 DBBCB CBDAC DA 13 (2,3 ；
9、 14 0； 15. 3 , 32? ； 16. 3 17解： （ 1） (1 3 ,2 4 )c ? ? ? , 1 分 又 bc? ( 3 , 4 ) (1 3 , 2 4 ) 3 9 8 1 6 5 2 5 0bc ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 分 15? ， 86( , )55c? 5 分 2 2 286| | ( ) ( ) 455c ? ? ?， | | 2c? 7 分 （ 2） 法一：设 c 与 a 的夹角为 ? ， 0, ? ， 8 分 要 使 夹角 ? 最小 ,则 0? ，即 c 与 a 共线同向 . 10 分 (1 3 ,2 4
10、 )c ? ? ? , (1,2)a? ， c a ， 2(1 3 ) 2 4? ? ?，即 0? ， 12 分 此时 (1,2)c? ，满足 c 与 a 共线同向 . 14 分 法二：设 c 与 a 的夹角为 ? ,则225 5 1c o s | | | 5 2 5 1 0 5 5 2 1acac ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 9 分 要 c 与 a 的夹角最小 ,则 cos? 最大 , 0 ? ,故 cos? 的最大值为 1,此时 0? , 12 分 21c o s 1, 15 2 1? ?,解之得 0? , (1,2)c? . 0? 时 , c 与 a 的夹角最小 ,
11、 此时 c 与 a 共线同向 . 14 分 18 解： （ 1）由图象知 1, 4AT?72( ) , 2 ,1 2 3 T? ? ? ? ? ? 3 分 将 7( , 1)12? ? 代入 ( ) sin(2 )f x x ?，得 7sin( ) 1,6? ? ? ? 4 分 因为 22? ? ? ， 2 7 53 6 3? ? ? ? ?， 所以 7362? ，即 3? 6 分 6 所以 ( ) sin (2 ),3f x x x R? ? ? 7 分 （ 2） (0, )2? , 3cos( )25? ? ? ? 3sin 5? ， 4cos 5? 9 分 24sin 2 2 sin c
12、 o s 25? ? ?, 2 7s 2 1 2 sin 25? ? ? 11 分 ( ) s i n ( 2 ) s i n 2 c o s c o s 2 s i n3 3 3f ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 1 7 3 2 4 7 32 5 2 2 5 2 5 0 5 0? ? ? ? ? ? 14 分 19 解 ： （ 1）当 1a? 时， 11( ) 1 ( ) ( )24xxfx ? ? ? 设 1()2xt? ，由 ( ) 7fx? ， 得 2 60tt? ? ? ， 即 2t? 或 3t? ， 2 分 又 0t? ， 2t? ，即 1( ) 22x? ，故 1x?
13、 不等式 ( ) 3fx? 的解集是 1xx? 4 分 （ 2）由题意知， ( ) 3fx? 在 ? ?1,? 上恒成立， xxx a ? 41221414 xxxx a ? 21222124在 ? ?0,? 上恒成立， minmax 21222124? ? ?xxxx a 7 分 设 tx?2 ， tttp 12)( ? ，由 x? ? ?0,? 得 1t? ， 9 分 设 121 tt? ， ? ? ? 012)()(21212121 ? tt tttttptp ，所以 )(tp 在 ? ?1,? 上递增， 12 分 )(tp 在 ? ?1,? 上的最小值为 (1) 1p ? ，所以 实数
14、 a 的取值范围 为 ( ,1? 14 分 20.解：（ 1）由题 意：当 0 20 , ( ) 60x v x? ? ?时 ； 2 分 当 2 0 2 0 0 , ( )x v x a x b? ? ? ?时 设 3 分 再由已知得1 ,2 0 0 0 , 32 0 6 0 , 2 0 0 .3aabab b? ? ? ? ?解 得 5 分 7 故函数 ()vx的表达式为 6 0 , 0 2 0 ,() 1( 2 0 0 ) , 2 0 2 0 03xvx xx? ? ? ? ? 7 分 （ 2）依题 意并由（ 1）可得 6 0 , 0 2 0 ,() 1( 2 0 0 ) , 2 0 2
15、0 03xxfx x x x? ? ? ? ? 9 分 当 0 20x? 时， ( ) 60f x x? 为增函数， 故当 20x? 时，其最大值为 60 20 1200? ； 11 分 当 20 200x? 时， 21 1 2 0 0( ) ( 2 0 0 )3 3 3f x x x x x? ? ? ? ? ， 对称轴 ? ?100 20,200x ? 当 100 , ( )x f x? 时 在区间 20,200 上取得最大值 10000 33333 ? 13 分 答：即当车流密度为 100 辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆 /小时 14 分 21解： （ 1）
16、函数 ()y f x? 为奇函数 当 0a? 时， ( ) | | 2f x x x x?， xR? ， ( ) | | 2 | | 2 ( )f x x x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 函数 ()y f x? 为奇函数； 3 分 （ 2） 22( 2 2 ) ( 2 )() ( 2 2 ) ( 2 )x a x x afx x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ?，当 2xa? 时， ()y f x? 的对称轴为： 1xa?； 当 2xa? 时， ()y f x? 的对称轴为： 1xa?； 当 1 2 1a a a? ? ? ?时， ()y f
17、x? 在 R 上是增函数，即 11a? ? ? 时，函数 ()y f x? 在 R 上是增函数； 6 分 （ 3）方程 ( ) (2 ) 0f x tf a?的解即为方程 ( ) (2 )f x tf a? 的解 当 11a? ? ? 时，函数 ()y f x? 在 R 上是增函数， 关于 x 的方程 ( ) (2 )f x tf a? 不可能有三个不相等的实数根； 8 分 当 1a? 时，即 2 1 1a a a? ? ? ?， ()y f x? 在 ( , 1)a? ? 上单调增，在 ( 1,2 )aa? 上单调减，在 (2 , )a? 上单调增， 当 (2 ) (2 ) ( 1)f a tf a f a? ? ?时 ，关于 x 的方程 ( ) (2 )f x tf a? 有三个不相等的实数根；即 24 4 ( 1)a t a a? ? ? ?， 1a? 111 ( 2)4taa? ? ? ? 8 设 11( ) ( 2)4h a a a? ? ?， 存在 ? ?2,2 ,a? 使得关于 x 的方程 ( ) (2 )f x tf a? 有三个不相等的实数根， max1 ( )t h a? ， 又 可证 11( ) ( 2)4h a a a? ? ?在 (1,2 上单调增 max 9() 8ha ? 91 8t? ； 11 分 当 1a? 时，即
