1、 - 1 - 高新部高一期末考试数学试题 一、单项选择（ 60分 ） 1、 已知集合 A=t2+s2|t， s Z，且 x A， y A，则下列结论正确的是（ ） A x+y A B x-y A C xy A D 2、 设集合 A=3， 4， 5， B=3， 6， P=x|x? A， Q=x|x? B，则 P? Q=（ ） A 3 B 3， 4， 5， 6 C 3 D 3， ? 3、 已知集合 ， a=3则下列关系式成立的是（ ） A a? A B a? A C a? A D a A 4、 设集合 A=-2， 1， B=-1， 2，定义集合 A B=x|x=x1x2， x1 A， x2 B，则
2、 A B中所有元素之积为（ ） A -8 B -16 C 8 D 16 5、 下列各个关系式中，正确的是（ ） A ? =0 B C 3， 55 ， 3 D 1? x|x2=x - 2 - 6、 设集合 M=a|? x R， x2+ax+1 0，集合 N=a|? x R，（ a-3） x+1=0，若命题 p： a M，命题 q： a N，那么命题 p是命题 q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 7、 含有三个实数的集合可表示为 a， ba ， 1，也可表示为 a2， a+b， 0，则 a2012+b2013的值为（ ） A 0 B 1 C -1 D
3、 1 8、 已知集合 b=x R|ax2-4x+1=0， a， b R则 a+b=（ ） A 0或 1 B 92 C 14 D 14 或 92 9、 以下元素的全体不能够构成集合的是（ ） A. 中国古代四大发明 B. 周长为 10cm 的三角形 C. 方程 2 10x ? 的实数解 D. 地球上的小河流 10、 下列关系式中，正确的是（ ） A. ?0? B. ?00? C. ?00? D. ?0? 11、 若 ? ? ? ?2 ,0, 1 , ,0a a b? ，则 2017 2017ab? 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 12、 下列六个关系式： ? ? ? ?,
4、a b b a? ； ? ? ? ?,a b b a? ； ?0? ； ?00? ； ?0? ； ?0? ，其中正确的个数为 ( ) A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 少于 4 个 - 3 - 二、填空题（ 20分 ） 13、 已知集合 ,1,0 xA? ， 1, 2 ? yxB ，若 BA? ，则 ?y . 14、 已知集合 A=a+2， 2a2+a，若 3 A，则 a的值为 15、 定义 A-B=x|x A且 x? B，已知 A=2， 3， B=1， 3， 4，则 A-B=_ 16、 已知集合 M=3， m+1， 4 M，则实数 m的值为 _ 三、解答题（ 70分 ） （ 1
5、7题 10 分，其余 12分） 17、 已知由方程 kx2 8x 16 0的根组成的集合 A只有一个元素，试求 实数 k 的值 18、 设集合 A中含有三个元素 3， x， x2 2x. (1)求实数 x应满足的条件； (2)若 2 A，求实数 x. 19、 已知集合 A=x|x=m2-n2， m Z， n Z求证： （ 1） 3 A； （ 2）偶数 4k-2（ k Z）不属于 A 20、 设 S x|x m n ， m、 n Z (1)若 a Z，则 a是否是集合 S中的元素？ (2)对 S 中的任意两个 x1、 x2，则 x1 x2、 x1x 2是否属于 S？ 21、 已知 q和 n均为给
6、定的大于 1的自然数，设集合 M 0， 1， 2， ? ， q 1，集合 A x|x x1 x2q ? xnqn 1， xi M， i 1， 2， ? ， n (1)当 q 2， n 3时，用列举法表示集合 A. (2)设 s， tA ， s a1 a2q ? anqn 1， t b1 b2q ? bnqn 1，其中 ai， bi M， i 1， 2， ? ，n.证明：若 an bn，则 s t. 22、 对正整数 n，记 In=1， 2， 3， n， Pn= |m In， k In （ 1）求集合 P7中元素的个数； （ 2）若 Pn的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 A为
7、“ 稀疏集 ” 求 n的最大值，使 Pn能分成两个不相交的稀疏集的并 参考答案 一、单项选择 - 4 - 1、【答案】 C 2、【答案】 D 3、【答案】 C 4、【答案】 C 【解析】 解： 集合 A=-2， 1， B=-1， 2， 定义集合 A B=x|x=x1x2， x1 A， x2 B， A B=2， -4， -1， 故 A B中所有元素之积为： 2 （ -4） （ -1） =8 故选 C 5、【答案】 D 6、【答案】 A 【解析】 解：由题意，对于集合 M， =a2-4 0，解得 -2 a 2；对于集合 N， a3 若 -2 a 2，则 a3 ；反之，不成立 故选 A 7、【答案】
8、 B 【解析】 解：根据题意，由 a， ba ， 1=a2， a+b， 0可得 a=0或 ba =0， 又由 ba 的意义，则 a0 ，必有 ba =0， 则 b=0， 则 a， 0， 1=a2， a， 0，则有 a2=1，即 a=1或 a=-1， 集合 a， 0， 1中， a1 ，则必有 a=-1， 则 a2012+b2013=（ -1） 2012+02013=1， 故选 B 8、【答案】 D 【解析】 集合 b=x R|ax2-4x+1=0， a， b R， a=0，或 =16-4a=0 当 a=0时， b=x|-4x+1=0=14 ，即 b=14 ， a+b=14 ； 当 =16-4a=
9、0时， a=4， b=x|4x2-4x+1=0=12 ，即 b=12 ， a+b=92 - 5 - 故选 D 9、【答案】 D 【解析】 地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选 D. 10、【答案】 C 【解析】 因为 ?0? , ?00? ,所以选 C. 11、【答案】 A 【解析】 由题意得 a 不等于零， 2 1a a b? ? ?， 或 2 1a b a? ? ?， ,所以 11ab? ? ?， 或11ba? ? ?， ,即 2017 2017ab? 的值为 0，选 A. 12、【答案】 C 【解析】 根据集合自身是自身的子集，可知 正确；根据集合无序性可知 正确；根据元素与集合
10、只有属于与不属于关系可知 不正确；根据元素与集合之间的关系可知 正确；根据空集是任何集合的子集可知 正确，即正确的关系式个数为 4 个 ， 故选 C. 二、填空题 13、【答案】 0 【解析】 若两个集合相等 ,则两个集合中的元素完全相同 . 1 B?Q , 1 A? . 1x? , 又 0 A?Q , 0 B? , 0y? 14、【答案】 【解析】 3 A， a+2=3 或 2a2+a=3； 当 a+2=3时， a=1， 2a2+a=3，根据集合中元素的互异性， a=1不合题意； 当 2a2+a=3时， a=1或 a=- ， a=- 时， A= ， 3，符合题意 综上 a=- 故答案是 -
11、15、【答案】 A-B=2 【解析】 A=2， 3， B=1， 3， 4， 又 A-B=x|x A且 x? B， - 6 - A-B=2 16、【答案】 3 【解析】 集合 M=3， m+1， 4 M， 4=m+1， 解得 m=3 三、解答题 17、【答案】 当 k 0时，原方程变为 8x 16 0， 所以 x 2，此时集合 A中只有一个元素 2. 当 k0 时，要使一元二次方程 kx2 8x 16 0有一个实根， 需 64 64k 0，即 k 1. 此时方程的解为 x1 x2 4，集合 A中只有一个元素 4. 综上可知 k 0或 1. 【解析】 18、【答案】 (1)由集合元素的互异性可得
12、x3 ， x2 2xx 且 x2 2x3 ， 解得 x 1， x0 且 x3. (2)若 2 A，则 x 2或 x2 2x 2. 由于 x2 2x (x 1)2 1 1， 所以 x 2. 【解析】 19、【答案】 （ 1） 3=22-12， 3 A； （ 2）设 4k-2 A，则存在 m， n Z，使 4k-2=m2-n2=（ m+n）（ m-n）成立， 1、当 m， n同奇或同偶时， m-n， m+n均为偶数， （ m-n）（ m+n）为 4的倍数，与 4k-2不是 4的倍数矛盾 2、当 m， n一奇，一偶时， m-n， m+n均为奇数， （ m-n）（ m+n）为奇数，与 4k-2是偶数矛
13、盾 综上 4k-2？ A 【解析】 （ 1） 3=22-12， 3 A； （ 2）设 4k-2 A，则存在 m， n Z，使 4k-2=m2-n2=（ m+n）（ m-n）成立， 1、当 m， n同奇或同偶时， m-n， m+n均为偶数， （ m-n）（ m+n）为 4的倍数，与 4k-2不是 4的倍数矛盾 - 7 - 2、当 m， n一奇，一偶时， m-n， m+n均为奇数， （ m-n）（ m+n）为奇数，与 4k-2是偶数矛盾 综上 4k-2？ A 20、【答案】 (1)a是集合 S的元素，因为 a a 0 S (2)不妨设 x1 m n ， x2 p q ， m、 n、 p、 qZ 则
14、 x1 x2 (m n ) (p q ) (m n) (p q) ， m 、 n、 p、 qZ p qZ ，m nZ x 1 x2S ， x1x 2 (m n )(p q ) (mp 2nq) (mq np) ， m、 n、 p、 qZ 故 mp 2nqZ ， mq npZ x 1x 2S 综上， x1 x2、 x1x 2都属于 S 【解析】 21、【答案】 (1)当 q 2， n 3时， M 0， 1， A x|x x1 x2 2 x3 22， xi M， i 1， 2，3，可得 A 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 (2)证明：由 s， tA ， s a1 a2q ? anqn
15、 1， t b1 b2q ? bnqn 1， ai， bi M， i 1， 2， ? ，n 及 anbn，可得 s t (a1 b1) (a2 b2)q ? (an 1 bn 1)qn 2 (an bn)qn 1 (q 1) (q 1)q ? (q 1)q n 2 qn 1 qn 1 10， 所以 st. 【解析】 22、【答案】 （ 1） 46 （ 2） n的最大值为 14 （ 1）对于集合 P7 ，有 n=7.当 k=4时， Pn= |m In， k In中有 3个数（ 1， 2， 3）与 In=1， 2， 3， n中的数重复，由此求得 集合 P7中元素的个数为 77 3=46. - 8
16、- （ 2）先证当 n15 时， Pn不能分成两个不相 交的稀疏集的并集否则，设 A和 B为两个不相交的稀疏集，使 AB=P n？ In 不妨设 1 A，则由于 1+3=22， 3 ？ A，即 3 B同理可得， 6 A， 10 B又推出 15 A，但1+15=42， 这与 A为稀疏集相矛盾 再证 P14满足要求当 k=1时， P14= |m I14， k I14=I14，可以分成 2个稀疏集的并集 事实上，只要取 A1=1， 2， 4， 6， 9， 11， 13， B1=3， 5， 7， 8， 10， 12， 14，则 A1和 B1都是稀疏集，且 A1B 1=I14 当 k=4时，集合 |m I14中 ，除整数外，剩下的数组成集合 ， ， ， ，可以分为下列 3个稀疏集的并： A2= ， ， ， ， B2= ， ， 当 k=9时，集合 |m I14中，除整数外，剩下的数组成集合 ， ， ， ， ， ， 可以分为下列 3个稀疏集
