1、平面向量数量积从力做的功出发，类比引入向量数量积概念 引入：引入：物体在 F 作用下产生位移 S，那么F作功W=|F|S|cosSF一、两个非零向量的夹角注意：注意：作OA =a，OB =bbBaOA那么AOB=（0）叫做 a 与 b 的夹角夹角=a，b 反向（1）夹角=0a，b 同向a b已知非零向量 a bba(2)=/2时a bbAOBa(3)向量夹角是共起点后形成的角DE1350例如：在三角形ABC中，ABC=450，BA 与 BC 夹角是多少？BA 与 CB 夹角呢？ABC4501350二、数量积的定义1、两非零向量 a 和 b，夹角为，把|a|b|cos，叫a 与与 b 的数量积的
2、数量积注意：注意：（2）规定 0 与任一向量数量积等于0；记作：a b=|a|b|cos（1）不能省略；（3）a b是一数量。2、向量数量积几何意义abABO(B1)ABB1OabOABB1abOB1 =|b|cos，叫b在a上投影(数量)|b|cos的值可正、可负、也可为0。由决定（1）向量b在a上的投影（2）a b=|a|b|cos的意义是：a 的模|a|与另一向量 b 在 a 上投影|b|cos之积 3、你能由数量积定义提出下列性质吗？（a 0，b 0）e 单位向量 e a=|a|cos a，b同向，a b =|a|b|a，b反向，a b=|a|b|a a=a 2=|a|2 向量平方等于
3、模的平方cos=a b/|a|b|夹角余弦等于数量积除以模的积，ab a b=0 非零向量垂直的充要条件是数量积为0|a b|a|b|三、数量积运用三、数量积运用分析：数量积定义是什么？夹角余弦与模的积。由此知只要找出它们夹角，代入即可例1：已知|a|=3，|b|=6，当 a b；a b；a 与 b 夹角为600时，分别求 a b解：若 a、b 同向，夹角=00，a b=|a|b|cos00=18 若 a、b 反向，夹角=1800 a b=|a|b|cos=-18 a b=|a|b|cos600=9a b a b=0-AABCD分析：画出图形弄清AB，CA夹角例2：在ABC中，AB CA0，A
4、BC是什么？解：AB，CA夹角为-A由cos(-A)=AB CA/|AB|CA|0得cosA0，又0AA为钝角，故ABC为钝角三角形。练习：练习：由 a b=0，能得出 a=0或 b=0？e1，e2 是两个单位向量，e1 2=e2 2吗？|p|=2，|q|=3，夹角=450，p q=？a b=0(a 0，b 0)，a，b的夹角是多少？1、两向量夹角：两向量共起点后构成的角小结：小结：2、数量积：模的积与夹角余弦积（是一实数）3、性质：a 2=|a|2 （向量平方等于模的平方）作业：作业：P121 练习中2、3、4 习题中3。ab a b=0（非零向量垂直的充要条件是数量积为零）cos=a b/
5、|a|b|（夹角余弦等于数量积除以模的积）牛顿运动定律及其应用 一.牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。伽利略斜面实验是牛顿第一定律的实验基础。惯性的大小只跟物体的质量有关，与其它因素均无关。二.牛顿第二定律：物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。F合=ma注意：a.牛顿第二定律中的F 应该是物体受到的合外力。b.同向加速度的方向跟合外力的方向相同 c.同时加速度的大小随着合外力的大小同时变化 d.同体三.牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，
6、同时出现，同时消失，分别作用在两个不同的物体上。F=-F 一、图像类问题一、图像类问题例1、如图所示，两光滑斜面的总长度相等，两球由静止从顶端下滑，若球在图上转折点无能量损失，则下列判断正确的是（）A、两球同时落地B、b球先落地C、两球落地时速率相等D、a球先落地BC例1、物A、B、C均静止在同一水平面上，它们的质量分别为mA,mB,mC，得到三个物体的加速度a与其所受拉力F的关系如图所示，图中A、B两直线平行，则下列由图线判断的关系式正确的是 （）A、A=B=CB、mA=mBmBmCD、A2.5s画出两物块的a-t 图线如图示（见前页）“a-t”图线下的“面积”在数值上等于速度的变化v 由算
7、出图线下的“面积”即为两物块的速度 VA=（4.5+2.5）4/2=14m/s VB=（4 2.5）+（4+6）2/2=20 m/s 例、人和雪橇的总质量为75kg，沿倾角=37且足够长的斜坡向下运动，已知雪橇所受的空气阻力与速度成正比，比例系数k未知，从某时刻开始计时，测得雪橇运动的v-t图象如图中的曲线AD所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线上一点B的坐标为（4,15），CD是曲线AD的渐近线，g取10m/s2，试回答和求解：雪橇在下滑过程中，开始做什么运动，最后做什么运动？当雪橇的速度为5m/s时，雪橇的加速度为多大？雪橇与斜坡间的动摩擦因数多大？t/sV/ms-15 401510DA
8、BCt/sV/ms-15 401510DABC解：由图线可知，雪橇开始以5m/s的初速度作加速度逐渐减小的变加速运动，最后以10m/s作匀速运动 t=0，v0=5m/s 时AB的斜率等于加速度的大小a=v/t=10/4=2.5 m/s2 t=0 v0=5m/s f0=kv0 由牛顿运动定律 mgsin-mgcos kv0=ma t=4s vt=10m/s ft=kvt mgsin-mgcos kvt=0 解 得 k=37.5 Ns/m=0.125 二、斜面类问题二、斜面类问题 例1.如图示，两物块质量为M和m，用绳连接后放在倾角为的斜面上，物块和斜面的动摩擦因素为，用沿斜面向上的恒力F 拉物块
9、M 运动，求中间绳子的张力.M mF由牛顿运动定律，解：画出M 和m 的受力图如图示：N1Mgf1Tmgf2N2T对M有 F-T-Mgsin-Mgcos=Ma （1）对m有 T-mgsin-mgcos=ma （2）a=F/(M+m)-gsin-gcos （3）（3）代入（2）式得T=m(a+gsin+gcos)=mF(M+m)由上式可知：T 的大小与运动情况无关T 的大小与无关T 的大小与无关推广、如图所示，置于水平面上的相同材料的m和M用轻绳连接，在M上施一水平力F(恒力)使两物体作匀加速直线运动，对两物体间细绳拉力正确的说法是：（）(A)水平面光滑时，绳拉力等于mF/(Mm)；(B)水平面
10、不光滑时，绳拉力等于m F/(Mm)；(C)水平面不光滑时，绳拉力大于mF/(Mm)；(D)水平面不光滑时，绳拉力小于mF/(Mm)。MmF解：由上题结论：T 的大小与无关，应选 A BA B例2 、如图所示，质量为m的光滑小球A放在盒子B内，然后将容器放在倾角为a的斜面上，在以下几种情况下，小球对容器B的侧壁的压力最大的是 （）(A)小球A与容器B一起静止在斜面上；(B)小球A与容器B一起匀速下滑；(C)小球A与容器B一起以加速度a加速上滑；(D)小球A与容器B一起以加速度a减速下滑.C D 例3.一质量为M、倾角为的楔形木块，静止在水平桌面上，与桌面的动摩擦因素为，一物块质量为m，置于楔形
11、木块的斜面上，物块与斜面的接触是光滑的，为了保持物块相对斜面静止，可用一水平力F推楔形木块，如图示，此水平力的大小等于 。m M解：对于物块，受力如图示：mgN1物块相对斜面静止，只能有向左的加速度，所以合力一定向左。由牛顿运动定律得mg tan=ma a=gtan 对于整体受力如图示：fF(M+m)gN2由牛顿运动定律得F f=(m+M)af=(m+M)gF=f+(m+M)a=(m+M)g(+tan)(m+M)g(+tan)例4、如图，有一斜木块，斜面是光滑的，倾角为，放在水平面上，用竖直放置的固定挡板A与斜面夹住一个光滑球，球质量为m，要使球对竖直挡板无压力，球连同斜木块一起应向 (填左、
12、右)做加速运动，加速度大小是 .解:画出小球的受力图如图示:mgN合力一定沿水平方向向左,F=mgtana=gtan 左gtan例5、一物体放置在倾角为的斜面上，斜面固定于加速上升的电梯中，加速度为a，如图所示在物体始终相对于斜面静止的条件下，下列说法中正确的是 ()（A）当 一定时，a 越大，斜面对物体的正压力越小（B）当 一定时，a 越大，斜面对物体的摩擦力越大（C）当a 一定时，越大，斜面对物体的正压力越小（D）当a 一定时，越大，斜面对物体的摩擦力越小 a解:分析物体受力,画出受力图如图示:mg Nf将加速度分解如图示:ayaax由牛顿第二定律得到f -mgsin =masin N-m
13、gcos =macos f=m(ga)sin N=m(ga)cos 若不将加速度分解,则要解二元一次方程组.B C例、如图示，倾斜索道与水平方向夹角为，已知tan=3/4，当载人车厢匀加速向上运动时，人对厢底的压力为体重的1.25倍，这时人与车厢相对静止，则车厢对人的摩擦力是体重的 （）A.1/3倍 B.4/3倍C.5/4倍 D.1/4倍a解：将加速度分解如图示，aaxay由a与合力同向关系，分析人的受力如图示：NfmgN-mg=may ay=0.25g f =max=m ay/tg =0.25mg4/3=mg/3 A例、如图所示,一质量为M的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90，两底角为和
14、；a、b为两个位于斜面上质量均为m的小木块.已知所有接触面都是光滑的.现发现a、b沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等于 （）A.Mg+mg B.Mg+2mg C.Mg+mg(sin+sin)D.Mg+mg(cos+cos)例.有一长为40m、倾角为30的斜面，在斜面中点，一物体以12m/s的初速度和-6m/s2的加速度匀减速上滑，问经多少时间物体滑到斜面底端？（g=10m/s2)vCAB解：题目中未知有无摩擦，应该先加判断，若无摩擦，则 a=-gsin 30=-5 m/s2，可见物体与斜面间有摩擦，上滑过程受力如图示：mg Nf-mgsin 30-f=ma1 f=0
15、.1mgS 1=-v2/2a1=144/12=12mt1=-v/a1=12/6=2s下滑过程受力如图示：mg Nfmgsin 30-f=ma2 a2=4 m/s2S2=L/2+S 1=32mS2=1/2a2 t22saSt443222222t总=t1+t2=6s二、弹簧类问题二、弹簧类问题例、匀速上升的升降机顶部悬殊有一轻质弹簧，弹簧下端挂有一小球，若升降机突然停止，在地面上的观察者看来，小球在继续上升的过程中（）A速度逐渐减小 B速度先增大后减小C加速度逐渐增大D加速度逐渐减小例、在运动的升降机中天花板上用细线悬挂一个物体A，下面吊着一个轻质弹簧秤（弹簧秤的质量不计），弹簧秤下吊着物体B，如
16、下图所示，物体A和B的质量相等，都为m5kg，某一时刻弹簧秤的读数为40N，设g=10 m/s2，则细线的拉力等于_ ，若将细线剪断，在剪断细线瞬间物体A的加速度是 ，方向 _ ；物体B的加速度是 ；方向 _ 。80N18 m/s2向下2 m/s2向下AB例、竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各 与小球相连，另一端分别用销钉M N固定于杆上，小球处于静止状态.若拔去销钉M的瞬间，小球的加速度大小为12m/s2，若不拔去销钉M而拔去销钉N的瞬间，小球的加速度可能为(取g=10m/s2)()A 22m/s2，方向竖直向上 B 22m/s2，方向竖直向下 C2m/s2，方向竖直向上D2
17、m/s2，方向竖直向下B CNM解：见下页NM12（1）若上面的弹簧压缩有压力，则下面的弹簧也压缩，受力如图示：k1x1k2x2mg静止时有 k2x2=k1x1+mg拔去M k2x2-mg=12m拔去N k1x1+mg=ma a=22m/s2 方向向下NM12（2）若下面的弹簧伸长有拉力，则上面的弹簧也伸长，受力如图示：k1x1k2x2mg静止时有 k1x1=k2x2+mg拔去M k2x2+mg=12m拔去N k1x1-mg=ma a=2m/s2 方向向上 例4、质量均为m的物体A和B用劲度系数为k的轻弹簧连接在一起,将B放在水平桌面上,A用弹簧支撑着,如图示,若用竖直向上的力拉A,使A以加速
18、度a匀加速上升,试求:(1)经过多少时间B开始离开桌面 (2)在B离开桌面之前,拉力的最大值BAmm解：(1)开始时弹簧压缩 x=mg/k BAmmFB开始离开桌面时，弹簧伸长 x=mg/k A匀加速上升了 S=2x=2 mg/k 由匀加速运动公式2t21Saakmg2t 得(2)在B离开桌面之前,对A物体:F-mg-T=ma当T=mg时B离开桌面Fmax=2mg+ma例5：如图示：竖直放置的弹簧下端固定，上端连接一个砝码盘B，盘中放一个物体A，A、B的质量分别是M=10.5kg、m=1.5 kg，k=800N/m,对A施加一个竖直向上的拉力，使它做匀加速直线运动，经过0.2秒A与B脱离，刚脱
19、离时刻的速度为v=1.2m/s，取g=10m/s2,求A在运动过程中拉力的最大值与最小值。BAx1解：对整体 kx1=(M+m)g F+kx-(M+m)g=(M+m)a脱离时，A、B间无相互作 用力，对B kx2-mg=max2x1-x2=1/2 at2 a=v/t=6m/s2Fmax=Mg+Ma=168NFmin=(M+m)a=72N 练习、如图示，倾角30的光滑斜面上，并排放着质量分别是mA=10kg和mB=2kg的A、B两物块，一个劲度系数k=400N/m的轻弹簧一端与物块B相连，另一端与固定挡板相连，整个系统处于静止状态，现对A施加一沿斜面向上的力F，使物块A沿斜面向上作匀加速运动，已
20、知力 F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，g取10m/s2，求F的最大值和最小值。30ABF解：开始静止时弹簧压缩 x1=(m1+m2)g sin/k=0.15m x10.2s 末A、B即将分离，A、B间无作用力，对B物块：x2ABFkx2-m2g sin=m2a x1-x2=1/2at2 解得 x2=0.05m a=5 m/s2 t=0时，F最小，对AB整体 Fmin =(m1+m2)a=60Nt=0.2s 时，F最大，对A物块：Fmax -m1g sin=m1aFmax =m1g sin+m1a=100N 例6、质量为m的小物块，用轻弹簧固定在光滑的斜面体上，斜面的倾角为，如图所示。
21、使斜面体由静止开始向右做加速度逐渐缓慢增大的变加速运动，已知轻弹簧的劲度系数为k。求：小物块在斜面体上相对于斜面体移动的最大距离。解：静止时物体受力如图示mgNF1F1=mgsin=kx1 向右加速运动时 mgNFmaNFcossinsincos随a 增大，弹簧伸长，弹力F增大，支持力N减小，直到N=0时，为最大加速度。mgF2aF2cos=maF2sin=mg得F2=mg/sin=kx2sincos212kmgxx三、牛顿定律与运动学三、牛顿定律与运动学 例、下列关于运动状态与受力关系的说法中，正确的是：（）(A)物体的运动状态发生变化，物体的受力情况一定 变化；(B)物体在恒力作用下，一定
22、作匀变速直线运动；(C)物体的运动状态保持不变，说明物体所受的合外 力为零；(D)物体作曲线运动时，受到的合外力可能是恒力。C D 例2、用20米/秒的速度将一个质量为0.5千克的物体竖直上抛，物体上升的最大高度是12.5米.物体在运动中受到空气阻力是 ，物体从抛出到落回抛出点的时间是 .(g=10m/s2)解：上升阶段:0-v02=2a1ha1=-16 m/s2t1=-v0/a1=20/16=1.25s-(mg+f)=ma1f=-mg-ma1=0.6mg=3N下落阶段：mg f=ma2 a2=4 m/s2 由h=1/2a2t22saht5.2425222t总=t1+t2=3.75s3N3.7
23、5s例、一质量为m的人站在电梯中，电梯加速上升，加速度大小为 ，g为重力加速度。人对电梯底部的压力为（）A B2mg Cmg Dg31mg31mg34解：由牛顿第二定律 N-mg=maN=mg+ma=4mg/3 D例、放在光滑水平面上的物体,受到水平向右的力F的作用,从静止开始做匀加速直线运动.经过t 秒后,改用大小与F 相同,方向与F 相反的力F作用,F作用t秒物体回到原出发点,则 t等于 ()(A)t (B)2t (C)(D)3tt)21(解：画出运动示意图如图示，A BCv1FFA到B，匀加速运动S1=1/2a1 t2 v1=a1tB经C回到A，匀减速运动S2=v1t-1/2 a2 t
24、2a1=a2=F/m=a S1=-S2 1/2a t2=1/2 a t 2 a t t t 2 2 t t t2=0tt)21(C 练习.一个质点在一个恒力F作用下由静止开始运动，速度达到v后，撤去力F同时换成一个方向相反、大小为3F的恒力作用，经过一段时间，质点回到出发点，求质点回到出发点时的速度大小。解:画出运动过程的示意图如图示:A BCv3FFS恒力F作用时，质点做匀加速直线运动，设位移为S，加速度为a，则有v2=2aS换成恒力3F作用时，加速度为3a，质点做匀减速 直线运动，设回到出发点时速度大小为vt则有：vt2v2=2(-3a)(-S)可解得，vt=2v例、一个质量m为3 kg的
25、物块，静置在水平面上，物块与水平面间的摩擦系数为0.2，现在给物块施加一个大小为15N、方向向右的水平推力F，并持续作用6 s，在6 s末时撤去F，最后物体滑行一段距离停下来，求物块在水平面上运动的总距离。（g取10 m/s2）解：画出运动示意图，v0A BCFS1S2ff根据牛顿第二定律，a1=(F-mg)m=(15-0.2310)3=3(m/s2)6s末物体的速度及位移分别是v0=a1t1=18m/s，S1=1/2 a1t12=1/2 336=54m 撤去水平推力F，加速度变为a2=-mg/m=-g=-0.210=-2 m/s2直到停止又滑行了一段距离S2S 2=-v02 2a2=182
26、4=81m那么总距离为 S总=S1 S 2=135m 例6.物体在水平恒力F1作用下，从A点由静止开始运动，经时间t 到达B点。这时突然撤去F1，改为水平恒力F2作用，又经过时间2t 物体回到A点。求F1、F2大小之比。（不计摩擦）解:画出运动过程的示意图如图示:A BCvBF2F1S在恒力F1作用时，质点做匀加速直线运动，设位移 为S，加速度为a1，则有vB=a1 t S1=1/2a1t2 换成恒力F2作用时，加速度为-a2，质点做匀减速 直线运动，则有：S2=2vB t-2a2t2S2=-S1 4a2=5a1由牛顿运动定律 F=m a，可得 F1 F2=4 5A BCvBF2F1S又解：设
27、加速度大小分别为a1、a2，位移的大小为s，速度大小分别为vA、vB，由平均速度的定义：以开始运动的方向为正方向，,21BvtsvBA222ABvvtsvACB特别要注意速度的方向性。返回A点时的位移、速度、加速度和平均速度都为负。,23BAvv tvvatvaBAB2,21a1 /a2=4/5，F1 F2=4 5四、传送带问题四、传送带问题例1、如图所示，传送带不动时，物体由皮带顶端A从静止开始下滑到皮带底端B用的时间为t，则：（）A.当皮带向上运动时，物块由A 滑到B 的时间一定大于t B.当皮带向上运动时，物块由A 滑到B 的时间一定等于t C.当皮带向下运动时，物块由A 滑到B 的时间
28、可能等于t D.当皮带向下运动时，物块由A 滑到B 的时间可能小于tABABvNfmgABvNfmgNfmg当=0时，C对B、C、D例：如图示，传送带与水平面夹角为370，并以v=10m/s运行，在传送带的A端轻轻放一个小物体，物体与传送带之间的动摩擦因数=0.5，AB长16米，求：以下两种情况下物体从A到B所用的时间.（1）传送带顺时针方向转动（2）传送带逆时针方向转动AB解：（1）传送带顺时针方向转动时受力如图示：vNfmgmg sinmg cos=m aa=gsingcos=2m/s2S=1/2at2saSt421622ABv（2）传送带逆时针方向转动物体受力如图：Nfmg开始摩擦力方向
29、向下,向下匀加速运动 a1=g sin370+g cos370=10m/s2t1=v/a1=1s S1=1/2 a1t12=5m S2=11m 1秒后，速度达到10m/s，摩擦力方向变为向上 Nfmga2=g sin370-g cos370=2 m/s2 物体以初速度v=10m/s,向下作匀加速运动 S2=vt2+1/2a2t22 11=10 t2+1/22t22t2=1st=t1+t2=2s 例、例、如图所示为车站使用的水平传送带装置的示意图.绷紧的传送带始终保持3.0ms的恒定速率运行，传送带的水平部分AB距水平地面的高度为h=0.45m.现有一行李包(可视为质点)由A端被传送到B端，且传
30、送到B端时没有被及时取下，行李包从B端水平抛出，不计空气阻力，g取l 0 m/s2 (1)若行李包从B端水平抛出的初速v3.0ms，求它在空中运动的时间和飞出的水平距离；(2)若行李包以v01.0ms的初速从A端向右滑行，包与传送带间的动摩擦因数0.20，要使它从B端飞出的水平距离等于(1)中所求的水平距离，求传送带的长度L应满足的条件.BALhFmgma （1）设行李包在空中运动时间为t，飞出的水平距 离为s，则（2）设行李包的质量为m，与传送带相对运动时的加速度为a，则滑动摩擦力要使行李包从B端飞出的水平距离等于（1）中所求水平距离，行李包从B端飞出的水平抛出的初速度v=3.0m/s2as0=v2-v02 代入数据得 s02.0m 故传送带的长度L应满足的条件为：L2.0m BALhh=1/2 gt2 sv t代入数据得：t0.3s s0.9m代入数据得：a2.0m/s2设行李被加速到时通过的距离为s0，则解：
