1、量子力学无基础入门小抄 March 6, 2020 1课课课程程程大大大纲纲纲概概概念念念地地地图图图 Figure 1: 课程内容概念地图 2经经经典典典量量量子子子概概概率率率论论论数数数学学学框框框架架架对对对比比比 1. 经经经典典典状状状态态态独立没没没有有有加加加法法法；量量量子子子状状状态态态不独立，有有有加加加法法法 2. 状态是密度矩阵，相同，经典对角量子非对角由状态的差异造成 3. 物理量是算符A，相同，经典对角量子非对角，由状态的差异造成 4. 对某一状态测量某一物理量A，均值遵循hAi= tr(A)，相同 5. 测量后状态相同：afm= |mihm|bfm|mihm|
2、|mihm| 6. 系统的演化相同：f= AiA 除除除了了了量量量子子子状状状态态态有有有加加加法法法而而而经经经典典典状状状态态态不不不能能能相相相加加加天天天生生生就就就正正正交交交之之之外外外，两两两者者者没没没有有有任任任何何何 不不不同同同！ 1 3经经经典典典随随随机机机状状状态态态数数数学学学模模模型型型基基基本本本框框框架架架 1. 可能的状态记为：，例如上下、正反、1、1,0，满足 h| i = (1) 2. 状态的数学描述是密度分布函数： c= X p|ih|(2) 3. 所需要测量的量是对角矩阵： A = X |ih|(3) 4. 在这个状态c下，测量A之后得到的均值为
3、 hAic= tr(Ac)(4) 5. 测量后状态就是所记录到的状态，也就是 cafm= |mihm|cbfm|mihm| |mihm|(5) 6. 状态在操作A作用下的变化为 cf= AciA(6) 4量量量子子子概概概率率率论论论基基基本本本框框框架架架 1. 量子状态不独立，不正交，有加法 h |i 6= (7) 可以取任意正交归一基矢来展开，例如|+i = 2 2 (|i + |i) 2. 状态是密度矩阵，可能有非对角元素，例如 = |+ih+| = 1 2 (|ih| + |ih| + |ih| + |ih|)(8) 3. 物理量是算符A，可能有非对角元素，例如x= ?0 1 10
4、? 4. 对某一状态测量某一物理量A，均值遵循 hAi= tr(A)(9) 5. 测量后状态：记录到哪一个可能状态，则系统在测量之后就处于相应的本征态， afm= |mihm|bfm|mihm| |mihm|(10) 6. 系统的演化满足 f= AiA= eiHtieiHt(11) 其他关键词：以学科大图景为目标的以批判性思维系联性思考为基础的概念地图为 技术的理解型学习、科学就是关于世界的可计算的可检验（可证伪）的模型、科学知识 （模型和概念）一般还具有系统性、数学是思维的语言是描述世界的语言、学习是为了 提出问题和面对问题为了创造所以要体验式创造式地来学习 2 5基基基本本本运运运算算算：
5、矢矢矢量量量相相相乘乘乘，矩矩矩阵阵阵相相相乘乘乘，部部部分分分迹迹迹 1. 最基本的运算： |i|i = |i,(12) h| i = .(13) 2. Dirac符号形式的矢量相乘：对于矢量， |i = ? 1 2 ? = 1|1i + 2|2i,|i = ? 1 2 ? = 1|1i + 2|2i,(14) 有（忽略复数的共轭，当做实数） h| i = X h| ! X |i ! = X = X ,(15) |i|i = X |i ! X |i ! = X |i.(16) h| i = ? 1,2 ? ? 1 2 ? = 11+ 22,(17) |i|i = ? 1 2 ? 1 2 ?
6、= 11 12 21 22 . (18) 3. Dirac符号形式的矩阵相乘：对于矩阵 A = ?a 11 a12 a21a22 ? = a11|1ih1| + a12|1ih2| + a21|2ih1| + a22|2ih2|,(19) = ? 11 12 2122 ? = 11|1ih1| + 12|1ih2| + 21|2ih1| + 22|2ih2|,(20) 有 A = ?a 11 a12 a21a22 ? 11 12 2122 ? ,(21) = ?a 1111+ a1221 a1112+ a1222 a2111+ a2221a2112+ a2222 ? (22) A =(a11|1ih1| + a12|1ih2| + a21|2ih1| + a22|2ih2|) (11|1ih1| + 12|1ih2| + 21|2ih1| + 22|2ih2|),(23) =(a1111+ a1221)|1ih1| + (a1112+ a1222)|1ih2| +(a2111+ a2221)|2ih1| + (a2112+ a2222)|2ih2|.(24) 4. 求迹 tr(A) = X h|A|i = a1111+ a1221+ a2112+ a2222.(25) 3
