1、 概率与统计概率与统计过关检测题过关检测题 1、 （2020 届广西柳州市高三第一次模拟）为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该 地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先了解到该地区老中、青三个年龄段人员的“微信 健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健走”活动情况差异不大，在下面的抽样方法中， 最合理的抽样方法是（ ） A简单随机抽样 B按性别分层抽样 C按年龄段分层抽样 D系统抽样 【答案】C 【解析】根据该地区老中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异， 而男女“微信健走”活动情况差异不大，最合理的抽样方法是按年龄段分层抽样， 这种抽样分式，更具有代表性，比较合理.
2、故选 C。 2、 （2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分 为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩， 即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为 A，B，C，D， E 五个等级.某试点高中 2019 年参加“选择考”总人数是 2017 年参加“选择考”总人数的 2 倍， 为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况， 统计了该校 2017 年和 2019 年“选择考”成绩 等级结果，得到如图表： 针对该校“选择考”情况，2019 年与 2017 年比较，下列说法正确的是( ) A获得
3、A 等级的人数不变 B获得 B 等级的人数增加了 1 倍 C获得 C 等级的人数减少了 D获得 E 等级的人数不变 【答案】D 【解析】设 2017 年参加“选择考”总人数为a，则 2019 年参加“选择考”总人数为2a； 则 2017 年获得 A 等级有0.25a人，2019 年获得 A 等级有0.25 20.50.25aaa，排除 A； 2017 年获得 B 等级有0.35a人，2019 年获得 B 等级有0.4 20.82 0.35aaa，排除 B； 2017 年获得 C 等级有0.28a人， 2019 年获得 C 等级有0.23 20.460.28aaa， 排除 C； 2017 年获得
4、 E 等级有0.04a人，2019 年获得 E 等级有0.02 20.04aa，人数不变， 故选 D。 3、 （2020 届甘肃省高三第一次高考诊断）某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采 用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二 年级应抽取人数为（ ） A20 B16 C14 D12 【答案】B 【解析】由题意可知，高二学生所占的比例为0.32，所以，高二年级应抽取人数为 50 0.3216. 故选 B。 4、 （2020 届甘肃省高三第一次高考诊断）为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国 传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重
5、阳节中随机选取两个节日来学 习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为（ ） A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 【答案】C 【解析】将春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节分别记为a、b、c、d、e， 从上述五个节日中任取两个节日，所有的基本事件有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、 cd、ce、de，共10种情况， 其中，事件“中秋节被选中”所包含的基本事件有：ad、bd、cd、de，共4种情况， 因此，所求事件的概率为. 4 0 4 10 . 故选 C。 5、 （2020 届甘肃省兰州市高三诊断）已知集合 571113 , 66666 A ，从A中任选 两个角，其正弦值相等的概率是
6、（ ） A 1 10 B 2 5 C 3 5 D 3 10 【答案】B 【解析】由题意可得 5131 sinsinsin 6662 ， 7111 sinsin 662 ， 从A中任选两个角，所有的基本事件有： 5 , 66 、 7 , 66 、 11 , 66 、 13 , 66 、 57 , 66 、 6 5 6 11 , 、 513 , 66 、 711 , 66 、 713 , 66 、 1113 , 66 ，共10 种情况. 其中， 事件“从A中任选两个角， 其正弦值相等”包含的基本事件有： 5 , 66 、 13 , 66 、 513 , 66 、 711 , 66 ，共4个， 因此
7、，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率为 42 105 . 故选 B。 6、 （2020 届甘肃省兰州市高三诊断）近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的 关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 根据表及图得到以下判断： 羊只数量与草场植被指数成减函数关系； 若利用这五组数据 得到的两变量间的相关系数为 1 r，去掉第一年数据后得到的相关系数为 2 r，则 12 rr ； 可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2 万只时的草场植被指数
8、；以上判断中正 确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】B 【解析】对于，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，错误； 对于，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为 1 r，第一组数据(1,4,1,1)是离群值， 去掉后得到的相关系数为 2 r，其相关性更强， 12 rr ，正确； 对于，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数，只是 预测值，错误；综上可知正确命题个数是 1 故选 B。 7、 （2020 届广东省东莞市高三模拟）为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园 十大歌手”比赛，比赛现场有 7 名评委给选手评分，另外，学校也
9、提前发起了网络评分，学 生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分某选手参加比赛后，现场 评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示： 评委序号 评分 10 8 9 8 9 10 9 记现场评委评分的平均分为 1x，网络评分的平均分为2x，所有评委与场内学生评分的平均 数为x，那么下列选项正确的是（ ） A 12 2 xx x B 12 2 xx x C 12 2 xx x Dx与 12 2 xx 关系不 确定 【答案】C 【解析】 1 108989 109 9 7 x ， 2 0.1 70.1 80.2 90.6 109.3x ， 则 12 9.15 2 xx ，设场内学生
10、人数为(100)a a ， 则 9.3639.3(7)2.12.1 9.3 777 aa x aaa ， 因为100a ， 所以 12 2.12.1 9.39.39.28 71072 xx x a ， 故选 C。 8、 （2020 届广东省汕头市高三第一次模拟）近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与 沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ） 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 20132018 年这 6 年中，2014 年中国到“一带
11、一路”沿线国家的游客人次增幅最小 20162018 年这 3 年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 A B C D 【答案】A 【解析】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故正确； 由图在 2014 年中折线比较平缓，即 2014 年中游客人次增幅最小，故正确； 根据图像在 20162018 年这 3 年中，折线的斜率基本相同， 故每年的增幅基本持平，故正确； 故选 A。 9、 （2020 届广西柳州市高三第一次模拟）某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下 对应数据（单位：百万元） ，根据下表求出y关于x的线性回归方程为 6.517.5yx ，则 表中a的值
12、为（ ） x 2 4 5 6 8 y 30 40 57 a 69 A50 B54 C56.5 D64 【答案】B 【解析】根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到 196 5,50 5 a xy ，得到a 的值为54. 故答案为 B。 10、 （2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测）郑州市 2019 年各月的平均气温( )数据 的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ） A20 B21 C20.5 D23 【答案】C 【解析】由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34， 故中位数是： 2021 20.5 2 ，故选 C。 11、 （20
13、20 届湖北省高三模拟）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建 文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分 100 分） ，从中随机抽取一个 容量为 120 的样本，发现所给数据均在40，100内现将这些分数分成以下 6 组并画出样 本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形则下列说法中有错误 的是（ ） A第三组的频数为 18 人 B根据频率分布直方图估计众数为 75 分 C根据频率分布直方图估计样本的平均数为 75 分 D根据频率分布直方图估计样本的中位数为 75 分 【答案】C 【解析】对于 A，因为各组的频率之和等于 1，所以分数在60，7
14、0）内的频率为：f110 （0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）0.15， 所以第三组60,70）的频数为 120 0.1518（人） ，故正确； 对于 B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计 值为 75 分，故正确；对于 C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45 （10 0.005）+55 （10 0.015）+65 （10 0.015）+75 （10 0.03）+85 （10 0.025）+95 （10 0.01）73.5（分） ，故错误； 对于 D，因为（0.05+0.15+0.15） 100.350.5， （0
15、.05+0.15+0.15+0.3） 100.5，所以中 位数位于70,80）上，所以中位数的估计值为：70 0.50.35 0.030 75，故正确； 故选 C。 12、 （2020 届陕西省汉中市高三质检）总体由编号 01，,02，19,20 的 20 个个体组成利 用下面的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由 左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A08 B
16、07 C02 D01 【答案】D 【解析】 从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为： 08,02,14,07,01， 所以第 5 个个体是 01，故选 D。 13、 （2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟）“总把新桃换旧符”（王安石） 、“灯前小草写桃 符”（陆游） ，春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而 现代的人们通过贴春联、 挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿 某商家在春节前开展商品 促销活动， 顾客凡购物金额满 50 元， 则可以从春联和灯笼这两类礼品中任意免费领取一件， 若有 3 名顾客都可领取其中一件礼品，则他们有且仅有 2
17、人领取的礼品种类相同的概率是 （ ） A 1 4 B 3 8 C 5 8 D 3 4 【答案】D 【解析】3 名顾客都可领取其中一件礼品的所有等可能结果：2 2 28N ， 有且仅有 2 人领取的礼品种类相同共有：2 36 ， 他们有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率 63 84 P ， 故选 D。 14、 （2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟）为了解某地中小学生的近视形成原因，教育部 门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做了一次普查 现该地中小学生人数和普查得到 的近视情况分别如图 1 和图 2 所示 （1）求该地中小学生的平均近视率（保留两位有效数字） ； （2）为调查中学生用眼
18、卫生习惯，该地用分层抽样的方法从所有初中生和高中生中确定 5 人进行问卷调查， 再从这 5 人中随机选取 2 人继续访谈， 则此 2 人全部来自高中年级的概率 是多少？ 【答案】 （1）27.07%； （2） 1 10 P 【解析】 （1）近视率 3200 10%3000 30%2000 50% 100%27.07% 300032002000 ； （2）根据分层抽样的特点，高中取 2 名，初中取 3 名， 记高中两名为,A B，初中 3 名为1,2,3， 则所有等可能结果为( ,),( ,1),( ,2),( ,3),( ,1),( ,2),( ,3),(1,2),(1,3),(2,3)A B
19、AAABBB 共 10 个， 记事件M为“此 2 人全部来自高中年级”有( ,)A B，共 1 个， 1 10 P . 15、 （2020 届四川省泸州市高三二诊）某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广 告投入对销售收益的影响， 在若干销售地区分别投入 4 万元广告费用， 并将各地的销售收益 绘制成频率分布直方图（如图所示） ，由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确 定横轴是从 0 开始计数的. （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入 4 万元广告 费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值） ； （2）该公司按照类似的
20、研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表： 广告投入 x （单位： 万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y （单位： 万元） 2 3 2 7 由表中的数据显示，x 与 y 之间存在着线性相关关系，请将（1）的结果填入空白栏，根据 表格中数据求出 y 关于 x 的回归真线方程y bxa ， 并估计该公司下一年投入广告费多少 万元时，可使得销售收益达到 8 万元？ 参考公式：最小二乘法估计分别为 2 1 1 2 2 1 1 () n n ii ii i i n n i i i i xyx ynxy b xxn xy xx ， axby . 【答案】 （1）宽度为：2， 平均值：5（2）空白栏中
21、填 5，1.2.2 0yx ，投入6.5万元 【解析】 （1）设长方形的宽度为 m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1， 可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m1，所以 m2. 小组依次是0，2） ，2，4） ，4，6） ，6，8） ，8，10） ，10，12） ， 其中点分别为 1，3，5，7，9.11 对应的频率分别为 0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04. 故可估计平均值为 1 0.16+3 0.20+5 028+7 0.24+9 0.08+11 0.045. （2）空白栏中填 5. 由题意可知，x 3，y 3.8， 5 1 ii
22、i x y 69， 5 2 1 i i x 55， 所以 2 695 3 3.8 555 3 b 1.2，abyx3.81.2 30.2. 所以关于 x 的回归方程为1.2.2 0yx 取8y ，得到6.5x. 16、 （2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟）某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考 试中的作文分数的关系，随机调查了本市某中学高三文科班6名学生每周课外阅读时间x （单位：小时）与高三下学期期末考试中语文作文分数y，数据如下表： i x 1 2 3 4 5 6 i y 38 40 43 45 50 54 （1）根据上述数据，求出高三学生语文作文分数y与该学生每周课外阅读时间x的
23、线性回 归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文成绩； （2）从这6人中任选2人，这2人中至少有1人课外阅读时间不低于5小时的概率. 参考公式：y bxa ，其中 11 2 2 2 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ，aybx $ 参考数据： 6 1 1001 ii i x y ， 6 2 1 91 i i x ，45y 【答案】 （1）3.233.8yx；预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文成绩为 56.2（2） 3 5 【解析】 （1）根据表中数据,计算3.5x ,45y , 6 1 62 2 2 1 6 1001
24、 6 3.5 45 3.2 91 6 3.5 6 ii i i i x yxy b xx . 45 3.2 3.533.8aybx , y关于x的线性回归方程为：3.233.8yx, 当7x 时,3.2 733.856.2y . 预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文成绩为56.2. （2）设这6人阅读时间依次为1、2、3、4、5、6的同学分别为A、B、C、D、E、 F, 从中任选2人,基本事件是AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、 CE、CF、DE、DF、EF共15种, 其中至少1人课外阅读时间不低于5小时的事件是、AE、AF、BE、BF、CE、CF、 DE、
25、DF、EF共9种, 故所求的概率为 93 155 P . 17、 （2020 届山西省太原市高三模拟）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教 职工一天行走步数（单位：百步） ，绘制出如下频率分布直方图： （）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数； （）若该校有教职工 175 人，试估计一天行走步数不大于 130 百步的人数； （）在（）的条件下该校从行走步数大于 150 百步的 3 组教职工中用分层抽样的方法选 取 6 人参加远足活动，再从 6 人中选取 2 人担任领队，求这两人均来自区间150,(170的概 率 【答案】 （）0.008a，中位数为 1
26、25； （）98； （） 2 5 【解析】 （）由题意得 0.002 200.006 20200.012 200.010 20200.002 200.002 201aa ， 解得0.008a，设中位数为110 x，则 0.002 200.006 200.008 200.0120.5, x解得15x ，所以中位数为 125. （）由175 (0.002200.006200.008200.01220)98， 所以估计一天步行数不大于 130 百步的人数为 98 人. （）在区间150,(170中有 28 人，在区间(170,190中有 7 人，在区间(190,210中有 7 人，按分层抽样抽取 6
27、 人，则从150,(170抽取 4 人，(170,190和(190,210中各抽取 1 人，设从150,(170抽取 1234 ,A A A A，从(170,190中抽 B，从(190,210中抽 C，则从 6 人中抽取 2 人的情况有： 12131411232422343344 ,AA AA AA AB AC A A A A A B AC A A A B AC A B AC BC共 15 种情 况， 其中满足两人均来自区间150,(170的有 121314232434 ,AA AA AA A A A A A A，共 6 种情况， 所以概率 62 155 P ，所以两人均来自区间150,(17
28、0的概率为 2 5 . 18、 （2020 届湖南省常德市高三模拟）某学校为了了解学生对3.12 植树节活动节日的相 关内容，学校进行了一次 10 道题的问卷调查，从该校学生中随机抽取 50 人，统计了每人答 对的题数，将统计结果分成0,2)，2,4)，4,6)，6,8)，8,10五组，得到如下频率分 布直方图. （1）若答对一题得 10 分，答错和未答不得分，估计这 50 名学生成绩的平均分； （2）若从答对题数在0, 4)内的学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人答对题数在2 , 4)内的 概率. 【答案】 （1）63.5（2） 8 15 【解析】 （1）答对题数的平均数为(1 0.023
29、 0.045 0.1270.2290.10)26.35 ， 所以这 50 人的成绩平均分约为10 6.3563.5. （2）答对题数在0,2)内的学生有0.02 2 502 人，记为,A B 答对题数在2,4)内的学生有0.04 2 504 人，记为a b c d, , 从答对题数在0,4)内的学生中随机抽取 2 人的情况有( ,)A B，(A,a)，(A,b)，( , )A c， ( , )A d，( ,a)B，( ,b)B，( , )B c，( , )B d，( , )a b，( , )a c，( , )a d，( , )b c，( , )b d，( , )c d 共 15 种 其中恰有
30、1 人答对题数在2,4)内的情况有 8 种 所以恰有 1 人答对题数在2,4)内的概率 8 15 P . 19、 （2020 届湖北省高三模拟）2020 年春节期间，新型冠状病毒（2019nCoV）疫情牵动 每一个中国人的心，危难时刻全国人民众志成城共克时艰，为疫区助力我国 S 省 Q 市 共 100 家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力， 募捐价值百万的物资对口输送湖北省 H 市 （1）现对 100 家商家抽取 5 家，其中 2 家来自 A 地，3 家来自 B 地，从选中的这 5 家中， 选出 3 家进行调研求选出 3 家中 1 家来自 A 地，2 家来自 B 地的概率 （2） 该市一商
31、家考虑增加先进生产技术投入， 该商家欲预测先进生产技术投入为 49 千元的 月产增量现用以往的先进技术投入 xi（千元）与月产增量 yi（千件） （i1，2，3，8） 的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线yab x的附 近，且：46.65636.8xyt， 8 2 1 289.9 i i xx ， 8 2 1 1.6 i i tt ， 8 1 1469 ii i xxyy ， 8 1 108.8 ii i ttyy ，其中， ii tx， 8 1 1 8 i i tt ， 根据所给的统计量，求 y 关于 x 回归方程，并预测先进生产技术投入为 49 千元时的月产增
32、量 附：对于一组数据（u1，v1） （u2，v2） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘法估 计分别为 1 2 1 n ii i n i i uuvv vu uu ， 【答案】 （1）0.6； （2）y100.6+68 x，576.6 千件 【解析】 （1）设 A 地 2 家分为 A1，A2，B 地 3 家分为 B1，B2，B3，由题意得，所有情况为： （A1,A2,B1） ， （A1,A2,B2） ， （A1,A2,B3） ， （A1,B1,B2） ， （A1,B 1,B3） ， （A1,B2,B3） ， （A2,B1,B2） ， （A2,B1,B3） ， （A2,B2,B3） ，
33、（B1,B 2,B3） ， 共 10 种，其中 A 地 1 家，B 地 2 家的有 6 个，故所求的概率为 6 0.6 10 ； （2）由线性回归方程公式， 8 1 8 2 1 108.8 68 1.6 () ii i i i ttyy b tt ， 且 a56368 6.8 100.6ybt ， 所以线性回归方程为：y100.6+68 x， 当 x49 时，年销售量 y 的预报值 y100.6+68 7576.6 千件， 故预测先进生产技术投入为 49 千元时的月产增量为 576.6 千件 20、 （2020 届广东省湛江市模拟）我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施国
34、 家统计局发布的数据显示，从 2012 年到 2017 年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在 5上下波动（如图） 为了了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何， 统计部门按年龄分 为 9 组，每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表： 年 龄 区 间 24,26 27,29 30,32 33,35 36,38 39,41 42,44 45,47 48,50 有 意 愿 数 80 81 87 86 84 83 83 70 66 （1）设每个年龄区间的中间值为x，有意愿数为y，求样本数据的线性回归直线方程，并 求该模型的相关系数r（结果保
35、留两位小数） ； （2）从24,26，33,35，39,41，45,47，48,50这五个年龄段中各选出一对夫妻 （能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这 5 对夫妻中任选 2 对夫妻求 其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率 （参考数据和公式： 1 22 11 ii i n n n ii ii xxyy r xxyy ， 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx， 999 111 iiiii iii xxyyx yxy ， 9 1 26340 ii i x y ， 224640473.96 ） 【答案】 （1）0.56100.72yx -0.63
36、（2） 3 5 【解析】 （1）由题意可求得： 333 37 9 x ， 9 1 720 i i y ，80y ， 9 1 26640 i i xy ， 9 1 26340 ii i x y ， 999 111 2634026640300 iiiii iii xxyyx yxy 又 22 9 2 2 1 22222 1296336912540 i i xx ， 9 2 1 0149361699100196416 i i yy ， 99 22 11 540416224640 ii ii xxyy 300 0.56 540 b 100.72aybx 回归直线方程为0.56100.72yx 9 1
37、99 22 11 300300 0.63 473.96224640 i i ii ii i xxyy r xxyy （2）由题意可知，在24,26，33,35，39,41年龄段中， 超过半数的夫要有生育二孩意愿，在45,47，48,50年龄段中， 超过半数的夫妻没有生育二孩意愿 设从24,26，33,35，39,41年龄段中选出的夫妻分别为 1 A， 2 A， 3 A， 从45,47，48,50年龄段中选出的夫妻分别为 1 B， 2 B 则从中选出 2 对夫妻的所有可能结果为 12 ,A A， 13 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 23 ,A A， 21 (,)A B， 22 (,)A B， 31 (,)A B， 32 (,)A B， 12 (,)B B ，共 10 种情况 其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的情况有 11 ,A B， 12 (,)A B， 21 (,)A B， 22 ,A B， 31 ,A B， 32 ,A B，共 6 种 恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率 63 105 P
