1、第一章 行列式111 1122121 12222a xa xba xa xb引例：设有二元一次线性方程组 112221 1212221211 221 112112221 12112221 120,a aa abab aa ba bxxa aa aa aa a公当时，式不好记！1111222211221221 12211221.1Daa aaaa aaaaaa定义1 令 =其中记号叫做一个二阶行列式。1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式211211 1122121 1222212221211 221 112112221 12112221 121211222112111211122122221
2、22,a xa xba xa xbbab aa ba bxxa aa aa aa aaaaaxxaaaaabaababb这用行列式时，方程组的解为表示：311 1122121 1222212221211 221 112112221 12112221 121112121112212222211122,a xa xba xa xbbab aa ba bxxa aa aa aa aaaabbbaDDDaaaab这时，方程组的解为令 1122DxDDxD则41212123320 xxxx例：解方程组的解132231203x解：利用行列式表示210223323x 1(2)0322,2(2)3 31313
3、 203 131313 51112212211222112aaaa aaaa一般地，二阶行列式是其值为，数一个其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。611a12a22a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa.2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算 对角线法则对角线法则例如131 7(2)31327 21a7三阶行列式三阶行列式定义1.2 令312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa称
4、之为为一个三阶行列式。可用下面的对角线法则记忆332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa82-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 14 93215 52921xyzyzxyz例1.1 解线性方程组321052211D解：3 5(1)(2)(2)2 1 0 1 1 5 2 (2)0(1)3(2)1 110 101159215
5、255111D 2310159299211D 33205198211591D 1155511DxD所以，2299911DxD331981811DxD1111 11221121 1222221 122n nn nnnnn nna xa xa xba xa xaxba xaxaxb对于n元线性方程组：其所有系数构成的n阶行列式如何计算？111212122212?nnnnnnaaaaaaDaaa12如4阶排列：1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4
6、132 4213 4231 4312 4321（共4！=24个4阶排列）n阶排列共有n!个。1.2 n阶排列及其逆序数，对换阶排列及其逆序数，对换1 2 1,2,3,n 2.1nniiinn由自然数组成的任意一个 元有序 数组称为一个 阶排列。其中123称为自定义然排列。13如：314652中，31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数(314652)=6记k=排列j1j2jn中数字k前面比k大的数的个数。则(314652)=1+2+3+4+5+6 =1 +4 +0 +0 +1+0 =61 21 2 2).(2nniiiiii在一个排列中，如果一个较大的数
7、排在一个较小的数之前，则称这两个数构成一个逆序。在一个排列中，逆序的 总数称为这个排列的逆序数，记为。逆序数为奇 数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为定义偶排列。14(314625)=5，314625是奇排列。(314652)=6，314652是偶排列。逆序数的性质，0)12(n2)1()321)1(nnnn1 2(1)0()2nn niii15定义定义2.3 把一个排列中两个数i,j的位置互换而保持其余数字的位置不动，则称对这个排列施行了一个对换，记作(i,j).两个相邻位置数字的对换称为相邻对换，否则称为一般对换。如：8阶排列：78351426 经过相邻对换(8,3)后，排列变成 7
8、3851426 再经过对换(5,2)后，排列变成 7382145616定理定理2.12.1一个排列中的任意两个元素对换，排一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性列改变奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.b,aabba17当当 时，时，ba ab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.当当 时，时，b
9、a 18次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111111,lmnbaaab bcc次相邻对换次相邻对换12 m111,lmnaa bb acbc所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab设排列为设排列为nmlcbcbabaa111现来对换现来对换 与与a.b19推论推论2.1 排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变。排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变。经过偶数次对换其奇偶性不变。经过偶数次对换其奇偶性不变。20推论推论2.2 当当n2时，在所
10、有时，在所有n!个个n阶排列中，奇排列阶排列中，奇排列 的数目和偶排列的数目相等，各有的数目和偶排列的数目相等，各有 个。个。!2n证明证明：假设所有：假设所有n阶排列中，奇排列的总数目为阶排列中，奇排列的总数目为s，偶排列的总数目是偶排列的总数目是t。则。则 s+t=n!将所有将所有s个奇排列各作（个奇排列各作（i,j）对换，则这）对换，则这s个个奇排列变成奇排列变成s个偶排列，则个偶排列，则 s t 将所有将所有t个偶排列各作（个偶排列各作（i,j）对换，则这）对换，则这t个个偶排列变成偶排列变成t个奇排列，则个奇排列，则 t s 则则 s=t=n!/2211 2 31 2 3 122.2
11、3nnnii iiii ii自然数列可以与任意n阶排列经过 一系列对换后相互转换，且所作对换的次数与 排列具有相同的奇偶性。（证明略，可对n用定理归纳法证明）221.3 n n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项，即项，即 项项!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积23（3 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
12、）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列1 2 31231 2 3111213()212223123313233(1)j j jjjjj j jaaaaaaa aaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 取正号的取正号的3项的列下标排列：项的列下标排列：123 231 312 都是偶排列都是偶排列取负号的取负号的3项的列下标排列：项的列下标排列：321 132 213 都是奇排列都是奇排列24定义3.1 设aij（i,j
13、=1,2,n）是n2个数（也称为元 素），定义n阶行列式1 2121 21112121222()1212(1)nnnnnj jjjjnjj jjnnnnaaaaaaa aaaaa其中，表示对所有的n阶排列求和。1 2nj jj25例如 按定义计算11122122aaaa解解1 2121 21112()122122(1)j jjjj jaaa aaa12211221()()1212(1)(1)a aa a 011122122111221221(1)(1)a aa aa aa a 263.2 000000000012100nnnD例题计算 阶行列式1 2121 2()12 =(1)nnnj jjj
14、jnjj jjDa aa解(234 1)12231,1(1)nnnna aaa 11(1)1 2(1)(1)!nnnnn 27例例3.33.3 计算计算上上三角行列式三角行列式11121222 0 0 0 nnnnaaaaaa解：解：1 2121 211121222()120(1)00nnnnnj jjjjnjj jjnnaaaaaa aaa1 211211 21()121,(1)nnnj jjjjnnjnjjnnja aaa(123)11221122(1)nnnnna aaa aa 28同理同理 计算计算下下三角行列式三角行列式解：解：1 2121 2112122()1212000(1)nn
15、nj jjjjnjj jjnnnnaaaa aaaaa222()12111(1)nnnjjjnjjja aa(123)11221122(1)nnnnna aaa aa 11212212000nnnnaaaaaa29 计算计算主对角线主对角线行列式行列式解：解：11221122000000nnnnaaa aaa1122000000nnaaa30 计算计算副对角线副对角线行列式行列式解：解：12,11000000nnnaaa12,1(1)21)12,11,2110000(1)00nnn nnnnnnaaa aaaa(1)212,11,21(1)n nnnnna aaa 311 2121 21231
16、112121222()1212123(1)nnnnnnj jjjjnjj jjnnnnnj j jjnaaaaaaa aaaaa将行下标固定按自然排列，将列下标做各种 阶排列1 2121 21112121222()12121 2 3123(1)nnnni iiiiiinnnnnnniinnaaaaiaaa aaaiaaii：将列下标固定按自然排列，行下 标 将做各种 阶排列也可以321.4 n阶行列式的性质及计算阶行列式的性质及计算性质性质4.1 行列互换（即行列式转置），行列式的值不变行列互换（即行列式转置），行列式的值不变行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.TDD
17、nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211TDD33112111112112222212221212 (,1,2,)ijjinnnnTnnnnnnnnbai jnaaabbbaaabbbDaaabbb证设右边的1 2121 2()12(1)nnnj jjjjj nj jjb bb1 2121 2()12(1)nnnj jjjjnjj jja aaD 左边的34性质性质4.2 行列式的某行（列）元素全为行列式的某行（列）元素全为0，则行列式，则行列式 为为0。即。即11121120000nnnnnaaaaaa12 i00
18、iiinaaa不妨设第 行全为，证1 2121 2()12=(1)00nnnj jjjjnjj jja aa 1 2121 2()12=(1)nnnij jjjjnjj jjija aaa行列式35性质性质4.3 交换行列式的两行（列），行列式变号。即交换行列式的两行（列），行列式变号。即1112111121121222121112 ()nnnqqpppnppnpnnnnnnnqnqqqnaaaaaaaapqpqaaaaaaaaaaaaaaaa第 行第 行1 2121 2121pqnpqnnj jjjjjjpjqjnjj jja aaaa（）左（）证：361112111121121212121
19、212 nnqqqnpppnpppnqqqnnnnnnnnnaaabbbaaabbbaaabbbaaabbb令第p行第q行交换后的行列式D1=1 2121 21121pqnpqnnj jjjjjjpjqjnjj jjDb bbbb（）（）1 2121 212 1pqnpqnnj jjjjqpjjjjnjj jja aaaa（）（）1 2121 212 1pqnqpnnj jjjjpqjjjjnjj jja aaaa（）（）1 2121 212 p 1nqpqnpnj jjjjjjnjj jjjjqa aaaaD （）（）37推论推论4.1 行列式的两行（列）元素相同，行列式等于行列式的两行（列
20、）元素相同，行列式等于0。即即111211212120 nsssnsssnnnnnaaaaaaaaaaaa第s 行第t 行证：令行列式=D,互换D中第s,t行后行列式为H,H=-D H中这两行相同，H=D，D=-D,D=038性质性质4.4 行列式具有线性性。即行列式具有线性性。即（1）（行列式的加法规则，对列也适用）（行列式的加法规则，对列也适用）11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa（2）（行列式的数乘，对列也适用）（行列式的数乘，对列也适用）111
21、211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa39（1）（行列式的加法规则）（行列式的加法规则）1 2121 212,1()iniinnj jjjjji ji jnjj jja abca（）左（）证：11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa1 2121 21 2121 212,12,1 1ininnininnj jjjjji jnjj jjj jjjjji jnjj jja abaa aca
22、 （）（）（）（）右40（2）（行列式的数乘，对列也适用）（行列式的数乘，对列也适用）1 2121 212,1()ininnj jjjjji jnjj jja akaa（）左（）证：111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa1 2121 212,1ininnj jjjjji jnjj jjka aaa（）（）右41推论推论4.2 行列式的两行（列）成比例，行列式等于行列式的两行（列）成比例，行列式等于0。即。即11211212120 nsssnsssnnnnnaaaaaakakakaaaa第s行第t行42证证11121
23、121212 nsssnsssnnnnnaaaaaakakakaaaa第s行第t行11121121212 =0nsssnsssnnnnnaaaaaakaaaaaa43推论推论4.3 行列式的某一行（列）元素的行列式的某一行（列）元素的k倍加到另一行倍加到另一行 （列）对应元素上，行列式值不变。即（列）对应元素上，行列式值不变。即111211112112121211221212 nniiiniiinjjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaa第i行第j行44证证1112112112212niiinjijijninnnnnaaaaaaakaa
24、kaakaaaa1 11 211 11 21121212121212+0 =nniiiniiinjjjnjjjnnnn nnnn naaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1112111121121212121212+nniiiniiinjjjniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaakakakaaaaaaa45例 计算1234234134124123解：2 2 112341234234101273412341241234123rr3 3 14 4 11234012702810071013rrrr3 2 24 7 212340127004400436rrrr4612340
25、1270044004364312340127004400040rr16047221 305411D例计算 31221122 305503411114cc 解：2 5 13112201013032rrrr 2 3 312201 19032rr 3 3 212201190059rr 5948 abbbbabbbbbanD 计算阶行列式4 例:解12131(1)(1)(1)nccccccanbb bbanba bbDanbb ba归边累加49213111000 (1)000nrrrrrrbbbabanbab1(1)()nanbab11 (1)1b bba bbanbb baD501 n1111220
26、0D=403020.04 2nn计算列题阶行式例112212101122200D4030200rrnn113312410012322004030200rrnn51111()124210002322004030200nrriiinnnn1221!inini521.4 行列式按行（列）展开及克拉默法则行列式按行（列）展开及克拉默法则定义5.1 在n阶行列式中，去掉元素aij所在的第i行和第j列，剩下的(n-1)2个元素按原来的顺序构成的(n-1)阶行列式，称为元素aij 的余子式，记为Mij.称Aij=(-1)i+j Mij为元素aij的代数余子式。n=1时，规定 Mij=Aij=11112121
27、22212 nnijnnnnaaaaaaDaaaa111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1Mjjniijijinijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa531 1111120414023140404,(1)43131Daa 11的代数余：矩阵的 余A式例如子子式21 212110101,(1)12121aa 12的代数余 子式的余子式A3 3333320208,(1)81414aa 33的代数的余子式 式 A余子54三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaa
28、aaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 112233233212233121331321322231()+()()aa aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132(1)aaaaaaaaaaaaaaa2223212321221 11 21 3111213323331333132(1)(1)(1)aaaaaaaaaaaaaaa111112121313a Aa Aa A5511111111221122 D=,(1,2,)ijjniijinnnjnniiiiijjjjninDaaaaaaaaaaDa Aa AaAinD
29、aAaAn阶行列式=等于它的定理5.1（按行(列)展开定理）任意一行（列）的所有元素与 各自的代数余子式的乘积之和。即 设 则有或 (j1,2,)njnjaAn56证（1）：先证特殊的情形：第1行只有第1个元素a11不为零。2 3232 31121222(1)11231200(1)nnnnj jjjjnjj jjnnnnaaaaa aaaaaa2 3232 3(1)1123(1)nnnj jjjjnjj jjaaaa222112nnnnaaaaa11111111a Ma A57111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,1,000(2)0ijjjjniiji
30、jijiniijijijinnn jn jn jnni jaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaa当第i行只有不为零时。111,11,1,11(1)1,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,1000(1)0jjjniiijijijiniijijijinnn jn jn jnijnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 581111,11,11(1)+(j-1)1,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,10000(1)jjjniijiijiijjinijjijijinnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 12(1)ijij
31、ija M 第 种情形(1)ijijijaMijija A59111,111,111,11,11,1,11,1,111,11,1,11,1,1,1,11(3)ii jjjjniijijijiniijijijinnn jn jni jninnjjiaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaa对一般情形：12111211112111121121212000000nnnnnnnnnnnninninniaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1122iiiiinina Aa Aa A60221 305411D例计算 111112121313:Da Aa Aa A解1 11 21 30 53
32、 53 02(1)(2)(1)(1)(1)1 -14 -14 1 20(1)5 1(2)3(1)5 4(1)3 1 0 4 2(5)(2)(23)(1)3 59 按第1行展开61221 305411D例计算 121222223232:Da Aa Aa A解法22 12 23 23 52 -12 -12(1)0(1)1(1)4 -14 -13 5 23(1)5 42 513 （）59 按第2列展开62221 305411D例计算 20(1)(2)54:(1)3 1D 解法359 3阶行列式，按对角线展开法则直接展开。25 1(2)3(1)(1)04 63 1321-1232 050 D=1000
33、1例 计算行列式4+2121 D=(-1)1321005解：3+1121 =5(-1)532 64 n000000000 D=0000000abbabaaba例求 阶行列式11000000000(1)000000000000000nabababaDaaabb 解：按 行展开：1111(1)(1)nnnnnaabbab n65222211232311111231111 nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaV例范德蒙德式计行列算1:a解从下到上，每行减去上一行的 倍21311222212313112121221231311111 000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa
34、aaa aaa aaa aV662131122221 231 311 112121221 231 311(1)nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2121233131121222211331()()()()(nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa67232131122223111()()()nnnnnnaaaaaaaaaaaa3114222132431()()()()()()()()nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaD1()ijjinaa 继续降阶，得681111213441916812764D 例：)34)(14)(13)(
35、24)(23)(21(121248111111112134121392741916141664812764HD 转置6933332222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)12341111aaaaaaaaDaaaa例：222223333111112341(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)aaaaDaaaaaaaa 解：（）7014232222333311114321(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)ccccaaaaaaaaaaaa3!2!1!12711112112121211221122 D=,1 0 ()0 ()2 niiinjjjnnnnnijiji
36、ijijninjnnjaaaaaaaaaaaaa Aa AaAija Aa Aa Aij行列式的某一行（列）元素与另一行（列）相应元素的代数余子式的乘积之和等于零。设 则有（）（定2）理5.(,1,2,3,)i jn72证明 当ij时，将行列式的第j行换成与第i行一样的元素，新行列式按第第j行展开：行展开：111211211221212=+niiinijijinjniiinnnnnaaaaaaa Aa Aa Aaaaaaa由于行列式有两行相同，则行列式=0.1122+0ijijinjna Aa Aa A73例 设1240258316743230D 13233343(1)23AAAA求：解（1）
37、：式子是第1列的元素与第3列元素的代数余子式 的乘积之和。所以13233343230AAAA13233343(2)3753AAAA求：1323334313233343(2)3755 =(1+2)(25)(1610)(32)AAAAAAAA 解：132333431323334333=(1213)(2562)10AAAAAAAAA74330010A2 312010 25332012103(1)32120 751111111111111111xxDyy例：计算213141511111111111011111000011111000011111000011111000rrrrrrrrxxDxxyyyy
38、解：112113221141161111111111111100000000000000000000000000000000ccxccxccyccyxxyyxxx yxxyyyy763 定理5.（克拉默法则）若下列线性方程组11 11221121 1222221 122n nn nnnnn nna xa xa xba xa xaxba xaxaxb的系数行列式克拉默法则克拉默法则-用行列式求线性方程解用行列式求线性方程解1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa则线性方程组有唯一解：1212 nnDDDxxxDDD其中Di是将D中第i列换成常数项b1,b2,bn后得到的行列式。
39、771121111122222122211211121111212122221222121211121212221211121212 ,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaaababaaababaaabaxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabxaaaaa即2212nnnnnaaaa78证：第一步，先证解的存在性。1212s1 1221212,s =nnssnsssnn nDDDxxxsDDDa xa xa xDDDaaaDDD将代入方程组的第 个方程（=1,2,n）的等号左边，有11221sssnna Da Da DD11221111nnnskks
40、kksnkknkkkab Aab Aab AD112211()nksksksnknkb a Aa Aa AD79121000snbbbDbD sb1212,nnDDDxxxDDD 满足方程组，是方程组的解。第二步，证解得唯一性。第一步知方程组有解。设(c1,c2,cn)是其任意一组解。将解代入方程组，有8011 11221121 1222221 122n nn nnnnn nna ca ca cba ca ca cba ca cacb将上述n个方程两边依次乘以D的第1列元素的代数余子式：A11,A21,An1，得1111 11211 21111112121 12221 222122111 12
41、1 211nnnnnnnnnnnnnna A ca A ca A cb Aa A ca A caA cb Aa A caA caA cb A将方程两边分别相加，得81111121211111211222121211122111112211 ()()()nnnnnnnnnnnna Aa Aa Aca Aa AaAca Aa AaAcb Ab Ab A得到12111221100nnnD cccb Ab Ab A 11212222112nnnnnnbaabaaDcDbaa11DcD同理，可得22,cnnDDcDD821234123412341234202032551xxxxxxxxxxxxxxxx
42、例：解线性方程组101120111952151111D111221119,32151111D解解：83234101211022011210118,27351532551111111111102110932151111DDD 121234349181,2,992793,199DDxxDDDDxxDD 84 ()(1)6,(2)20,(1)8,(3)10.5.3f xffff求一个三次多项式，得例使题323210 ()f xa xa xa xa设三次多项式为解3210321032103210(1)6(2)84220(1)8(3)279310faaaafaaaafaaaafaaaa 32103210
43、321032106842208279310aaaaaaaaaaaaaaaa8511118421111 12793 1D 240 1611120421240,811 11093 1D 2161182021720181 127103 1D 3116184201480,1181279101D 41116842209601118279310D 8632()324f xxxx所求多项式为312432101,3,2,4DDDDaaaaDDDD 87拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理Laplace展开定理是行列式按一行展开的定理的推广。1112211132151111D11111212131314141Da
44、Aa Aa Aa A按第 行展开：1 1111112121111 (1)215111aAaA 的代数余子式是，的代数余子式是111 2 1 21-115M2111M(1)aMNAN 如将扩展成2阶子式：如，的余子式的代数余子式=D 一系列子式子式 子式的代数余子式88 设k是不大于n的正整数，在n阶行列式D中选定k行k列，位于这k行k列交点处的k2元素按原来的次序组成一个k阶行列式M.它称为D的k阶子式。1 11 212 12 22121212kkkkk ki ji ji ji ji ji ji jki ji jkaaaajjjiaaMaaaii列列列行行原来的行列行，1212=(-1)kki
45、iijjjMAN的代数余子式若把选定的k行k列划去，则余下的(n-k)2元素按原来的次序组成一个n-k阶行列式N，它称为M的余子式 显然余子式也是子式，并且M也是N的余子式。891 2 1 2111121132111-1151,21,2MM211111215111D 选第行，第列：子式=，的代数余子式A=(-1)1 2 2 422211212511-12311,23,4M1M11-11211111D 选第行，第2列：子式=，的代数余子式A=(-1)90定理定理5.4.(Laplace展开定理)设k是小于n的正整数。在n阶行列式D中取定k行(或k列)元素来自这来自这k行行(k列列)的所有的所有k
46、阶子式阶子式和它们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式DiiiikMDkkMMA选定 行的所有k阶子式行的 阶子式的代数余子式91221 305411D用拉普拉斯展开定理计算 例231,22C 选定第行，有=3个解阶子式.1 2 1 21 2 1 31 2 2 3222121(1)1(1)1(1)4303505D 6(1)13(1)(10)459 921112121222121112111121212222122212121112111121212222122212 ()000000000 kkkkkkkmkmmmmkmmmmkmkmkkkkkmaaaaaaaaaDbbbcccbbbcccbbbcccaaacccaaacccaaac例题5证明：阶行列.4式12 mmmmcc93Ckkk m 选定第1 k行，D中来自第1 k行的k阶子式共有个，只有第1列的k阶子式可能非零，其余的k证阶子式都为0.111211112121222212221 21 21212(1)kmkmkkkkkkmmmmaaacccaaacccDaaaccc 由拉普拉斯展开定理知111211112121222212221212 kmkmkkkkmmmmaaacccaaacccaaaccc94
