讲方差与相关系数.ppt

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1、 本次课讲授第三章的本次课讲授第三章的3.2-3.4和第四章的和第四章的4.1.1 下次课讲授第四章的下次课讲授第四章的4.2-4.5和第五章的和第五章的5.1.下周一上课时交作业下周一上课时交作业P39-42页;页;重点:方差与正态分布;重点:方差与正态分布;难点:协方差与相关系数。难点:协方差与相关系数。第十一讲第十一讲 方差相关系数与正态分布方差相关系数与正态分布,指数参数分之一。加均匀一半几何分布倒概率;二(项)泊松求和二重积。二维期望一维推,两次函数期望值,只将变量变函数,就得变成样本积。连续概率换密度,求和求和期望值;离散变量乘概率,无穷复习期望公式banp,减独立积。数不变系数提

2、,可加可复习期望运算性质:常)()(kkXEXEXk 次方的数学期望:中心矩:它是离差的)()(kkkXEXvX:的数学期望称为原点矩原点矩:第十一讲第十一讲 方差相关系数与正态分布方差相关系数与正态分布31123323 412121344364 事实上:事实上:33)(XEXE 3223)()(3)(3XEXEXXEXXE 3223)()(33XEXEXEXEXEXE 3112323 rriiririrrrrrvCvCv )1()1()1(1111 2122 从从零零组组合合正正负负拧拧。末末项项系系数数平平衡衡;降降下下标标和和相相等等,,11 rr第十一讲第十一讲 期望与方差期望与方差例

3、题:例题:中中心心矩矩阶阶原原点点矩矩及及三三阶阶、四四阶阶的的,求求服服从从设设随随机机变变量量kXeX)(解解的的概概率率密密度度为为X 0 ,00 ,)(xxexfx阶阶原原点点矩矩为为的的 kX 00)(dxexdxexXxkxkk 01dtettkktxkkkk !)1(31123323 阶阶中中心心矩矩为为的的 3X323)1(21!23!3 32 阶阶中中心心矩矩为为的的 4X412121344364 42234)1(3)1(!261!34!4 49 332216,2,1 vvv第十一讲第十一讲 期望与方差期望与方差 2)().(XEXEXDXD即:记作称为方差之差即离差平方的期

4、望方差:将变量与其期望 XEXX即的离差,量与其期望只差称为几个概念:离差:将变.1一、方差与标准差一、方差与标准差)()(,)().(2XXDXDXXXX )即或记作的标准差或均方差为的方差的算术平方根称标准差:将显然:显然:1.D(X)1.D(X)非负,非负,2.D(X)2.D(X)即是二阶中心距即是二阶中心距第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数2.方差计算方差计算 )()()(2 XgEXEXEXD 由方差定义:由方差定义:均值计算公式,即:更多地使用可,但是,方差的计算期望的计算公式套用即是二维,按照续变量,无论是一维还无论是离散变量还是连 2 2)()()(XEXEXD 均

5、值计算方差定理均值计算方差定理:22)()()(2)(XEXEXEXE 证明:证明:2)()(XEXEXD 2 2)()(2XEXXEXE 22)()(XEXE 解解 emmXPm!.,2,1,0m)(XE已知:emmXEmm022!11!1mmmme 例题例题11-1-111-1-1 设随机变量设随机变量 ,求方差求方差 D(X)。PX 3.例题讲解例题讲解1mk0!1kkkke eee011!1kkkkkke 1 21 22)()(XEXEXD )()()(222122XEXEvvuXD 实际上,实际上,第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数例题例题11-1-211-1-2,baU

6、X设随机变量设随机变量 ,求方差求方差 D(X)。.,0;,1其它其它bxaabxf解解其密度函数为其密度函数为dxabxXEba )(.2ba dxabxXEba 22322baba4)(3222bababa12)(2ab 22)()(XEXEXD ,求求其其方方差差与与标标准准差差服服从从指指数数分分布布设设随随机机变变量量 eXX例题例题11-1-311-1-3 .,0;0,其它其它xexfx解解 其密度函数为其密度函数为第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数 dxexXEx 022 23 22 2212 21 dtett0221 xt 22)()(XEXEXD 1)(0dxex

7、XEx已知:4.方差性质方差性质 )(2XDabaXD 1.1.定理(定理(1 1、2 2)证明 baXD 2 baXEbaXE 2)(bXaEbaXE 2)(XEXaE 22)(XEXaE 22)(XEXEa )(2XDa)()()3),()(20)(.12XDaaXDXDbXDCD ),推论:推论:第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数定理定理3)()()(YDXDYXDYX 独独立立,则则、若若.)()(,1121 niiniinXDXDXXX独立,则独立,则推论:若推论:若)()(2)()()(2)()()()()2()()()(222222222YEXEYEXEXYEYEXE

8、YEXEXYYXEYXEYXEYXD 证明:证明:)()()()(2)()(2)()()()()(2222YDXDYEXEYEXEYEYEXEXEYXDYX 独立,独立,、)()()(YDXDYXD 同理可证:同理可证:利用定理利用定理3 3,用归纳法可以证明以下推论,用归纳法可以证明以下推论口诀:方差:常数为零系数方,独立加减都加上。口诀:方差:常数为零系数方,独立加减都加上。第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数 )()()(XXEXEZE 证证 )()(XXEXE 0)()()(XXEXE )()()(XXEXDZD )()(2XXEXD )()(2XXD 1)()(22 XX

9、X 的标准化的随机变量。的标准化的随机变量。:Z 设随机变量设随机变量X 的数学期望为的数学期望为E(X),标准差为,标准差为)(X 设随机变量设随机变量,)()(XXEXZ 证明:证明:1)(,0)(ZDZE例例11-1-4.均值为均值为0,方差为方差为1的特殊分布的特殊分布第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数分布为且,即则总次数等于各次之和1-0.1iniiXXX独立且niiXXXqXPpAPXP,0;)(121 ,1100pXPXPXEiii 例例11-1-5.二项分布均值与方差二项分布均值与方差的的均均值值与与方方差差,求求变变量量设设XpnBX),(niAiAiXi,2,1

10、 ,1 ,0发生。次试验事件第不发生;次试验事件第因此,设发生的次数。次独立试验中为;则解:设AnXnmpqAPpqpCmXPpnBXmnmmn,2,1,01),(,)(),(发生两个事件发生一次或只有的次数之和,而每一次发生一次试验发生的总次数,它是每次独立试验是因为AAAAnX第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数 .11npXEXEXEniinii ,1100222pXPXPXEiii ,1222pqppppXEXEXDiii 由于由于X1,X2,Xn相互独立,则相互独立,则 .11npqXDXDXDniinii npqXD 第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数指数期望

11、再平方。二乘泊松,独立加减都加上;方差:常数为零系提方,q 解解,1101-4=2()=3xdxx+y dy=()()x+y f x,y dxdy 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在以点在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形为顶点的三角形 区域区域 G 上服从均匀分布上服从均匀分布,求随机变量求随机变量 U=X+Y 的方差的方差.例题例题11-1-6(2001)GyxGyxyxf),(,0),(,2),()()(YXEUE 22()=()E UE X+Y 2=()()x+yf x,y dxdy Gdxdyyx)(21 yx第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数,1

12、1201-11=2()=6xdxx+ydy221()=()-()=.18D UE UE U Gdxdyyx2)(2例例11-1-7(2004,4分)分)._ DXXPX的指数分布,则的指数分布,则服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量 0,00,1)(;0,00,)(),(xxexFxxexfeXxx 则:则:分析:分析:)1(1)1(11 xFxXPXPDXXPX数的关系依据区间概率和分布函.1,12 DXEX且且第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数11)1(1ee 例例11-1-8(2008,4分)分)_12 EXXPX的的泊泊松松分分布布,则则服服从从参参数数为为设设随随机机

13、变变量量于于是是:且且服服从从泊泊松松分分布布得得分分析析:由由,2,1222 EXDXEXDXEXX12221!22 eeXPEXXP 例例11-1-9(2010,4分)分)._)(.2,1,0,!2 XEkkCkXPX则则的概率分布的概率分布设随机变量设随机变量 ekkekkXPkkk 0!,2,1,0,!。且且:想想到到泊泊松松分分布布分分析析:由由题题目目已已知知,联联第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数 0010,1!1!)(kkkkeCCekCkCkXP)1(1!11PekkXP的的泊泊松松分分布布是是于于是是 211)(22 EXDXXE:由由概概率率函函数数的的规规范

14、范性性1)(0 kkXP1 DXEX即即第十一讲第十一讲 方差与相关系数方差与相关系数例例11-1-10(1998,4分)分)._100,最大,其最大值为成功次数的标准差的值时,次独立重复试验,当进行设一次试验的成功率为pp541100)()()()()(21,0200100100100)1()(,)(),100(2XDXXDXXDppDpppnpXDnpXEpBXp 最大,且标准差最大,即时,得分析驻点分析:1.协方差协方差:covariance )()(YEYXEXE ),(YXc co ov v协方差协方差(相关矩相关矩):离散型随机变量离散型随机变量:.),()()(ijjijiyxp

15、YEyXEx),cov(YX连续型随机变量:连续型随机变量:.),()()(dxdyyxfYEyXEx),cov(YX证证 )()(),cov(YEYXEXEYX (1)均值计算定理:)均值计算定理:)()()(),cov(YEXEXYEYX 2.协方差与均值、独立、方差的计算关系协方差与均值、独立、方差的计算关系二、协方差与相关系数二、协方差与相关系数第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布)()()()()()()(YEXEYEXEXEYEXYE )()()(YEXEXYE (2)独立计算定理:)独立计算定理:设随机变量设随机变量X与与Y 相互独立,则:相互独立,则:.0),

16、cov(YX证证因为随机变量因为随机变量X与与Y 相互独立相互独立,)()()(YEXEXYE )()()(),cov(YEXEXYEYX 0)()()()(YEXEYEXE )()()()(YEXEYXEXYEXYE 证证 2 )()()(YXEYXEYXD (3)方差计算定理:方差计算定理:设设X与与Y是任意两个随机变量是任意两个随机变量,则:则:),cov(2)()()(YXYDXDYXD 又又称称方方差差加加法法公公式式第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布 2 2 )()(YEYEXEXE )()(2YEYXEXE ),cov(2)()(YXYDXD 2 )()(YE

17、YXEXE 3.协方差的运算性质协方差的运算性质计算性质:外,协方差还具有以下除了均值的计算公式以值计算公式即可得到。关于这一性质,代入均。且)对称性:即()(),cov(),cov(),cov(1XDXXXYYX算公式即可得到右边。将等式左边代入均值计)变量系数可提:即().,cov(),cov(2YXabbYaX.),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(3YZXZYXZZYZXZYX或)满足分配律,即(第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布)()()()()()()(),cov(ZEYEXEYZXZEZEYXEZYXEZYX证:).,cov(

18、),cov()()()()()()(ZYZXZEYEZEXEYZEXZE4.相关系数相关系数标标准准化化随随机机变变量量的的随随机机变变量量,我我们们称称为为,方方差差为为是是均均值值为为,我我们们已已经经知知道道10)()()()(*YYEYYXXEXX (1)定义:)定义:X与与 Y 的相关系数的相关系数:),(cov),(),(),(cov*YXYXRYXRYXYXYXYX即即;的的相相关关系系数数,记记作作、为为则则称称是是其其标标准准化化随随机机变变量量、是是随随机机变变量量,、设设第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布(2)相关系数的计算)相关系数的计算:)()()

19、,cov(),(YDXDYXYXR,0)()(*YEXE *),cov(),(YXEYXYXR )()()()(YYEYXXEXE )()()(),cov(*YXEYEYXEXEYX )()()()(YXYEYXEXE )()(),cov(YDXDYX),(2)()()(*YXYDXDYXD c co ov v ),(12)(*YXRYXD 1),(YXR 证证,0)()(*YEXE 1)(,1)(YDXD0),(1 YXR ,0)(*YXD .1),()2(YXR性性质质定定理理:第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布并且 .0,1;0,1),(bbYXR(4)(4)强相关定

20、理强相关定理,bXaY 1),(YXR为为必必然然事事件件,即即:使使得得充充分分必必要要条条件件为为存存在在的的语语言言描描述述为为:强强相相关关定定理理常常用用概概率率注注bXaYbaYXR ,1),(1.1),(01),(0,1)(,1),(YXRbYXRbbXaYPbaYXRYX时时,时时,且且:使使得得条条件件为为存存在在的的充充分分必必要要的的相相关关系系数数、随随机机变变量量变变量量称称为为不不相相关关。为为零零的的为为零零。我我们们将将相相关关系系数数变变量量独独立立,则则相相关关系系数数独独立立,协协方方差差为为零零,即即、量量决决定定其其分分子子,而而且且,变变值值式式,相

21、相关关系系数数由由协协方方差差:由由相相关关系系数数的的计计算算公公注注YX2)(证证明明过过程程超超范范围围,略略第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布不不相相关关。与与则则称称随随机机变变量量即即若若YXYEXEXYEYXR),()()(,0),(5)(5)不相关概念不相关概念由定义容易得到不相关的几个等价结论由定义容易得到不相关的几个等价结论;0),()1(YXR式得到)式得到)(由相关系数的计算公(由相关系数的计算公;0),cov()2(YX到)到)由协方差的均值定理得由协方差的均值定理得)()()()3(YEXEXYE 公公式式推推出出。提提示示:该该式式方方差差的的

22、加加法法)()()()4(YDXDYXD ),cov(2)()()(YXYDXDYXD (请读者自己证明)独立,则它们不相关。与变量不相关与独立:若随机YX第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布等价要牢记。系数为零不相关,三个强关正负一;标准变量相关系,线性提系分配律;方差加减协方差,对称积期望减期望积;离差积,协方差E例例12-2-112-2-1(20122012数学一,数学一,4 4分)分).1)(;21)(21)(;1)(1DCBA;)(两段长度的相关系数为米的木棒截成两段,则将长度为DXYXYYXYXXY,故选关系,从而,之间有明显的线性与则显然另一段为长度为分析:设其

23、中一段木棒1,1,1,第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布例例12-2-212-2-2(20122012数学一,数学一,1111分)分)020 0100210414131121121XY的概率分布为:设二维离散型随机变量),cov()2();2(1YYXYXP求)求(41)1,2()0,0()0()2(,21YXPYXPZPYXPYXZ则)令解:(的分布。还易求出的分布,令、)由已知,易得(XYZXYZYX,2第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布613121210X313131210Y12131127410XYZ32)(,35),()()(1,3261231

24、12102EZXYEEYxPxgXgEEYEXx易得:通过;同样可求出根据已知分布,可求出配律于是,根据协方差的分.32)(22EYEYDY323213232)(),cov(),cov(),cov(DYEXEYXYEYYYXYYX第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布12-2-3 将一枚硬币重复掷将一枚硬币重复掷n次,次,X 和和Y 分别表示正面向上和反分别表示正面向上和反面向上的次数,则面向上的次数,则X和和Y的相关系数等于的相关系数等于解解,nYX 1),()1,YXRbnaXnY(1),(,01 YXRb又又选选(A).(A)-1 (B)0 (C)0.5 (D)1.(20

25、01年)年)例题例题9-2-4(2000,3分)分)2222222222)()()()()();()()()()()()()();()(),YEYEXEXEDYEXECYEYEXEXEBYEXEAYXYXYX ()不不相相关关的的充充要要条条件件为为(与与则则随随机机变变量量)的的方方差差期期望望都都存存在在,设设二二维维随随机机变变量量(0),cov(0),(R不相关不相关与与分析:分析:)()()(),cov(),cov(0YXEYXEYXYXEYXYX )()()()()()()(22222222YEYEXEXEYEXEYXEB故选故选第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分

26、布三、正态分布的密度与分布三、正态分布的密度与分布图又称高斯分布。形如下记作)的正态分布(和服从参数为;则称的密度函数满足量定义:若连续型随机变).,(,0,21)(.1222)(22 NXXxexfXxO 21 xfx 若固定若固定=0 O x x第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布;如图即:数记作标准正态分布的密度函称为标准正态分布。时,正态分布,特殊地:xexxNx,21)(),()1,0(10222 2.标准正态密度的特性标准正态密度的特性的的特特殊殊性性具具有有对对称称区区间间积积分分密密度度由由于于是是偶偶函函数数,还还,标标准准正正态态数数的的非非负负积积分分必

27、必然然性性外外除除了了都都具具有有一一般般密密度度函函和和标标准准正正态态密密度度的的密密度度正正态态5021)()(),(222.xexxfN 121221221)(1)()(02022222 dxedxedxexdxxdxxfxxx 是是偶偶函函数数且且212121020222 dxedxexx 第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布O1 xFx0.5 的的表表达达式式为为:因因此此,正正态态分分布布2,N dtexFxt222 21 3.3.正态变量的分布函数正态变量的分布函数 xdxxfxFxFxf)()(),()(的的关关系系式式是是首首先先:分分布布函函数数与与密密

28、度度的的关关系系式式为为:与与其其密密度度,则则为为量量的的分分布布函函数数特特殊殊地地,设设标标准准正正态态变变)()()(xxx dtedxxxxxtxx2221)()(),()(xdttxx)()()(可可以以查查表表求求出出,且且请请注注意意:第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布 xx13)对称性:()()(xXPxXPy轴对称,即标准正态分布密度关于)1)(1)()()xxXPxXPxXPx(即5.0)0(2:正态密度的偶函数特点)原点等分性:由标准(4.正态分布函数的性质正态分布函数的性质0)()(,0)()(,1)()(:)()(1xxFFFxxF、点,即非负规

29、范和单调不减特,都具有,都是分布函数,因此还是)无论是(第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布 dtexFNXxxt .222221)(),(:)(5 则则设设求求区区间间概概率率和和分分布布函函数数由由 tz xzzdze2221)()()(212222 xzdzexzz z1)()()()()()()(12121221 xxttxFxFxXxP)()()()()(,222221 xxxXPxXPxx也可求单侧区间概率:也可求单侧区间概率:)(1)()()()(1111 xxXxPxXP走走,标标准准奇奇偶偶伽伽马马求求一一般般地地:正正态态积积分分三三步步第十一讲第十一讲 相关系数与正态分布相关系数与正态分布

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