1、20202020 年自贡中考数学年自贡中考数学 满分：满分：150150 分分 时间：时间：120120 分钟分钟 一一. .选择题（共选择题（共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 4848 分；在每题给出的四个选项中，只有一项是分；在每题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1. 如图，ab， 150，则2的度数为 （） A.40 B.50 C.55 D.60 【解析】两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案.故答案为 B 2.5 月 22 日晚，中国自贡第 26 届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进 入“云游”时
2、代，70 余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数 700000 用科 学记数法表示为 （ ） A. 4 70 10 B. 7 0 7 10 C. 5 7 10 D. 6 7 10 【解析】根据科学记数法规定10Na，要求1 | 10a，可得 C 为正确选项. 3.如图所示的几何体的左视图是 （ ） 【解析】根据左视图为，从左往右观看直观图，左视图左边反应空间体后边，左视图右边反 应空间体前边，故答案为 B 4.关于x的一元二次方程 2 ax2x20有两个相等的实数根，则a的值为 （ ） BCDA a b 2 1 A. 1 2 B. 1 2 C. 1 D. 1 【解析】一元二次方程有
3、两个相等实根可得，判别式等于 0 可得， 2 ( 2)424 80aa ，得 1 2 a ，故答案为 A 5.在平面直角坐标系中，将点2,1向下平移 3 个单位长度，所得点的坐标是 （ ） A. ,1 1 B. , 5 1 C. , 2 4 D. , 22 【解析】点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减 3，故答案为 D 6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 （ ） 【解析】根据轴对称和中心对称的定义，故答案为 A 7.对于一组数据3,7, 5, 3, 2，下列说法正确的是 （ ） A. 中位数是 5 B. 众数是 7 C. 平均数是 4 D. 方差是 3
4、【解析】将数据按从小到大排列为2,3,3,5,7，平均值 23357 4 5 x ，众数是 3， 中位数为 3，方差为 22222 2 (24)(34)(34)(54)(74)16 55 s ，故答案为 C 8.如果一个角的度数比它补角的度数 2 倍多 30，那么这个角的度数是 （ ） A. 50 B. 70 C. 130 D. 160 BCAD 【解析】设这个角为，其补角为，根据题意可得 180 230 解之得 130 50 ，故答案为 C 9.如图，在RtABC中， C90 , A50,以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交AB于点D,连接CD;则ACD的度数为 （ ） A. 50 B. 4
5、0 C. 30 D. 20 【解析】 A=50， 可得B=40， BC=BD， BCD=BDC， B+BCD+BDC=180， BCD=70，ACD=90-70=20，故答案为 D 10.函数 k y x 与 2 yaxbxc的图象如图所示，则ykxb的大致图象为 （ ） 【解析】反比函数过一三象限，0k ，由二次函数图象可得0,0,0abc，所以 一次函数应该经过第一、二、三象限，故答案为 D. 11.某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化任务， 为了迎接雨季的到来， 实际工作时每天的 工作效率比原计划提高了 35%，结果提前 40 天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的 面积为x万平方
6、米，则下面所列方程中正确的是 （ ） A D C B x y Ox y O B x y O C x y O D x y O A A. % 80 13580 40 xx B. % 8080 40 135xx C. % 8080 40 x135x D. % 80 13580 40 xx 【解析】由题意可得原计划的工作效率为1 35% x ，所以原计划的工作时间为 8080(1 35%) 1 35% x x ，实际的工作时间为 80 x ，所以原计划的时间减去实际的时间为 40 天可得，答案为 A 12.如图， 在平行四边形ABCD中，AD2,AB6 ,B是锐角，AEBC于点E,F 是AB的中点，连
7、接、DFEF；若EFD90 ,则AE的长为 （ ） A.2 B.5 C. 3 2 2 D. 3 3 2 【解析】延长 EF，DA 交于 G，连接 DE，可得AFGBFE，设BEx，则AGx，可得 DF 是线段 GE 的垂直平分线，2DGDEx，在 RtGAE 中， 222 ( 6)AEx 在 RtAED 中， 222 (2)2AEx， 所以 222 (2)26xx， 解得1x ， 5AE ， 故答案为 B 第卷第卷 非选择题非选择题 （共（共 102102 分）分） F E D B C A 注意事项：注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图 题 可先
8、用铅笔绘出，确认后用 0.5 毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 二二. .填空题填空题( (共共 6 6 个小题，每题个小题，每题 4 4 分，共分，共 2424 分分) ) 13. 分解因式： 22 3a6ab3b = . 【解析】提公因式得 22 3(2)aabb，然后再使用完全平方差公式可得 2 3()ab 14.与142 最接近的自然数是 . 91416， 可得3144， 11 4 2 2 ， 14 接近 16， 14更靠近 4， 故142最接近的自然数是 2 15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢 迎菜品” 的调查统计， 以下
9、是打乱了的调查统计顺序， 请按正确顺序重新排序 （只填番号） . .绘制扇形图； .收集最受学生欢迎菜品的数据； .利用扇形图分析出受欢迎的统计图； .整理所收集的数据. 【解析】先收集，再整理，再分析，最后得到结论，故答案为 16.如图，我市在键高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DCAB,BC长为 6 米，坡 角为 45，AD的坡角为 30，则AD的长为 米 （结果保留根号） 【解析】 过 C 作 CEAB 于 E， DFAB 于 F， 可得矩形 CEFD 和 RtCEB 与 RtDFA， BC=6， CE=sin603 2BC，DF=CE=3 2，6 2 sin30 DF AD O FC
10、 B AD E G 17题图 C AB D 16题图 17.如图，在矩形ABCD中，E是AB上的一点，连接DE,将ADE进行翻折，恰好使点 A落在BC的中点F处， 在DF上取一点O， 以点O为圆心，OF的长为半径作半圆与CD 相切于点G;若AD4,则图中阴影部分的面积为 . 【解析】连接 OG、OM，设圆的半径为 r，CD 是圆的切线，OGCD，DOGDFC， OGDO FCDF ，由翻折可得 DF=DA=4，CF=BF=2， 4 24 rr ， 4 3 r ， 8 3 OD ， 1 sin 2 OG ODG OD ，ODG=30，DFC=FOM=60，OFM 是等边三角形， DOM=120，
11、 FOMGOM 2 DFCFOMDOG SSSSSS 阴影扇形扇形 2 134144 32 3 2 2 32 ( ) 2432339 18.如图， 直线 y3xb与y轴交于点A，与双曲 线 k y x 在第三象限交于、BC两点，且 AB AC16; 下列等边三角形 11 OD E， 122 E D E， 233 E D E, 的边 1 OE, 12 E E, 23 E E,在x轴上，顶点 123 D ,D ,D , 在该双曲线第一象限的分支上，则k= ， 前 25 个等边三角形的周长之和为 . x y E3 D3 C E2 D2 E1 D1 A B O 【解析】设【解析】设 1122 ( ,)
12、,(,)B x yC xy，设直线与x轴的交点为 H，H（ 3 ,0 3 b ） ，又 A（0，b） ， tanHAO= 3 3 ， HAO=30， AB=2BM， AC=2CN， BM= 1 x， 2 CNx ， AB=- 1 2x， AC= 2 2x， 12 4AB ACx x，联立 3yxb k y x 得到 2 30 xbxk。 12 3 k x x ， 由已知可得 12 416x x ， 4 3k ， 反比例函数的解析式为 4 3 y x ， 过 123 ,D D D分别向x轴作垂线， 可得 11 OD E的边长为 4， 2 1 2 DEE的边长为4 24， 223 D E E的周长
13、为4 34 2， 1nnn D E E 的边长为414nn 前25个等边三角形的周长之和为34(4 24)(4 34 2)(4 254 24) =60 三三. .解答题解答题( (共共 8 8 个题，共个题，共 7878 分分) ) 19.（本题满分 8 分） 计算： 1 0 1 25 6 . 【解析】561 ) 6 1 ( 1 12 1 20. （本题满分 8 分） 先化简， 再求值： 2 x11 1 x1x4 ， 其中x为不等式组 x10 52x3 的整数解. 【解析解析】化简得化简得 2 1 1 2 )2)(2( 1 xx x xx x ；解不等式组可得解不等式组可得11x 01x，即，
14、即1x，且，且x为整数，为整数，0 x，代入，代入 2 1 2 1 x 21.（本题满分 8 分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边 的延长线上，且CEDF,连接AE和BF相交于点M. 求证：AEBF . 【解析】证明：四边形 ABCD 为正方形 AB=BC=CD，ABE=BCF=90 又CE=DF，CE+BC=DF+CD 即 BE=CF 在BCF 和ABE 中 , BCAB BCFABE CFBE ABEBCF（SAS） ，AE=BF 22.（本题满分 8 分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A: 文明礼仪；B：环境保护；C；卫生保洁；D:
15、垃圾分类 ”四个主题，每个学生选一个主 题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了 如下条形统计图和扇形统计图. M F D A BC E m % 20% D C B A .本次调查的学生人数是 人，m= ； .请补全条形统计图； .学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两 天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余 四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是 . 【解析】 （1）60%2012，本次调查的学生人数为 60 人，%30 60 18 ，故 m=30 （2） （3）星期一到星
16、期五连续的两天为（星期一、星期二） ， （星期二、星期三） ， （星期三、星 期四） ， （星期四、星期五）共 4 种情况，符合题意的只有（星期一、星期二）这一种情况， 故概率为 4 1 ；在星期一到星期四任选两天的所有情况如下： （星期一、星期二） ， （星期一、 星期三） ， （星期一、星期四） ， （星期二、星期三） 、 （星期二、星期四） ， （星期三、星期四） 共 6 种情况，其中有一天是星期三的情况有： （星期一、星期三） ， （星期二、星期三） ， （星 期三、星期四）共 3 种情况，所以概率是 2 1 6 3 23.（本题满分 10 分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商
17、品，新冠疫情期间，为 了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按 9 折出售，乙商场对一次购物中 超过 100 元后的价格部分打 8 折. .以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场 的让利方式写出y关于x的函数关系式； .新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？； 【解析】 （1）)0(9 . 0 xxy， 甲 ；当在乙商场购买商品未超过 100 元100 x时，乙商场按 照原价售卖，即xy 乙 ；当在乙商场购买物品超过 100 元时，超过部分按 8 折， 8 . 0)100(100 xy乙，化简得208 . 0 xy； xy9 . 0 甲
18、； 100,208 . 0 1000 , xx xx y乙 （2）由题意可知，当购买商品原价小于等于 100 时，甲商场打 9 折，乙商场不打折，所以 甲商场购物更加划算； 当购买商品原价超过 100 元时， 若xx9 . 0208 . 0，即200 x此时甲商场花费更低，购物选择甲商场； 若xx9 . 0208 . 0，即200 x，此时甲乙商场购物花费一样； 若xx9 . 0208 . 0，即200 x时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场； 综上所述：当购买商品原价金额小于 200 时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于 200 时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金
19、额大于 200 时，选择乙商场 更划算. 24.（本题满分 10 分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微” ； 数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式x2的几何意义是数轴上x所对 应的点与 2 所对应的点之间的距离；因为 x1x1，所以x1的几何意义就是数 轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离. . 发现问题：代数式x1x2的最小值是多少？ . 探究问题：如图，点A,B,P分别表示的是1, 2, x ，AB3. x1x2的几何意义是线段PA与PB的长度之和 当点P在线段AB上时，PAPB3;当点点P在点A的左侧或点B的右侧时 PAPB3 x1x2的最小值是
20、 3. .解决问题： .x4x2的最小值是 ； .利用上述思想方法解不等式：x3x14 x 1 2 3 412340 A B P 1 2 3 412340 .当a为何值时，代数式xax3的最小值是 2. 【解析】 （3）设 A 表示 4，B 表示-2，P 表示x线段 AB 的长度为 6，则|2|4|xx 的几何意义表示为 PA+PB，当 P 在线段 AB 上时取得最小值 6 设 A 表示-3，B 表示 1，P 表示 x，线段 AB 的长度为 4，则 | 1|3|xx的几何意义表示为 PA+PB，不等式的几何意义是 PA+PBAB，P 不能在 线段 AB 上，应该在 A 的左侧或者 B 的右侧，
21、即不等式的解集为3x或1x 设 A 表示-a，B 表示 3，P 表示 x，则线段 AB 的长度为|3|a，|3|xax的几 何意义表示为 PA+PB，当 P 在线段 AB 上时 PA+PB 取得最小值，2|3|a 23a或23a，即1a或5a； 25.（本题满分 12 分）如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，点P是O外一点， 且PAPC2AB,连接PO交AC于点D,延长PO交O于点F. .证明：AF=CF; .若tanABC2 2,证明:PA是O的切线； .在的条件下，连接PB交O于点E,连接DE;若BC2，求DE的长. 【解析】证明： （1）如图，连接 CO 在PCO 和PAO 中 , P
22、CPA POPO AOCO PCOPAO（SSS） CPO=APO，即 PO 为APC 的角平分线， PA=PC，CD=AD，PFAC AC 为O 的弦，PF 过圆心 O F 为优弧AC中点 AF=CF F D E P O B C A （2）证明：AB 是O 的直径，且弦 AB 所对圆周角为ACB ACB=90，tanABC=22，sinABC= 3 22 ，cosABC= 3 1 设O 的半径为 r，则 AB=2r，BC=ABcosABC= 3 2r ，AC=ABsinABC= 3 24r rCDCOOD 3 1 22 ，PA=PC=2AB，PA=PC=r22 rADPAPD 3 8 22
23、，PO=PD+OD=3r 222 POAOPA，即 PAOA，又OA 是O 半径 PA 是O 的切线； （3）由（2）可得2 3 2 rBC，3r 在 RtPBA 中，rrrABPAPB3248 2222 ，连接 AE，可得AEB=90 PEA=PAB=90，又APE=APB，PEAPAB， PB PA PA PE rPE 3 34 ，过 E 作 ENPD 于 N，过 B 作 BHPF 于 H，如图所示 BCD=CDF=BHD=90，四边形 BCDH 是矩形，BH=CD=r 3 22 在 RtBPH 中，sinBPH= 9 6 32 3 22 r r PB BH ， 在 RtPEN 中，sin
24、BPH= PE EN ，rEN 9 24 ，rENPEPN 9 20 22 ND=PD-PN=rrr 9 4 9 20 3 8 ， 在 RtNED 中，DE=rENND 9 34 22 3r，DE= 3 34 26.（本题满分 14 分） 在平面直角坐标系中， 抛物线 2 yaxbx3与x轴相交于A3,0、B 1,0， 交y轴 于点N，点M抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C. .求抛物线的解析式； .如图 1，连接AM,点E是线段AM上方抛物线上的一动点，EFAM于点F；过 点E作EHx轴于点H,交AM于点D.点P是y轴上一动点，当EF 取最大值时. .求PDPC的最小值； .如图 2，Q点是
25、y轴上一动点,请直接写出 1 DQOQ 4 的最小值. 图1 x y D CH F B A N M O E P 图2 x y D CH F B A N M O E Q 【解析】 （1）将 A（-3,0） 、B（1,0）代入二次函数3 2 bxaxy得 03 0339 ba ba 解之得 2 1 b a ，二次函数的解析式为32 2 xxy （2）将二次函数32 2 xxy配方得4) 1( 2 xy，M（-1,4） 设直线 AM 的解析式为qpxy，将)4 , 1(),0 , 3(MA代入直线可得 4 03 qp qp 解得 6 2 q p ，直线 AM 的解析式为62 xy 过 E 作直线l，
26、平行于直线 AM，且解析式为mxy 2，E 在直线 AM 上方的抛物线上， 13 E x； 当直线l与 AM 距离最大时，EF 取得最大值， 当l与抛物线只有一个交点时，EF 取得最大值 将直线l的解析式代入抛物线得034 2 mxx 由题意可得，=0)3( 1416m，经计算得7m，将7m代入二次方程可得 044 2 xx，2x，即 E 点的横坐标为-2，将2x代入抛物线得3y )3 , 2(E，又EDx轴，2 ED xx，将2 D x代入直线 AM，)2 , 2(D )0 , 1 (),0 , 1(BC ，B、C 两点关于y轴对称，PCPB PDPBPDPC，当 P、B、D 三点不共线时BDPDPB 当 P、B、D 三点共线时，BDPDPB 当 P、B、D 三点共线时 PC+PD 取得最小值， 在 RtBHD 中。DH=2，BH=3，BD=13 22 BHDH PDPC的最小值为13； 过 Q 作直线平行于x轴，并在y轴右侧该直线上取一点 G，使得 QG=OQ 4 1 ，QGDQOQDQ 4 1 ，当GQD,三点共线时 DQ+QG 取得最小值，设 Q（0，y） ，则), 4 1 (yyG QGx轴，2 QGD yyy，2y OQDQ 4 1 的最小值为 2 5 4 5 y
