1、8.3直线、平面平行的判定与性质高考理数高考理数考点一考点一 直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质考点考点清单清单考向基础考向基础直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质 文字语言图形语言符号语言平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简称:线线平行,则线面平行a,b,且aba一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简称:线面平行,则线线平行a,a,=bab内,且ab,否则会出现错误.(2)一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行,也可能异面.(3)a的判
2、定定理和性质定理使用的区别:如果结论中有a,则要用判定定理,在内找与a平行的直线;若条件中有a,则要用性质定理,找(或作)过a且与相交的平面.注意(1)在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面内,直线b在平面考向突破考向突破考向一考向一 证明直线与平面平行证明直线与平面平行例例1 (2019新疆乌鲁木齐二模,18)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABAC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(1)证明:直线A1B平面AC1D;(2)求点A1到平面AC1D的距离.解析解析(1)证明:连接A1C交AC1于E,连接DE,则E是A1C的中点,又D是BC的中点,DEA1B,又A1B
3、平面AC1D,DE平面AC1D,A1B平面AC1D.(2)AB=AC=2,AA1=4,ABAC,AD=CD=,AC1=2,DC1=3,=AB=242=,D是BC的中点,=.AD2+D=A,ADDC1,2221ACCC5221DCCC21 1-B AACV131 1AACS1312831 1-D AACV121 1-B AACV4321C21C=3=3.设A1到平面AC1D的距离为h,则=3h=h,1ADCS122211-A ADCV13又=,h=.A1到平面AC1D的距离为.1 1-D AACV11-A ADCV4343考向二考向二 证明直线与直线平行证明直线与直线平行例例2如图,在多面体AB
4、CDEF中,DE平面ABCD,ADBC,平面BCEF平面ADEF=EF,BAD=60,AB=2,DE=EF=1.(1)求证:BCEF;(2)求三棱锥B-DEF的体积.解析解析(1)证明:ADBC,AD平面ADEF,BC 平面ADEF,BC平面ADEF.又BC平面BCEF,平面BCEF平面ADEF=EF,BCEF.(2)过点B作BHAD于点H.DE平面ABCD,BH平面ABCD,DEBH.AD平面ADEF,DE平面ADEF,ADDE=D,BH平面ADEF.BH是三棱锥B-DEF的高.在RtABH中,BAD=60,AB=2,故BH=.DE平面ABCD,AD平面ABCD,DEAD.由(1)知BCEF
5、,又ADBC,ADEF,DEEF.三棱锥B-DEF的体积V=SDEFBH=11=.3131312336考点二考点二 平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质考向基础考向基础平面与平面平行的判定和性质平面与平面平行的判定和性质性质如果两个平面平行,则其中一个平面内的任一直线都平行于另一个平面(即面面平行线面平行)a如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(即面面平行线线平行)ab如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线a a ab a【知识拓展】1.与平面平行有关的几个常用结论与平面平行有关的几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平
6、行线段长度相等;(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行;(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例;(4)同一条直线与两个平行平面所成角相等.2.平行问题的转化方向图平行问题的转化方向图利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反.在实际的解题过程中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.考向突破考向突破考向一考向一 证明平面与平面平行证明平面与平面平行例例1如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,E
7、,F分别为AD,AA1的中点,Q是BC上的一个动点,且BQ=QC(0).(1)当=1时,求证:平面BEF平面A1DQ;(2)是否存在,使得BDFQ?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.解析解析(1)证明:当=1时,Q为BC的中点,因为E是AD的中点,所以ED=BQ,又EDBQ,所以四边形BEDQ是平行四边形,所以BEQD.又BE 平面A1DQ,DQ平面A1DQ,所以BE平面A1DQ.又F是A1A的中点,所以EFA1D.因为EF 平面A1DQ,A1D平面A1DQ,所以EF平面A1DQ,又BEEF=E,所以平面BEF平面A1DQ.(2)存在.理由:如图,连接AQ,因为A1A平面ABCD,BD平
8、面ABCD,所以A1ABD.又因为BDFQ,A1A、FQ平面A1AQ,且A1AFQ=F,所以BD平面A1AQ.因为AQ平面A1AQ,所以AQBD.在矩形ABCD中,由AQBD,得AQBDBA,所以AB2=ADBQ.又AB=1,AD=2,所以BQ=,所以QC=,所以=,即=.故存在=满足题意.考向二 平行关系中的存在性问题1232BQQC131313例例2 (2019四川内江质检三,18)如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,BAC=ACD=90,EAC=60,AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP平面EAB?请证明你的结论;(2)求平面EBD与平面ABC所
9、成的锐二面角的余弦值.解析解析(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下:取AB的中点F,BC的中点P,连接DP,PF,EF,则FPAC,FP=AC.取AC的中点M,连接EM,EC.AE=AC且EAC=60,EAC是正三角形.EMAC.四边形EMCD为矩形.ED=MC=AC=FP.EDAC,EDFP,四边形EFPD是平行四边形.DPEF.1212又EF平面EAB,DP 平面EAB,DP平面EAB.(2)过点B作AC的平行线l,过点C作l的垂线交l于点G,连接DG,四边形ABGC为矩形.EDAC,DEl.l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱.平面EACD平面ABC,平面EACD平面AB
10、C=AC,DCAC,DC平面ABC.又l平面ABC,DCl.又CGl,l平面DGC,lDG.DGC是所求二面角的平面角.设AB=AC=AE=2a,则CD=a,GC=2a.GD=a.cos=cosDGC=.322GCCD7GCGD2 77方法1 证明直线与平面平行的方法证明直线与平面平行的方法1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边等.3.利用面面平行的性质:当两个平面平行时,其中一个平面内的任一直线都平行于另一个平面.方
11、法技巧方法技巧例例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ平面BCE.解题导引解题导引 证明证明 证法一:如图所示,作PMAB交BE于M,作QNAB交BC于N,连接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,AE=BD.又AP=DQ,PE=QB,PMABQN,=,=,=,PMABPEAEQBBDQNDCBQBDPMABQNDCPMQN,即四边形PMNQ为平行四边形,PQMN.又MN平面BCE,PQ 平面BCE,PQ平面BCE.证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PMBE,交AB于点M,连接QM.PM平面BCE,且=,易
12、知AE=BD,又AP=DQ,PE=BQ,=,=,MQAD,又ADBC,MQBC,BC平面BCE,MQ 平面BCE,MQ平面BCE,又PMMQ=M,平面PMQ平面BCE,又PQ平面PMQ,PQ平面BCE.APPEAMMBAPPEDQBQAMMBDQQB方法2 证明平面与平面平行的方法证明平面与平面平行的方法1.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(主要方法)2.利用面面平行的判定定理的推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)4.证明两个平面
13、同时平行于第三个平面.(客观题可用)例例2 (2019吉林长春四模,18)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1平面ABCD,ADDC,ADAB,DC=2AD=2AB=2,AA1=4,点M为C1D1的中点.(1)求证:平面AB1D1平面BDM;(2)求直线CD1与平面AB1D1所成角的正弦值.解题导引解题导引 解析解析(1)证明:由题意得,DD1BB1,DD1=BB1,故四边形DD1B1B为平行四边形,所以D1B1DB.又D1B1平面AD1B1,DB 平面AD1B1,所以DB平面AD1B1.(2分)由题意可知ABDC,D1C1DC,M为D1C1的中点,则D1MAB且D1M=AB=1,所
14、以四边形ABMD1为平行四边形,所以BMAD1.又BM 平面AD1B1,AD1平面AD1B1,所以BM平面AD1B1.(4分)又由于BM,BD相交,所以平面AB1D1平面BDM.(6分)(2)由题意,以D为坐标原点,分别以,方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则D1(0,0,4),C(0,2,0),A(1,0,0),B1(1,1,4).则=(-1,0,4),=(0,1,4).设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则有即令z=1,则n=(4,-4,1),(9分)DA DC1DD 1AD 1AB11AD0,AB0,nn -40,40.xzyz又=(0,-2,4),(10分)设直线CD1与平面AB1D1所成的角为,则sin=.(12分)1CD 11CD|CD|nn 2 16555
