1、 1 主主 题题 函数的单调性 教学内容教学内容 1. 理解函数单调性的定义； 2. 会用定义证明函数的单调性，能应用单调性解相关题目。 （以提问的形式回顾）（以提问的形式回顾） 1. 如图为某地区 2012 年元旦这一天 24 小时内的气温变化图，观察这张气温变化图： 问题问题 1：气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？ 问题问题 2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大 气 温逐渐升高”这一特征？ 问题问题 3: 对于任意的 1 t、 2 4,14t 时，当 12 tt时，是否 都有 12 f tf t呢? 由问题由问题 3 的结果师生合作写出单调增区间的定义的结果师生合作写出单调
2、增区间的定义. 图像在区间4,14逐渐上升， 即在区间4,14内随着t的增大， f t也增大.对区间4,14内任意的 12 ,t t， 当 12 tt时，都有 12 f tf t. 于是给出单调增函数的定义：一般地，设函数( )yf x的定义域为A,区间IA：如果对于区间I内的 任意两个值 12 ,x x.当 12 xx时， 都有 12 ( )()f xf x那么就说( )yf x在区间 I 上是增函数，I称为( )yf x 的单调增区间. 注：注：找出单调增函数概念中的关键词（区间内、任意、“当 21 xx 时，都有 )()( 21 xfxf”）. 类比单调增函数概念，让学生给出单调减函数的
3、概念. O x y ( )yf x 1 ( )f x 1 x 2 ( )f x 2 x 2 一般地，设函数( )yf x的定义域为A,区间IA：如果对于区间I内的任意两个值 12 ,x x.当 12 xx时，都 有 12 ( )()f xf x那么就说( )yf x在区间 I 上是增函数，I称为( )yf x的单调减区间. （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 定义域是10,10，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性. 解：解：单调区间有 10, 4 ， 4, 1 ， 1,2 ， 2,8 ， 8,10 ，其中在区间 10, 4 ， 1,
4、2 ， 8,10 上是 减函数，在区间 4, 1 ， 2,8 上是增函数. 这里可以向学生说明，区间开闭都是正确的。 例 2. 利用定义判定(证明)函数 12 xxf在区间,上是增函数. 证明：证明：设 1 x， 2 x是 , 任意两个不相等的实数且设 1 x 2 x， 212121 = 2121 =20f xf xxxxx 由当 1 x 2 x时， 12 fxfx ，所以 21fxx 在 , 上是增函数. 【小结】判断函数单调性的方法步骤 1. 任取 12 ,xxD，且 12 xx； 2. 作差 12 f xf x； 3. 变形（通常是因式分解和配方） ； 4. 定号（即判断差 12 f x
5、f x的正负） ； 5. 下结论. 试一试：求证：函数 1 ( )f x x 在区间(0,)上为单调减函数. 3 证明: 对于区间(0,)上的任意两个实数 12, ,x x 且 12 xx 21 12 1212 11 ( )() xx f xf x xxx x ， 而由 12 0 xx，得 21 0 xx， 12 0 x x 12 ( )()0f xf x，即 12 ( )()f xf x。 所以,函数 1 ( )f x x 在区间(0,)上为单调减函数. 例 3. 判定函数 2 f xx，4,2x 的单调性，并求出它的单调区间. 解：解：由于34,2 ，14,2 而且3 1 ，但39f ，
6、11f，即 31ff， 因此 f x在4,2上不是增函数. 由于04,2 ，24,2 ，而且02，但 00f， 24f，即 02ff， 因此 f x在4,2上不是减函数. 所以，函数 2 f xx在区间4,2上不是单调函数. 但是，我们知道 2 f xx在4,0上是减函数，在0,2上是增函数， 因此，函数 2 f xx的单调区间是4,0及0,2. 小结： 1. 2 (0)yaxbxc a的对称轴为 2 b x a ， 2 yaxbxc 单调增区间 单调减区间 0a , 2 b a , 2 b a 0a , 2 b a , 2 b a 2.ykxb （1）当0k 时，在, 上单调递增； （2）当
7、0k 时，在, 上单调递减. 3. k y x （1）当0k 时，在,00,和上单调递减； （2）当0k 时，在,00,和上单调递增. 注意强调类似于反比例函数的这种单调区间要写和，不能用并集符号。 4 试一试：判断函数 2 23f xxx，2,2x 的单调性，并求出它的单调区间. 0a，对称轴为1x ， 因此，函数 2 23f xxx的单调区间是2,1和1,2. 例 4. 若函数1 2 axxy在2 ,(上单调递减，则实数a的取值范围是_； 解：解：二次函数 2 1yxax在(,) 2 a 上单调递减，故2 2 a ，4a 试一试：若函数 2 1yaxx在2 ,(上单调递减，则实数a的取值范
8、围是_； 解：当0a 时，函数1yx 在(,2上单调递减，符合题意； 当0a 时，由题意， 0 1 0 1 42 2 a a a 。综上所述， 1 0 4 a。 无论是在不等式还是函数中，关于二次项系数含有字母的，首先讨论二次项系数是否为零。无论是在不等式还是函数中，关于二次项系数含有字母的，首先讨论二次项系数是否为零。 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. 在区间(0，)上不是增函数的函数是 （ ） C Ay=2x1 By=3x21 Cy= x 2 Dy=2x2x1 2函数 f(x)=4x2mx5 在区间 2,)上是增函数，在区间(，2)上是减函数，则 f(1)的值（ ）
9、D A7 B1 C17 D25 3. 已知f(x)在区间(，)上是增函数，a、bR且ab0，则下列不等式中正确的是（ ） B Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) Cf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)f(a)f(b) 4. 已知函数 )(xf 是定义在)2 , 2(上的减函数，若 (1)(21)f mfm ，求实数m的取值范围是 。 答案： 3 0 2 m，根据定义域和单调性，列出三个不等式求不等式组的解集。 5. 求证：函数 2 2yx 在区间(,0上是单调增函数. 5 证明证明: 对于区间(,0上的任意两个实数 12, ,x x 且 12
10、 xx。 22 12121212 ( )()2(2)()()f xf xxxxxxx ， 而由 12 0 xx，得 21 0 xx， 12 0 xx。 12 ( )()0f xf x，即 12 ( )()f xf x。 所以,函数 2 2yx 在区间(,0上为单调增函数 6. 已知函数aaxxxf3)( 2 ，Ra. 若)(xfy 在3, 1上单调，试求a的取值范围； 解：解： （1）若函数单调递增，则 3 2 a ，6a （2）若函数单调递减，则 1 2 a ，2a 综上，6a或2a。 本节课主要知识点：函数单调性的定义，证明函数单调性的一般步骤，单调性性质的应用。 【巩固练习】 1. 已知
11、函数 2 212f xxax在区间4 ,上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A Aa3 Ba3 Ca5 Da3 2. 判断函数yx在定义域0,上的单调性. 证明：设 12 ,x x是0,任意两个不相等的实数且设 12 xx， 12 f xf x 12 xx 1212 12 1212 0 xxxx xx xxxx 由当 12 xx时， 12 f xf x，所以 fxx 在0,上是增函数. 【预习思考】 我们在研究函数奇偶性的时候，分析过以下两组函数图像 6 x y 1231 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O x y 123123 1 1 2 3 O x y O x y O （一） （二） 通过函数图像，你发现他们对称区间上的单调性是怎样的？试着证明你的结论。
