1、高二数学(理)参考答案 第 1 页(共 4 页) 南充市 20192020 学年度下期高中二年级教学质量监测 数学(理)试题参考答案及评分意见 一、选择题: 1 D2 D 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 A 9 D10 B11 C12 A 二、填空题: 13. -i 14. 1 15. (1,0) 16. 3 2 2 三、解答题: 17. 解:(1)由题意知,tanC=tan-(A+B) =-tan(A+B)= - tanA+tanB 1-tanAtanB =- 4 3 + 1 3 1- 4 9 =-3 6 分 (2)由(1)知 C 为钝角,所以 C 为最大角,c 为ABC 的最长
2、边. 因为 tanA= 4 3 ,所以 sinA= 4 5 , 因为 tanC=-3,所以 sinC=3 10 10 , 由正弦定理得 5 4 5 = c 310 10 , 所以 c=15 10 8 , 故ABC 的最长边的值为15 10 8 .12 分 18. 解:(1)设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B. 所以(1-P(B)2=(1-P)2= 1 16 3 分 解得 P= 3 4 或 P= 5 4 (舍去), 故 P= 3 4 .5 分 (2)由题意和(1)知 P(A)= 1 2 ,P(A)= 1 2 ,P(B)= 3 4 ,P(B)= 1 4 . 高二数学(理)
3、参考答案 第 2 页(共 4 页) X 可能的取值为 0,1,2,3,故 P(X=0)= P(A)P(BB)= 1 2 ( 1 4 )2= 1 32, 7 分 P(X=1)= P(A)P(BB)+C1 2P(B)P(B)P(A)= 1 2 ( 1 4 )2+2 3 4 1 4 1 2 = 7 32, 8 分 P(X=3)= P(A)P(BB)= 1 2 ( 3 4 )2= 9 32 9 分 P(X=2)= 1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)= 15 32. 10 分 所以,X 的分布列为 X0123 P 1 32 7 32 15 32 9 32 11 分 所以 E(X)= 0 1 3
4、2+1 7 32+2 15 32 +3 9 32 =2. 12 分 19 解:(1)证明:连结 AE. 因为 PA底面 ABCD,所以PDA 是 PD 与底面所成角, 所以PDA=45,PADA, 又 PE=DE,所以 AEPD.2 分 因为 PA底面 ABCD,BA平面 ABCD, 所以 PABA,又因为 BAAD,PAAD=A, 所以 BA平面 PAD,PD平面 PAD, 所以 BAPD4 分 因为 BAAE=A, 所以 PD平面 ABE,BE平面 ABE, 所以 BEPD6 分 (2)解:分别以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,
5、0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)8 分 因为 AP平面 ABCD,所以 AP =(0,0,2)是平面 ABCD 的法向量, 9 分 设 n =(x,y,z)是平面 PCD 的法向量, 所以 n PD =0, n CD =0, 即 (x,y,z)(0,2,-2)= 0, (x,y,z)(-1,1,0)= 0 2y-2z=0, -x+y=0, z=y, x=y, 高二数学(理)参考答案 第 3 页(共 4 页) 令 y=1,则 n =(1,1,1) 11 分 所以 cos= n AP |n | |AP | = 2 3 2 = 3 3 . 所以,所求二面角的余弦值为 3 3
6、 .12 分 20 解:(1)由题意知,抛物线 C 的准线方程为 x=- p 2 ,2 分 所以点 E(2,t)到焦点 F 的距离为 2+ p 2 =3,解得 p=2, 4 分 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.5 分 (2)直线 PQ 与抛物线 C 只有一个交点,7 分 理由如下: 设 P( y2 0 4 ,y0),y00,Q(-1,m),又 F(1,0), 则 FP =( y2 0 4 -1,y0),FQ =(-2,m), 因为 FPFQ,所以 FP FQ =0 故-2( y2 0 4 -1)+my0=0,从而 m= y2 0 -4 2y0 ,9 分 所以直线 PQ 的斜率 kPQ=
7、y0 -m y2 0 4 +1 = 2 y0 , 所以直线 PQ 的方程为 y-y0= 2 y0 (x- y2 0 4 ),即 x= y0y 2 -y 2 0 4 11 分 联立 y2=4x, x= y0y 2 -y 2 0 4 , 得(y-y0)2=0,y=y0 ,x= y2 0 4 . 故直线 PQ 与抛物线 C 只有一个交点.12 分 21. 解:(1)f (x)= 2ax+(a-2)- 1 x =2ax 2+(a-2)x-1 x =(2x+1)(ax-1) x ,(x0)2 分 所以,当 a0 时,x(0,+),f (x)0 时,由 f (x)= 0 得 x= 1 a ,x=- 1 2
8、 (舍), x(0, 1 a ),f (x)0,f(x)单调递增.5 分 (2)对任意 x0,都有 f(x)0 成立,即在(0,+)上,f(x)min0. 6 分 由(1)知当 a0 时,x(0,+),f(x)单调递减,又 f(1)= 2a-20 时,x= 1 a 时,f(x)取得极小值也是最小值,所以 f(x)min =f( 1 a )= 1- 1 a +lna. 9 分 令 g(a)= f( 1 a )= 1- 1 a +lna,(a0) 所以 g(a)= 1 a2 + 1 a , 在(0,+)上,g(a)0,所以 g(a)单调递增,又 g(1)= 0,所以 f(x) min0,即 g(a
9、) 0 时,即 a1.11 分 故实数 a 的取值范围是1,+). 12 分 22. 证明:当 n=1 时,左边=1,右边=12 =1, 因此,左边=右边. 所以,当 n=1 时等式成立.4 分 假设当 n=k 时等式成立,即 1+3+5+(2k-1)= k2. 那么 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= k2+(2k+1)= (k+1)2 所以,当 n=k+1 时等式也成立.8 分 综上可知,等式对任何 nN都成立.10 分 23. 证明:因为 OA BC,OBAC, 所以 OA BC=0,OBAC =0. 2 分 OA (OC-OB)= 0, OB (OC-OA)= 0. 4 分 所以
10、 OA OC=OAOB, OB OC=OBOA. 6 分 所以 OA OC-OBOC =0, (OA -OB)OC =0. 即 BA OC =0 8 分 故 OCAB.10 分 高二数学(文)参考答案 第 1 页(共 3 页) 南充市 20192020 学年度下期高中二年级教学质量监测 数学(文)试题参考答案及评分意见 一、选择题: 1 D2 D 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 C 9 B10 D11 B12 A 二、填空题: 13. -i 14. 4 15. 1 16. 2x+y-2=0 三、解答题: 17. 解:(1)直线 l 的参数方程是 x=1+ 3 2 t, y=1+ 1
11、 2 t, (t 为参数)4 分 (2)因为 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数分别是 t1,t2. 6 分 将 l 的参数方程代入圆的方程 x2 +y 2 =4 得 t2+( 3 +1)t-2=0.10 分 所以 t1t2=-2, 所以 PAPB = t1t2 =2, 故 P 到 A,B 两点的距离之积为 2.12 分 18. (1)由题意知,tanC=tan-(A+B) =-tan(A+B)= - tanA+tanB 1-tanAtanB =- 4 3 + 1 3 1- 4 9 =-3 6 分 (2)由(1)知 C 为钝角,所以 C 为最大角,c 为ABC 的最长边. 因为
12、tanA= 4 3 ,所以 sinA= 4 5 , 因为 tanC=-3,所以 sinC=3 10 10 , 由正弦定理得 5 4 5 = c 310 10 , 所以 c=15 10 8 , 高二数学(文)参考答案 第 2 页(共 3 页) 故ABC 的最长边的值为15 10 8 .12 分 19 解:(1)由题中数据可得 x - =1 15,y - =26, 4 i=1xiyi =121 1, 4 i=1x 2 i =5 34, 2 分 所以 b = 4 i=1xiyi -4x -y- 4 i=1x 2 i -4x - 2 =121 1-41 1526 5 34-41 152 = 1 5 0
13、 05 =30,4 分 故 a =y - -b x - =26-301 15=-8 5,6 分 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y =30 x-8 5. 8 分 (2)8500 元=0 85 万元,由(1)得,当 x=0 85 时,y =300 85-8 5=17. 所以第 5 年优惠金额为 8500 元时,销量约为 17 辆.12 分 20 解:(1)当 a= 1 2 时,f(x)= x2-lnx,(x0),f(1)= 1, 所以 f (x)= 2x- 1 x ,所以 f (1)= 13 分 所以 f(x)在(1,1)处的切线方程为 y-1=1(x-1),即 x-y=0.5 分 (2)
14、f (x)= 2x-2a x = 2 x (x2-a),(x0) 所以当 a0 时,f (x)0,f(x)在(0,+)上单调递增;当 a0 时,f(x)在(0, a)上单调递 减,在( a,+)上单调递增. 7 分 所以,当 a1 时,f(x)在1,+)上单调递增, g(a)= f(x)min=f(1)= 1;9 分 当 a1 时,f(x)在(1, a)上单调递减,在( a,+)上单调递增, g(a)= f(x)min=f( a)= a-alna.11 分 综上所述,g(a)= 1,a1, a-alna,a1 12 分 21. 解:(1)由条件得 p 2 =2, 1 4 +2p m =1, 解
15、得 p=4, m= 32 3 . 3 分 所以抛物线 C 方程为 y2=8x;4 分 椭圆 E 的方程为x 2 4 + y2 32 3 =1. 5 分 (2)由(1)得 C 的焦点为(2,0),则直线 l 的斜率存在且不为 O. 高二数学(文)参考答案 第 3 页(共 3 页) 设直线 l 的方程为 y=k(x-2),7 分 联立 y=k(x-2), y2=8x, 得 k 2x2-(4k2+8)x+4k2 =0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 +x 2= 4k2 +8 k2 ,9 分 因为 AB =x1 +x 2+p= 4k2 +8 k2 +4=10, 所以 k2=4,k=211 分 故直线 l 的方程为, 2x-y-4=0 或 2x+y-4=0.12 分 22. 证明:要证 6 + 7 2 2 + 5, 只需证( 6 + 7)2(2 2 + 5)2, 即 242 240, 这显然是成立的, 所以,原不等式成立.10 分 23. 解:由 2(2i-3)2+p(2i-3)+q=0 得 (10-3p+q)+(2p-24)i=0 所以 10-3p+q=0, 2p-24=0, 解得 p=12,q=26.10 分
