1、1.1.1 任意角的概念任意角的概念 1、角的概念、角的概念 初中是如何定义角的？初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的从一个点出发引出的两条射线两条射线构成的几构成的几 何图形何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理这种概念的优点是形象、直观、容易理 解，但它是从图形形状来定义角，因此角的解，但它是从图形形状来定义角，因此角的 范围是范围是0 , 360 )， 这种定义称为这种定义称为静态定义静态定义，其弊端在于，其弊端在于 “狭隘狭隘”. 生活中很多生活中很多实例不在实例不在该范围。该范围。 体操运动员转体体操运动员转体720 ，跳水运动员向内、，跳水运动员向内、 向外转体向外转体1
2、080 ； 经过经过1小时，时针、分针、秒针各转了多小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？少度？ 这些例子不仅不在范围这些例子不仅不在范围0 , 360 ) ，而且，而且 方向不同，有方向不同，有必要必要将角的概念将角的概念推广推广到到任意角任意角， 想想用什么办法才能推广到想想用什么办法才能推广到任意角任意角？ 关键是用关键是用运动的观点运动的观点来看待角的变化。来看待角的变化。 2角的概念的推广角的概念的推广 “旋转旋转”形成角”形成角 一条射线由原来的位置一条射线由原来的位置OA， 绕着它的端点绕着它的端点O按按逆时针方向逆时针方向 旋转旋转到另一位置到另一位置OB，就形成角，就形成角
3、旋转开始时的射线旋转开始时的射线OA叫做叫做 角角的的始边始边，旋转终止的射线，旋转终止的射线 OB叫做角叫做角的的终边终边，射线的，射线的端端 点点O叫做角叫做角的的顶点顶点 B A O “正角”与“负角”、“正角”与“负角”、“0 角”角” 我们把我们把按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做 正角正角，把，把按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做 负角负角，如图，以，如图，以OA为始边的角为始边的角=210，= 150，=660， 2100 -1500 6600 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为
4、这时形成了一个角，并把这个角我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（叫做零度角（0 ） 角的记法：角的记法：角角或可以简记成或可以简记成. 角的概念扩展的意义：角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，用“旋转”定义角之后，角的范围角的范围大大地大大地扩大扩大 了了 角有正负之分角有正负之分; 如：如： =210 , = 150 , =660 . 角可以任意大角可以任意大; 实例：体操动作：旋转实例：体操动作：旋转2周（周（360 2=720 ） 3周（周（360 3=1080 ） 还有零角还有零角, 一条射线，没有旋转一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括角的概念推广以
5、后，它包括任意大小的正任意大小的正 角、负角和零角角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有要注意，正角和负角是表示具有相反意义相反意义 的的旋转量旋转量，它的正负规定纯属于，它的正负规定纯属于习惯习惯，就好象，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样象数零无正负一样 用旋转来描述角，需要注意三个要素（用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋旋 转中心、旋转方向和旋转量转中心、旋转方向和旋转量） （2）旋转方向：旋转变换的方向分为）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针逆时针 和顺时针和顺时针两种，这是一对两种，这是一对意义相反的量意
6、义相反的量，根，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；决了； （1）旋转中心：作为角的顶点）旋转中心：作为角的顶点. （3）旋转量：）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过当旋转超过一周时，旋转量即超过360 ， 角度的绝对值可大于角度的绝对值可大于360 .于是就会出现于是就会出现 720 ， 540 等角度等角度. 3“象限角”“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。系中来讨论角。 角的顶点重合于角的顶
7、点重合于坐标原点坐标原点，角的始边重合，角的始边重合 于于x轴的正半轴轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几，这样一来，角的终边落在第几 象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的 终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象 限）限） 例如：例如：30 、390 、 330 是第是第象限角，象限角， 300 、 60 是第是第象限角，象限角， 585 、1300 是第是第象限角，象限角， 135 、 2000 是第是第象限角等象限角等 4终边相同的角终边相同的角 观察：观察：390 ， 330 角，它们的终边都与角，它
8、们的终边都与 30 角的终边相同角的终边相同. 探究：探究：终边相同的角都可以表示成一个终边相同的角都可以表示成一个0 到到 360 的角与的角与k(kZ)个周角的和个周角的和： 390 =30 +360 (k=1), 330 =30360 (k=1) 30 =30 +0360 (k=0), 1470 =30 +4360 (k=4) 1770 =305360 (k=5) 结论：结论： 所有与所有与 终边相同的角连同终边相同的角连同 在内可以构在内可以构 成一个成一个集合集合：| =+k 360 (kZ) 即：任何一个与角即：任何一个与角 终边相同的角，都可终边相同的角，都可 以表示成以表示成角
9、角 与整数个周角的和与整数个周角的和 注意以下四点：注意以下四点： kZ； 是任意角；是任意角； k 360 与与 之间是“之间是“+”号，如号，如k 360 30 ,应应 看成看成k 360 +(30 )； 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差相差360 的整数倍的整数倍. 例例1. 在在0 到到360 范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角. (1) 120 ；(2) 640 ；(3)
10、 950 12. 解：解：120 =360 +240 ， 240 的角与的角与120 的角终边相同，的角终边相同， 它是第三象限角它是第三象限角 640 =360 +280 ， 280 的角与的角与640 的角终边相同，的角终边相同， 它是第四象限角它是第四象限角 95012=3360+12948， 12948的角与的角与95012的角终边相同，的角终边相同， 它是第二象限角它是第二象限角 例例2. 写出终边在写出终边在y轴上的角的集合轴上的角的集合. 例例3. 写出终边在直线写出终边在直线y=x上的角的集合上的角的集合S， 并把并把S中适合不等式中适合不等式360720的的 元素元素写出来写
11、出来. 课堂练习 1锐角是第几象限的角？第一象限的角是锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于否都是锐角？小于90 的角是锐角吗？区间的角是锐角吗？区间 (0 ,90 )内的角是锐角吗？内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于是锐角；小于90 的角可能是零角或负角，故的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间它不一定是锐角；区间(0 ,90 )内的角是锐内的角是锐 角角 2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边已知角的顶点与坐标系原点重合，始边 落在落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指轴的正半轴上，作出下列各角，
12、并指 出它们是哪个象限的角？出它们是哪个象限的角？ (1)420 ，(2) 75 ，(3)855 ，(4) 510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角； (2)第四象限角，第四象限角， (3)第二象限角，第二象限角， (4)第三象限角第三象限角. 3、已知、已知,角的终边相同，那么角的终边相同，那么 的终边的终边 在（在（ ） A x轴的非负半轴上轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上轴的非正半轴上 A 4、终边与坐标轴重合的角的集合是（、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A |=k 360 (kZ) B |=k 180
13、 (kZ) C |=k 90 (kZ) D |=k 180 +90 (kZ) C 5 、已知角、已知角2的终边在的终边在x轴的上方，那么轴的上方，那么是是 ( ) A 第一象限角第一象限角 B 第一、二象限角第一、二象限角 C 第一、三象限角第一、三象限角 D 第一、四象限角第一、四象限角 C 6、若、若是第四象限角，则是第四象限角，则180 是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第二象限角第二象限角 C 第三象限角第三象限角 D 第四象限角第四象限角 C 7、在直角坐标系中，若、在直角坐标系中，若与与终边互相垂直，终边互相垂直， 那么那么与与之间的关系是（之间的关系是（ ） A. =+
14、90o B =90o C =k 360o+90o+,kZ D =k 360o90o+, kZ D 8、若、若90 135 ，则，则的范围是的范围是 _，+的范围是的范围是_; (0 ,45 ) (180 ,270 ) 9、若、若的终边与的终边与60 角的终边相同，那么在角的终边相同，那么在 0 ,360 范围内，终边与角范围内，终边与角 的终边相同的角的终边相同的角 为为_; 3 解：解：=k 360 +60 ，kZ. 所以所以 =k 120 +20 ， kZ. 3 当当k=0时，得角为时，得角为20 ， 当当k=1时，得角为时，得角为140 ， 当当k=2时，得角为时，得角为260 . 作业 课本P9 A组第1、2、3题 P10A组第5题
