1、第 5 章 相交线与平行线 51 相交线 51.1 对顶角 1能准确理解对顶角的概念，会在图形中识别对顶角； 2理解对顶角的性质并能运用对顶角的相关知识进行简单运算 重点 对顶角的概念与性质 难点 在复杂图形中找对顶角 一、创设情境 我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线 本章要研究相交线所成的角和它的特征， 了解相交线的一种特殊形式即垂直， 垂线的性 质，研究平行线的性质和平行线的判定以及图形的平移问题 二、探究新知 教师出示一块布片和一把剪刀，表演剪刀剪布片的过程 教师提出问题： 剪布片时， 用力握紧把手， 发生了什么变化？进而使什么也发生了变化？ 学生观察、思考、回答，得出： 握紧
2、把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角相应变小如果改变 用力方向，随着两个把手之间的角逐渐变大，剪刀刀刃之间的角也相应变大 教师提问：我们可以把剪刀抽象成什么简单的图形？ 学生回答：画成两条相交的直线，学生画直线 AB，CD 相交于点 O，并说出图中 4 个 角 教师提问： 两两相配共能组成几对角？各对角的位置关系如何？根据不同的位置怎么将 它们分类？ 学生用量角器分别量一量各角的度数， 发现各对角的度数有什么关系？(学生得出结论： 相邻的两个角互补，对顶的两个角相等) 1在上面的问题中，除了互补的角外，还有哪几个角？这些角有什么关系？ 引导学生从角的位置、数量关系考虑 由位置
3、关系得出对顶角的概念： 如果两个角有一个公共顶点， 而且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线， 那么 这两个角叫做对顶角 2教师引导学生利用同角的补角相等说明“对顶角相等”的正确性 三、练习巩固 1判断下列各图中是否存在对顶角 2如图，直线 a，b 相交，140，求2，3，4 的度数 四、小结与作业 小结 教师引导学生进行本节课的小结并强调对顶角的概念与对顶角的性质不能混淆： 对顶角 的概念是稳定 两角的位置关系，对顶角的性质是确定互为对顶角的两角的数量关系 作业 教材第 162 页练习第 2，3 题 通过本节课的学习， 大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来， 并能积极主动地提 出各类
4、问题并解决问题，达到了基本的教学效果，但是由于对新概念的理解不是很深刻，所 以在应用方面存在不足，针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求 解题的思路和方法，加深对概念的理解，做到熟练的应用 51.2 垂线 1了解垂直的概念，能说出垂线的性质“经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并 且只能画出一条垂线” 2会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线 3了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义 4学会度量点到直线的距离 重点 垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用 难点 对点到直线的距离的概念的理解 一、创设情境 把两根细木条看作是两条直线，动
5、手实践、观察：两条直线相交有几个交点？ 如图，可以看到，直线 AB 与 CD 相交，只有一个交点，可以说成：直线 AB，CD 相 交于点 O. 思考：两条直线相交所构成的四个角能否相等？ 二、探究新知 1教师旋转细木条，使之互相垂直，给出垂直的定义，并板书：如图，当BOD90 时，可知其余三个角也均为直角，则直线 AB 与直线 CD 互相垂直，记作“ABCD”，它 们的交点叫做垂足 2动手操作： 仿教材图 5.1.6，过直线外一点作已知直线的垂线 教师巡回指导：并演示： 教师提醒学生正确使用三角板、量角器作垂线 问题：点与已知直线有几种关系？ 当已知的点在直线外，我们已经知道怎样画垂线，但当点
6、在直线上时，我们怎么作垂 线呢？ 教师巡回指导： 思考：过直线上一点以及直线外一点作已知直线的垂线，能作几条？ 引导归纳得出：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 习题巩固：教材第 165 页练习第 1 题 3过直线外一点向已知直线作垂线时，这一点与垂足之间的线段比较特殊，大家观察 一下，见教材第 164 页图 5.1.8. 分组讨论其特殊地方 垂线段的长度就是点到直线的距离 垂线段最短 注意提醒学生：点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段 问题：我们在跳远中是怎样测量成绩的，你知道这是为什么吗？ 4如图有三个三角形，分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，请分别画出 AB 边上的高 教
7、师让不同学生把不同画法都显现同来，让全班同学一起讨论，哪一种画法是正确的 三、练习巩固 1判断以下两条直线是否互相垂直： 两条直线相交所成的四个角中有一个是直角； 两条直线相交所成的四个角相等； 两条直线相交，有一组邻补角相等； 两条直线相交，对顶角互补 2判断下列说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请改正 (1)直线外一点与直线上一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离； (2)如图，线段 AE 的长是点 A 到直线 BC 的距离； (3)如图，线段 CD 是点 C 到直线 AB 的距离 四、小结与作业 小结 1互相垂直，垂线的概念； 2过一点画已知直线的垂线的画法； 3垂线段最
8、短 作业 教材第 165 页练习第 2，3 题 大部分学生经历观察、操作、想象、归纳、交流等活动，进一步发展空间观念，培养用 几何语言准确表达的能力并且了解垂线段的概念， 了解垂线段最短的性质， 体会点到直线的 距离的意义，但是度量点到直线的距离的方法掌握得还不够好 51.3 同位角、内错角、同旁内角 明确构成同位角、内错角、同旁内角的条件，了解其命名的含义 重点 同位角、内错角、同旁内角的概念 难点 各对角之间的辨认以及复杂图形的辨认 一、创设情境 中国最早的风筝据说是由古代哲学家墨翟制作的， 风筝的骨架构成了多种关系的角， 这 就是我们这节课要讨论的问题：两条直线和第三条直线相交的关系 学
9、生能由教师的叙述认真地观察风筝的图形并能抽象出以下图形 二、探究新知 教师组织学生讨论：两条直线和第三条直线相交的关系 如图：直线 a1，a2被直线 a3所截，构成了八个角 学生在教师的组织下完成以下活动： 观察1 与5 的位置：它们都在第三条直线 a3的同侧，并且分别位于直线 a1，a2的同 一侧，这样的一对角叫做“同位角” 观察3 与5 的位置：它们分别在第三条直线 a3的异侧，并且都位于两条直线 a1，a2 之间，这样的一对角叫做“内错角” 观察2 与5 的位置：它们都存在第三条直线 a3的同旁，并且都位于两条直线 a1，a2 之间，这样的一对角叫做“同旁内角” 学生通过小组合作交流，讨
10、论以下各对角的关系： 1 与5；2 与6；2 与5；2 与8；3 与5；3 与7；3 与8；4 与8. 教师总结： 同位角：1 和5，2 和6，3 和7，4 和8. 内错角：2 和8；3 和5. 同旁内角：2 和5；3 和8. 三、练习巩固 找出1，2，3 中哪两个是同位角、内错角、同旁内角 四、小结与作业 小结 本节课的内容你都掌握了吗？适当强调有关的知识点 如何确定“三线”构成的“八角”(注意“一个前提”)？如何根据“关系角”确定 “三线”(注意找“前提”)? 作业 教材第 168 页练习第 1，2 题 本节课的教学内容量有点大 学生认识角的问题有一定的难度， 所以本节课的教学效果 一般，
11、 小组同学的合作学习效果还可以， 通过本节课的学习， 大部分学生能明确构成同位角、 内错角、同旁内角的条件，并能在各类图形中找出各类角 52 平行线 52.1 平行线 了解平行线的概念、 平面内两条直线相交和平行的两种位置关系， 知道平行公理以及平 行公理的推论 重点 探索和掌握平行线的概念和平行公理 难点 对平行线本质属性的理解，用几何语言描述图形的性质 一、创设情境 教师提问：两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？ 学生回答： 两条直线相交有且仅有一个交点 在平面内，两条直线除了相交外，有其他的位置关系吗？ 学生思考回答：不相交的情况 二、探究新知 教师演示教具： 顺
12、时针转动木条 b 两圈，教师组织学生交流并达成共识 学生思考： 把 a，b 想象成两端可以无限延伸的两条直线，顺时针转动 b 时，直线 b 与直线 a 的交 点的位置将发生什么变化？在这个过程中，有没有直线 b 与 a 不相交的情况？ 可以想象一定存在一个直线 b 的位置，使它与直线 a 没有交点 学生结合演示的结论，与教师共同用数学语言描述平行的定义： 同一平面内，存在一个直线 a 与直线 b 不相交的位置，这时直线 a 与 b 互相平行，换言 之，同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与 b 是平行线，记作“”，这里 “”是平行符号 教师板书：平行线的定义及表示方法 教师应强调
13、平行线定义的本质属性： 第一，同一平面内的两条直线； 第二，没有交点的两条直线 同一平面内，两条直线的位置关系 教师引导学生从同一平面内，两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，两者必居其一 即两条直线不相交就是平行，或者不平行就是相交 教师引导学生完成以下活动： 1在转动教具木条 b 的过程中，有几个位置能使 b 与 a 平行？ 直线 b 绕直线 a 外一点 B 转动，有且只有一个位置使 a 与 b 平行 2用直尺和三角尺画平行线： 已知：直线 a，点 B，点 C. (1)过点 B 画直线 a 的平行线，能画几条？ (2)过点 C 画直
14、线 a 的平行线，它与过点 B 的平行线平行吗？ 3通过观察画图，归纳平行公理及其推论 (1)学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论，并在充分交流后归纳平行公理 (2)在学生充分交流后，教师板书： 平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 (3)比较平行公理和垂线的第一条性质： 共同点： 都是“有且只有一条直线”， 这表明过一点与已知直线平行或垂直的直线存在 并且是唯一的 不同点： 平行公理中所过的“一点”要在已知直线外； 垂线性质中对“一点”没有限制， 可在直线上，也可在直线外 师生共同归纳平行公理的推论： (1)学生直观判定过 B 点，C 点的直线 a 的平行线 b，c
15、 是互相平行的 (2)从直线 b，c 作图的过程说明直线 b直线 c. (3)学生用三角尺与直尺用平推的方法验证 bc. (4)师生用数学语言表达这个结论，教师板书： 两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 结合图形，教师引导学生用符号语言表达平行公理的推论： 如果 ba，ca，那么 bc. 三、练习巩固 1教材第 170 页练习第 1 题 2根据下列语句，画出图形，如图 (1)连结 AC； (2)过 B 点作 AC 的平行线交 DA 延长线于 E 点 (3)分别过 A 点，D 点作 BC 的垂线，垂足为 F，G. 四、小结与作业 小结 本节课主要学习了平行线的概念及其表示方法，
16、 并学习了用直尺和三角尺画平行线， 通 过具体的操作活动，加深了学生对本节内容的理解，并能灵活运用 作业 教材第 170 页练习第 2 题和教材第 179 页习题 5.2 第 2 题 通过本节课的教学， 学生了解了平行线的概念、 平面内两条直线的相交和平行的两种位 置关系， 知道平行公理以及平行公理的推论的内容并能在实际问题中予以正确的运用， 但是 个别同学的学习态度不端正，教师要加以引导与教育 52.2 平行线的判定 掌握两直线平行的判定条件，并能解决一些问题 重点 探索并掌握直线平行的条件 难点 掌握直线平行的条件 一、创设情境 教师出示有关的几个问题，复习巩固上节课的知识： 学生思考下列
17、问题： 1填空：经过直线外一点，_与这条直线平行 2画图：已知直线 AB，点 P 在直线 AB 外，用直尺和三角尺画过点 P 的直线 CD，使 CDAB. 3反思：在用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起什么样的作用？ 学生讲出是为画PHF，使所画的角与BGF 相等 教师指出： 既然两个角相等与两条直线平行能联系起来， 那么这两个角具有什么样的位 置关系，我们是否得到了一个判定两直线平行的方法？这是本课要研究的内容之一 二、探究新知 1根据上图，分析问题 (1)让学生先描述1，2 的方位 (2)教师指出像1，2 这样分别位于直线 CD，AB 的下方，又在直线 EF 的右侧，也 就是位置相同的
18、两个角叫做同位角 (3)让学生识别图中其他的同位角，并标记出它们，要求正确而又不遗漏 2归纳利用同位角判定两条直线平行的方法 (1)学生根据同位角的意义以及平推三角尺画出平行线的活动，叙述判定两条直线平行 的方法 教师引导学生正确表达平行线的判定方法 1，并板书： 方法 1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单记为：同位角相等，两直线平行 (2)教师引导学生，结合图形用符号语言表述两直线平行的判定方法 1：如果12， 那么 ABCD. 教师强调两直线平行判定方法 1 的条件中有两层意思： 第一层意思是这两个角是这两条 直线被第三条直线所截而成的一对同位角；第二层意
19、思是这两个角相等，两者缺一不可 (3)简单应用 教师表演木工用角尺画平行线的过程，让学生说出用角尺画平行线的道理(结合课本图 5.2.7) 教师板书规范的说理过程：因为DCB 与FEB 是直线 CD，EF 被直线 AB 所截而成 的同位角， 而且DCBFEB， 即同位角相等， 根据直线平行的判定方法， 从而得 CDEF. 三、尝试反馈，理解新知 1探索两条直线平行的其他方法： (1)演示教具，使学生体会当内错角相等时，两条直线平行 (2)师生归纳判定两条直线平行的方法： 学生思考： 为什么内错角相等时，两条直线平行？ 你能用学过的两直线平行的判定方法 1 来说明吗？ 学生猜想、讨论教师引导学生
20、说理 2教师板书： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简单记为：内错角相等，两直线平行 学生思考、讨论：同旁内角数量上满足什么关系时，两直线平行？ (1)因为42180， 而43180，根据同角的补角相等， 所以有32，即内错角相等， 从而 ab. (2)因为42180， 而41180，根据同角的补角相等， 所以有21，即同位角相等， 从而 ab. 结合图形，用符号语言表达：如果42180，那么 ab. 3师生归纳两条直线平行的判定方法： 教师板书： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行 简单记为：同旁内角互补，两直线平行 三、练习巩固 已知
21、直线 a，b 被直线 c 所截，且12180，试判断直线 a，b 的位置关系，并 说明理由 四、小结与作业 小结 可以采用师生问答的方式或先让学生归纳，然 后教师补充的方式进行，发挥学生的主体作用，培养学生的归纳能力 学生能由教师的引导思考： 通过本节课的学习， 你学习了什么知识？你有什么收获呢？你还有哪些困惑呢？能谈一 谈你的想法吗？ 作业 教材第 174 页练习第 1，2，3，4 题 通过本节课的学习， 学生理解并掌握了平行线的三种判定方法， 在教学过程中运用实例 引导及提问思考的教学方式， 调动学生的活动积极性， 使学生能够更深入理解并运用新知识 52.3 平行线的性质 掌握平行线三个性
22、质，并能用它们进行简单的推理和计算 重点 探索并掌握平行线的性质，能用平行线的性质进行简单的推理和计算 难点 能区分平行线的性质和判定方法，平行线的性质与判定的混合应用 一、创设情境 现在同学们已经掌握了利用同位角相等、 内错角相等或者同旁内角互补判定两条直线平 行的三种方法， 在这一节课里： 大家把思维的指向反过来： 如果两条直线平行， 那么同位角、 内错角、同旁内角的数量关系又如何表达？ 二、探究新知 教师引导学生进行画图活动： 用直尺和三角尺画出两条平行线 ab，再画一条截线 c 与直线 a，b 相交，标出所形成 的八个角(如图所示) 学生测量这些角的度数，把结果填入表内 角 1 2 3
23、 4 度数 角 5 6 7 8 度数 学生根据测量所得的数据做出猜想 图中哪些角是同位角？它们具有怎样的数量关系？ 图中哪些角是内错角？它们具有怎样的数量关系？ 图中哪些角是同旁内角？它们具有怎样的数量关系？ 在仔细分析后，让学生写出猜想 学生由教师的引导进行小组活动： 再任意画一条截线 d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？ 学生结合上图， 用符号语言表达平行线的这三条性质， 教师同时板书平行线的性质和平 行线的判定方法 师生共同归纳平行线的性质，教师板书： 性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为两直线平行，同位角相等 性质 2：两条平行线被第三条直线所截，内错
24、角相等，简称为两直线平行，内错角相等 性质 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为两直线平行，同旁内角 互补 教师引导学生理清平行线的性质与平行线的判定方法的区别 交流后在小组内归纳：两者的条件和结论正好相反 平行线的性质 平行线的判定 因为 ab, 因为14， 所以14. 所以 ab. 因为 ab, 因为24， 所以24. 所以 ab. 因为 ab, 因为23180， 所以23180. 所以 ab. 三、练习巩固 1一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么 这两次转弯的角度可以是( ) A先右转 80，再左转 100 B先左转 80，再右转 80 C先左转 80，再左转 100 D先右转 80，再右转 80 2如图，直线 ab，154，那么2，3，4 各多少度？ 四、小结与作业 小结 教师引导学生完成本节课的小结： 通过本节课的学习， 我们主要学习了平行线的性质与平行线的判定方法有什么区别和联 系你能区别清楚吗？ 作业 教材第 178 页练习第 15 题 通过本节课的学习， 学生能掌握平行线的三条性质并能利用这三条性质进行适当的推理 与论证， 学生在本节课的教学活动中能积极地参与到学习活动中来， 并能及时地提出有关的 问题和解决问题的方法
