1、 第第4节从函数的观点看一元二次方程节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式和一元二次不等式考试要求1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系知 识 梳 理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(
2、a0)的图象x|xx2或xx1Rx|x1xx23.(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解集不等式解集ab(xa)(xb)0_ _ _(xa)(xb)0_ _ _x|xbx|xax|xax|axbx|bx0(a(a0)的解集为(，a)(a，)；|x|0)的解集为(a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax2bxc0(0(0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(4)若方程ax2bxc0(a0(a0)的解集为.答案(1)(2)(3)(4)A.(2，3)B.(2
3、，2)C.(2，2 D.2，2解析因为Ax|x2，Bx|2x3，所以ABx|20，A.2，1 B.(2，1C.(，2)(1，)D.(，2(1，)答案B5.(2019北京海淀区调研)设一元二次不等式ax2bx10的解集为x|1x2，则ab的值为()答案B6.(2018汉中调研)已知函数f(x)ax2ax1，若对任意实数x，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_.答案4，0考点一一元二次不等式的解法多维探究角度1不含参数的不等式【例11】求不等式2x2x30的解集.解化2x2x30，角度2含参数的不等式命题点1通过判别式分类讨论【例12】解关于x的不等式kx22xk0.若0，即k1时，不等式无解.
4、当k0，即1k0时，若0，即k0；k1时，不等式的解集为x|x1；k0的解集是_.解析由题原不等式可转化为|x|23|x|20，解得|x|2，所以x(，2)(1，1)(2，).答案(，2)(1，1)(2，)考点二一元二次方程与一元二次不等式答案x|x3或x2规律方法1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】(2019天津和平区一模)关于x的不等式axb0的解集是()A.(，1)(3，)B.(1，3)C.(1，3)D.(，1
5、)(3，)解析关于x的不等式axb0即axb的解集是(1，)，ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所求不等式的解集是(1，3).答案C考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1在实数R上恒成立【例31】(2018大庆实验中学期中)对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2)B.(，2C.(2，2)D.(2，2解析当a20，即a2时，40(或0)对于一切xR恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.易错防范1.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
