1、201103064 4 一阶线性微分一阶线性微分方程方程微分方程1)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy一阶线性一阶线性;一阶非线性一阶非线性.微分方程2.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy1ln|()ln,yP x dxC 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.1.线性线性齐次齐次方程方程一阶线
2、性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法使用分离变量法)微分方程32.2.线性线性非齐次非齐次方程方程).()(xQyxPdxdy 分析分析,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设,)()(ln dxxPxvy.)()(dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 微分方程4常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未
3、知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy微分方程5代代入入原原方方程程得得和和将将yy,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解微分方程6.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxx
4、dxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1微分方程7例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 微分方程8 dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为).22
5、2(32 xxeyx23xyy 微分方程9John John BernoulliBernoulli(1667-1748)(1667-1748)二、伯努利方程二、伯努利方程微分方程10么么么么方面nSds绝对是假的伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.时，时，当当1,0 n时，时，当当1,0 n解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.),()(1xQyxPdxdyynn ，得，得两端除以两端除以ny
6、微分方程12,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1代入上式代入上式.)1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn微分方程13.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以21y例例 3 3微分方程14例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy 解解,21
7、12 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 微分方程15;)(sin1.22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 微分方程16;1.3yxdxdy 解解,uyx 令令,1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,|1|
8、lnCxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,|1|lnCyxy 11 yeCxy或或另解另解.yxdydx 方程变形为方程变形为微分方程17三、小结三、小结1.1.线性非齐次方程线性非齐次方程2.2.伯努利方程伯努利方程;)()(dxxPexuy令令;1zyn 令令微分方程18思考题思考题2.2.求微分方程求微分方程 的通的通解解.yxyyyysin2sincoscos 1.1.方程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程是否为齐次方程?微分方程19作业作业习题习题12-412-4 1.1.(1,3(1,3,5,7,9,5,7,9);2.2.(2,4)(2,4);7 7.(1,3)(1,3);9 9.(1,3,5).(1,3,5)微分方程20思考题思考题1 1解答解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.微分方程21思考题思考题2 2解答解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 微分方程22
